2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：分式方程（講義）（解析版）

考點(diǎn)06.分式方程（精講）

【命題趨勢(shì)】

分式方程考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有

和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方

程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

【知識(shí)清單】

1：解分式方程（☆☆）

1）分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)。

2）分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為重雙方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分

式的最簡公分母.

（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都

乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根.

3）增根

在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根。由于可能產(chǎn)生增根，所以解

分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根,否則是原方程的

根.

注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個(gè)整式方程本身

無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解。

2：分式方程的應(yīng)用（☆☆☆）

1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方

程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答。

2）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤問題等。

每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間=/喝，時(shí)間=臂，總利潤=單件利潤X銷售量，

工作效率速度

利潤率=禾！J潤:成本X100%等。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；

②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解。

2.分式方程有增根與無解并非是同一個(gè)概念。分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去

分母后的整式方程無解。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.解分式方程

例1：（2023?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）已知x=l是方程二——二=3的解，那么實(shí)數(shù)小的值為（）

2-xx-2

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】B

【分析】將x=l代入方程，即可求解.

m1

【詳解】解：將X=1代入方程，得「--7=3解得：m=2故選：B.

2—11—2

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是將X=1代入原方程中得到關(guān)于小的方程.

變式1.（2023上?河南開封?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中是分式方程的是（）

A.--2x=lB.2X2=X-3C.^—=2D.=2

2x-2

【答案】c

【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷即可.

【詳解】解：A,B,D選項(xiàng)中的方程，分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故不符合題意；

C選項(xiàng)方程中的分母中含未知數(shù)，是分式方程，故符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）若關(guān)于無的分式方程=-三匚=3的解為無=3,則根的值為（）

x-22-x

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【分析】解分式方程，根據(jù)方程的解為x=3,即可求解.

【詳解】解：‘。一手工=3,方程兩邊同時(shí)乘以（x-2）得：M7+（x-l）=3（x-2）,

x—22—x

+5

解得％=彳，且x-2。0,

2

m+5

，??方程的解為x=3,；.竺二=3,即根=1,故選：A.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵.

Y2

例2：（2023?福建?統(tǒng)考一模）下列解分式方程一=+4=0的步驟中，錯(cuò)誤的是（）

x-22-x

A.找最簡公分母：2-xB.去分母：-尤+2=0

Y2

C.計(jì)算方程的根：X=2D.驗(yàn)根：當(dāng)x=2時(shí)，方程」;+—=0成立

尤一22-尤

【答案】D

【分析】由解分式方程的步驟即可選擇.

【詳解】該分式方程的最簡公分母是2-x,故A正確，不符合題意.

分式兩邊同時(shí)乘以2-x,得：-x+2=0,故B正確，不符合題意.

由B選項(xiàng)即可得出x=2,故C正確，不符合題意.

當(dāng)x=2時(shí)，2-x=0,故該分式方程無解.故D錯(cuò)誤，符合題意.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵.

OOQ

變式1.（2023?山西晉中?校聯(lián)考模擬預(yù)測）分式方程——一U=f三的解是（）

x-2x+2X--4

A.x=2B.x=-2C.無解D.x=3

【答案】C

【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

去分母，得：3（x+2）-2（x-2）=8,

去括號(hào)，得：3x+6—2x+4=8,

移項(xiàng)合并，得：x=—2,

檢驗(yàn)，當(dāng)尤=-2時(shí)，f_4=o,即x=-2是原分式方程的增根，

回原分式方程解.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟.

變式2.（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）在分式方程”+上=5中，設(shè)可得到關(guān)于y的整式

x2%—1x

方程為（）

A.y2+5y+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+l=0D.y2-5y+l=0

【答案】D

2r-11

【分析】設(shè)f=y,則原方程可變形為y+—=5,再化為整式方程即可得出答案.

Xy

2Y—11

【詳解】解：設(shè)嶺2=y,則原方程可變形為＞+—=5,即y2_5y+l=0；故選：D.

xy

【點(diǎn)睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關(guān)鍵，注意最后要化為整式方程.

13

變式3.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）解方程：一\+1=〈

x-12x-2

3

【答案】x

【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗(yàn)即可得出答案.

1,3

【詳解】解：原方程可化為^^+1=而刁.

方程兩邊同乘2（X-1）,得2+2（x-l）=3.解得x=].

檢驗(yàn)：當(dāng)尤=：時(shí)，2（x—1）工0.回原方程的解是X=

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵.

變式4.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程--A=1過程如下:

x-22-x

小?。盒〉希?/p>

解：去分母，得x-（x-3）=x-2解：去分母，得尤+（x-3）=l

去才舌號(hào)，彳導(dǎo)x—x+3-x—2去括號(hào)得x+x-3=1

合并同類項(xiàng)，得3=x-2合并同類項(xiàng)得2x-3=1

解得x=5解得x=2

回原方程的解是x=5經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是方程的增根，原方程無解

你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打"V"；若錯(cuò)誤，請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打"X"，并寫出你的解答

過程.

【答案】都錯(cuò)誤，見解析

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可.

【詳解】小丁和小迪的解法都錯(cuò)誤；

解：去分母，得%+（%-3）=%-2,

去括號(hào)，得2%-3=%-2,

解得，x=l,經(jīng)檢驗(yàn)：1=1是方程的解.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

例3：（2。23?山東日照?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程六-2=4解為正數(shù),則優(yōu)的取值范圍是

）

24242

A.m>——B.m<一C.m>——且機(jī)wOD.根〈一且加w一

33333

【答案】D

4-3m4—3m

【分析】將分式方程化為整式方程解得X=---，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得^^>0,即可求出加的

2

取值范圍.

【詳解】解：之一2二工

2x-2x2（x-l）=3m

2x—4x+4=3m

—2x=3m—4

4—3m

x=-----

2

團(tuán)方程二--2=31的解為正數(shù)，且分母不等于0

x-12x-2

4-3m八4-3m,

團(tuán)----->0,%=------

22

42

0m<—,且mw一故選：D.

33

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解不等式，將方程化為整式方程求出

整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關(guān)鍵.

YY]X

變式1.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的分式方程二+1=/-的解是非負(fù)數(shù)，則加的取值

x-22-x

范圍是（）

A.m<2B.m>2C.mW2且mW—2D.機(jī)<2且加W—2

【答案】C

【分析】解分式方程求出x=42萬—m絲，然后根據(jù)解是非負(fù)數(shù)以及解不是增根得出關(guān)于修的不等式組，求解即

可.

【詳解】解：分式方程去分母得：m+x-2=-x,解得：尤=二2萬—”m，

團(tuán)分式方程」1+1=不匚的解是非負(fù)數(shù)，

無一22—尤

9_m9—rn

團(tuán)——^0,且兀二一--。2,回相?2且〃1。一2,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關(guān)于根的不等式組是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?山東?統(tǒng)考一模）關(guān)于x的分式方程絲?-1=0解的情況，下列說法正確的是（）.

A.若。=0,則此方程無解B.若。=±1,則此方程無解

C.若方程的解為負(fù)數(shù)，則“>lD.若a<l,則方程的解為正數(shù)

【答案】BC

【分析】先按照一般步驟解方程，用含有。的代數(shù)式表示x,然后根據(jù)x的取值討論。的范圍，即可作出

判斷.

【詳解】解：A、當(dāng)。=0時(shí)，原分式方程為一二-1=0,解得：尤=2,

x-1

當(dāng)x=2時(shí)，x-UO,團(tuán)原分式方程的解為x=2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、^±1-1=0,去分母得：（a-l）x=—2,當(dāng)。=1時(shí)，該方程無解，國原分式方程無解；

x-1

—X

當(dāng)時(shí)，原分式方程為上+71-1=0,解得：x=L當(dāng)x=l時(shí)，x-l=0,阻=1是增根，原分式方程無解；

x-1

團(tuán)若。=±1,則此方程無解，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、^1-1=0,去分母得：（a-l）x=-2,解得：*=-冬，

x-1a-1

回方程的解為負(fù)數(shù)，acvo且X-IHO,

22

0-----7<。且----7一I。。，解得：a>l,故本選項(xiàng)正確，符合題意；

a-\a-l

22

D、若方程的解為正數(shù)，回％二—三〉0,且-三-1。0,解得：苞〈1且以；，

a-la-l

團(tuán)當(dāng)avl且於-1時(shí)，方程的解為正數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：BC

【點(diǎn)睛】考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的

解.

9Y_1_TT1

例4"。23?廣東廣州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于，的分式方程三+53rl有增根，則加的值為，）

A.1B.2C.-1D.0

【答案】C

【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根.所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母

x-3=0,得到x=3,然后代入化為整式方程的方程算出加的值.

【詳解】解：方程兩邊都乘（x-3）,得2-（x+m）=x-3,

???原方程有增根，，最簡公分母x-3=0,解得：x=3,

當(dāng)X=3時(shí)，m=-l,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值.注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.

Y

變式1.（2023上?河南安陽?九年級(jí)校考期末）若分式方程一三-丹=2有增根，則根的值為（）

x-11—x

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】B

【分析】先化分式方程為整式方程，令分母x-l=0,代入整式方程計(jì)算機(jī)的值.

【詳解】因?yàn)?上=2，

x-11-x

去分母得：x+m=2（x—1）,解得：m=x—2

因?yàn)榉质椒匠桃蝗?=2有增根，

x-11-x

所以X—1=0,即：x=l是方程增根，

所以相=》-2=-1,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程中關(guān)于增根的解題方法.

2TTI

例5：（2022?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于尤的方程一=?。轃o解，則的值為（）

x2.r+l

A.0B.4或6C.6D.0或4

【答案】D

【分析】先將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)加-4=0時(shí)，當(dāng)根-4。0時(shí)，

x=0或2x+l=0,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】方程兩邊同乘工（2x+l）,得2（2x+l）=如，整理得（加-4）x=2,

,??原方程無解，，當(dāng)根一4=0時(shí)，m=4；

21

當(dāng)機(jī)一4w0時(shí)，x=0或2x+l=0,止匕時(shí)，兀=----,解得％=0或%=——，

m-42

2

當(dāng)％=0時(shí)，x=------=0無角麻

m-4

121

當(dāng)尤=一彳時(shí)，x=-----=解得〃?=0；

2m-42

綜上，加的值為0或4；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化

成的整式方程無解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測）"若關(guān)于x的方程鼻=昌+1無解，求。的值."尖尖和丹丹的

3x-93x-9

做法如下（如圖1和圖2）：

尖尖：丹丹：

去分母得：ax=12+3x-9,去分母得：ax=12+3x-9,

移項(xiàng)得：ax-3x=12-9,移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：

合并同類項(xiàng)得：3

（6Z-3）X=3,解得：x=-r,

（〃-3）x=3,a-3

???原方程無解，?.?原方程無解，為增根,

.?。3=0,/.3x-9=0,解得x=3,

.\a=3.3

/.-7=3，解得個(gè)4

a-3

圖1圖2

下列說法正確的是（）

A.尖尖對(duì)，丹丹錯(cuò)B.尖尖錯(cuò)，丹丹對(duì)C.兩人都錯(cuò)D.兩人的答案合起來才對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程無解情況①去分母后方程無解，②解出的解是增根，兩類討論即可得到答案；

【詳解】解：由題意可得，去分母可得，ax=12+3x-9,移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，（a-3）x=3,

當(dāng)。一3=0時(shí)，即a=3時(shí)方程無解，當(dāng)。一3。0時(shí)，即時(shí)，%=--,

a-3

團(tuán)方程鼻=丁二+1無解，即x=2是方程的增根，可得：3x-9=o,解得：x=3,

3x-93x-9a-3

3

團(tuán)3=-解得：a=4,故選D；

。一3

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程無解的情況，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無解情況①去分母后方程無解,

②解出的解是增根.

3x+5x+3

4一2

例6：（2023?重慶渝中??？家荒＃┤絷P(guān)于x的不等式組\無解，且關(guān)于y的分式方程

1X+4

X--->--------

22

?1-1=工7有整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)。的和為（）

2-yy-2

A.10B.12C.16D.14

【答案】B

【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據(jù)不等式組無解可求得。的取值范圍，然后求得分式方程

的解，根據(jù)解為整數(shù)，且2力0,即可求得滿足條件的所有整數(shù)。的值.

3x+5<x+3①

4—?

【詳解】,解不等式①，得xWL解不等式②，得1.

x+—>------②

I22

3x+5x+3

一

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式組\4z2無解，可得解得。22.

1x+a

x+—>---

122

解關(guān)于y的分式方程得>=—、.

2-yy-2a-l

團(tuán)一^-為整數(shù)，a>2,---2*0,回。=2或。=3或a=7.

a—1a—1

回滿足條件的所有整數(shù)。的和=2+3+7=12.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟

是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?四川達(dá)州市?中考真題）若分式方程工3一4=-2芯+"的解為整數(shù),則整數(shù)。=

x-1X+1

【答案】±1

【分析】直接移項(xiàng)后通分合并同類項(xiàng)，化簡、用a來表示X,再根據(jù)解為整數(shù)來確定。的值.

【詳解】解：工￡一4='士處,-2-x--a---2-x-+-a=4/

x-lX+1x-lx+1

(2j(x+l)-(a-2x)(1)=4整理得:2

x=—

(x-l)(x+l)a

若分式方程工@-4=~2x+a的解為整數(shù),

x-lx+1

「a為整數(shù)，當(dāng)。=±1時(shí)，解得：x=E,經(jīng)檢驗(yàn)：x—1W0,X+1W0成立;

當(dāng)a=12時(shí)，解得：x=+l,經(jīng)檢驗(yàn)：分母為0沒有意義，故舍去；

綜上:a=±l,故答案是：±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，解題的關(guān)鍵是：化簡分式方程，最終用。來表示了,再根據(jù)解為整數(shù)來確

定a的值，易錯(cuò)點(diǎn)，容易忽略對(duì)根的檢驗(yàn).

變式2.(2023?廣西九年級(jí)課時(shí)練習(xí))若關(guān)于x的方程(a+l)x2+(2a-3)x+a-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且

關(guān)于x的方程；t-1=工的解為整數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)a的和是_____.

1+XX+1

【答案】2

【分析】關(guān)于一元二次方程(a+1)x2+(2a-3)x+a-2=0利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a<

174

—且ax；,再解分式方程得到x=-7m~3),接著利用分式方程的解為整數(shù)得到a=0,2,-1,3,5,-

3,然后確定滿足條件的a的值，從而得到滿足條件的所有整數(shù)a的和.

【詳解】團(tuán)關(guān)于x的方程(a+l)x2+(2a-3)x+a-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

17

Ela+l*0且+=(2a-3)2-4(a+l)x(a-2)>0,解得a<一且a*-1.

8

把關(guān)于X的方程產(chǎn)njc-1=\3去分母得ax-l-x=3,解得*=4三5-3)

1+xx+1a-1

4

取工-1,團(tuán)——。一1,解得ax-3,

a—1

4

團(tuán)x=——(aw-3)為整數(shù)，0a-1=±1,±2,±4,

a-1

17

回a=0,2,-1,3,5,-3,而aV—JIaw-1且aw-3,

8

團(tuán)a的值為0,2,團(tuán)滿足條件的所有整數(shù)a的和是2.故答案是：2.

【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根與A=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<()時(shí)，方程無實(shí)

數(shù)根.

核心考點(diǎn)2.分式方程的應(yīng)用

例7：(2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題)"暢通交通，扮靚城市"，某市在道路提升改造中，將一座長度為36

米的橋梁進(jìn)行重新改造.為了盡快通車，某施工隊(duì)在實(shí)際施工時(shí)，每天工作效率比原計(jì)劃提高了50%,結(jié)

果提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)，那么該施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造多少米？

【答案】施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米.

【分析】設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造x米，根據(jù)提前2天成功地完成了大橋的改造任務(wù)得：

￥=U而+2,解方程并檢驗(yàn)可得答案―

【詳解】解：設(shè)施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造x米,

=

根據(jù)題意得：T（1+50%）X+2,解得彳=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，

答：施工隊(duì)原計(jì)劃每天改造6米.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程.

變式1.（2023?山東淄博?統(tǒng)考中考真題）為貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的

重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個(gè)年級(jí)學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動(dòng).已知初一植樹900棵

與初二植樹1200棵所用的時(shí)間相同，兩個(gè)年級(jí)平均每小時(shí)共植樹350棵.求初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹多少

棵？設(shè)初一年級(jí)平均每小時(shí)植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）

9001200900_1200900_1200900_1200

I.------=----

350-xxx350+x350+%xx350-x

【答案】D

【分析】根據(jù)初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時(shí)間相同列式求解即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，%=上轡-，故選：D；

x350—x

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解決應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系式.

變式2.（2023?廣東河源?統(tǒng)考三模）某工程隊(duì)承接了60萬平方米的綠化工程，由于情況有變，.…設(shè)原計(jì)

6060”

劃每天綠化的面積為尤萬平方米，列方程為（-20%卜一丁根據(jù)方程可知省略的部分是（）

A.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

B.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了20%,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

C.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了20%,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù)

D.實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了20%,結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)給定的分式方程，找出省略的條件是解題的關(guān)鍵.根據(jù)工作時(shí)

間=工作總量+工作效率結(jié)合所列分式方程，即可找出省略的條件，此題得解.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天綠化的面積為尤萬平方米，

6060—6060

回所列分式方程為0_20%）Y一丁=，回（1-20%）x為實(shí)際工作時(shí)間，牛為原計(jì)劃工作時(shí)間，

團(tuán)省略條件：實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃降低了20%,結(jié)果延誤30天完成了這一任務(wù).故選:

C.

變式3.（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）某村要修建一條長為1200米的水泥路面村道，現(xiàn)有兩支施工隊(duì)前來應(yīng)

聘，村委會(huì)派出相關(guān)人員了解這兩支施工隊(duì)的情況，獲得如下信息.

信息一：甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天；

信息二：乙隊(duì)每天施工的數(shù)量是甲隊(duì)每天施工的數(shù)量的1.5倍.

⑴根據(jù)以上信息，求甲、乙兩支施工隊(duì)每天分別修多少米道路？

（2）村委會(huì)將工程交給乙隊(duì)，要求25天內(nèi)完成.幾天后因乙隊(duì)接到搶險(xiǎn)任務(wù)，經(jīng)村委會(huì)同意，就將余下工

程交給甲隊(duì).那么在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工多少天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成？

【答案】⑴甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；

（2）在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成.

【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修1.5尤米道路，利用工作時(shí)間=工作總量+工

作效率，結(jié)合甲隊(duì)單獨(dú)施工完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)施工完成工程多用10天，可列出關(guān)于x的分式方程，解之

經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出甲施工隊(duì)每天修路的長度，再將其代入L5x中，即可求出乙施工隊(duì)每天修路的長度；

（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，根據(jù)要求25天內(nèi)完成修路任務(wù)，可列出關(guān)于y的一元一次不等

式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修x米道路，則乙施工隊(duì)每天修L5x米道路，

根據(jù)題意得：段-警=10,解得：x=40,

x1.5x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的解，且符合題意，=1.5x40=60.

答：甲施工隊(duì)每天修40米道路，乙施工隊(duì)每天修60米道路；

（2）設(shè)在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)施工y天，

根據(jù)題意得：40（25-y）+60y>1200,解得：y>10,也的最小值為10.

答：在轉(zhuǎn)交給甲隊(duì)之前乙隊(duì)至少要施工10天，才能按照村委會(huì)要求按時(shí)完成.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

例8：（2023,廣東湛江?統(tǒng)考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區(qū)門口同時(shí)出發(fā)，沿同一條路線去離該

小區(qū)1800米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)節(jié)能環(huán)保，綠色出行的號(hào)召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的

速度的1.2倍，結(jié)果珂銘比小雪早6分鐘到達(dá).

⑴求小雪的速度；⑵活動(dòng)結(jié)束后返回，珂銘與小雪的速度均與原來相同，若小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分

鐘回到小區(qū)，則小雪至少要比珂銘提前多長時(shí)間出發(fā)？

【答案】⑴小雪的速度是50米/分鐘（2）小雪至少要比珂銘提前出發(fā)12分鐘

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；

（1）設(shè)小雪的速度是x米/分鐘，則珂銘速度是1.2x米/分鐘，根據(jù)"珂銘比小雪早6分鐘到達(dá)〃列出方程，

解方程并檢驗(yàn)后即可得到答案；（2）求出珂銘與小雪全程所用的時(shí)間，根據(jù)"小雪計(jì)劃比珂銘至少提前6分

鐘回到小區(qū)”列出不等式，解不等式即可得到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)小雪的速度是x米/分鐘，則珂銘速度是1.2無米/分鐘，依題意得:

.-萼=6,解得：x=50,經(jīng)檢驗(yàn)x=50是原方程的解，

x1.2x

答：小雪的速度是50米/分鐘.

（2）由（1）可知，珂銘速度是1.2x50=60（米/分鐘），

珂銘全程用的時(shí)間是1800+60=30（分鐘），

小雪全程用的時(shí)間是1800+50=36（分鐘）,

設(shè)小雪比珂銘提前。分鐘出發(fā)，根據(jù)題意得，。+30-3626,解得。212,

答：小雪至少要比珂銘提前出發(fā)12分鐘.

變式1.（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學(xué)校九年級(jí)師生在清明

節(jié)期間前往距離學(xué)校15協(xié)7的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了30min后，其余師生乘汽車出

發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)；已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍,設(shè)騎車師生的速度為xkm/h.根據(jù)題

意，下列方程正確的是（）

1511515151竺+3。=竺D,”="+3。

A.----F-=—B.——=-----F—C.

x22xx2x2x2xXlx

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：m+g；故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意.

變式2.（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考三模）小明和小麗約定周末在學(xué)校門口集合，乘大巴車一起去本溪水洞游

玩，但由于小明有事，在小麗出發(fā)半小時(shí)后小明才到達(dá)校門口，然后小明立即乘出租車追趕，已知出租車

的速度是大巴車的L5倍，追趕上大巴車后繼續(xù)前行，結(jié)果比小麗提前15min到達(dá)本溪水洞，已知學(xué)校到本

溪水洞的距離為90km,設(shè)大巴車的速度為xkm/h,根據(jù)題意，所列方程正確的是（）

901901909011909011901901

A.——I■—=------1■—B.------=一+—+—C.一=----+—+—D.------+—=一+—

x41.5%21.5尤x24x1.5.x241.5尤4x2

【答案】C

【分析】設(shè)大巴車的速度為xkm/h,則出租車的速度是L5xkm/h,根據(jù)所用的時(shí)間，即可列出分式方程.

【詳解】解：設(shè)大巴車的速度為Jtkm/h,則出租車的速度是1.5xkm/h,

根據(jù)題意得：—90=^90+^1+41,故選：C.

尤L5x24

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并依據(jù)相等

關(guān)系列出方程.

變式3.（2022?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動(dòng)，騎行愛好

者張老師騎自行車先行2小時(shí)后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3

倍，求張老師騎車的速度.

【答案】張老師騎車的速度為15千米/小時(shí)

【分析】實(shí)際應(yīng)用題的解題步驟"設(shè)、列、解、答"，根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)，找到題中等量關(guān)系張老師先走2

小時(shí)，結(jié)果同時(shí)達(dá)到列分式方程，求解即可.

【詳解】解：設(shè)張老師騎車的速度為x千米/小時(shí)，則汽車速度是3x千米/小時(shí)，

根據(jù)題意得：”45=4?5+2,解之得x=15,經(jīng)檢驗(yàn)x=15是分式方程的解，

x3x

答：張老師騎車的速度為15千米/小時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解實(shí)際應(yīng)用題，根據(jù)問題設(shè)未知數(shù)，讀懂題意，找到等量關(guān)系列出分式方程是

解決問題的關(guān)鍵.

例9：（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）某校舉行"二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競賽"活動(dòng)，老師讓班長小華到商店購買

筆記本作為獎(jiǎng)品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）.

⑴若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求

甲商店硬面筆記本的單價(jià).⑵若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件

（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售

出.班長小華打算購買加本硬面筆記本（加為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購買的

費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià).

【答案】⑴甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；（2）乙商店硬面筆記本的原價(jià)18元

【分析】（1）根據(jù)"硬面筆記本數(shù)量=軟面筆記本數(shù)量”列出分式方程，求解檢驗(yàn)即可；（2）設(shè)乙商店硬面筆

記本的原價(jià)為。元，則軟面筆記本的單價(jià)為（。-3）元，由再多購買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購買的費(fèi)用相

/\/、Im<30

同可得〃IM）"），再根據(jù)-5三0且上均為正整數(shù)，即可求解

【詳解】（1）解：設(shè)硬面筆記本的單價(jià)為x元，則軟面筆記本的單價(jià)為（％-3）元，根據(jù)題意得

包240二195?，解得尤=16,經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是原方程的根，且符合題意，

xx-3

故甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；

（2）設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為〃元，則軟面筆記本的單價(jià)為（。-3）元，

Im<30

由題意可得加+523。’解得25"<3。,

根據(jù)題意得7因=（m+5）（。-3）,解得。=網(wǎng)產(chǎn)，

?.?機(jī)為正整數(shù)，，機(jī)=25,26,27,28,29,分別代入。="產(chǎn)，

可得。=18,18.6，19.2,19.8,20.4,由單價(jià)均為整數(shù)可得a=18,

故乙商店硬面筆記本的原價(jià)18元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出相

應(yīng)方程.

變式1.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考三模）"五一"期間，我市某商場舉行促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商

品按標(biāo)價(jià)的80%出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券：根據(jù)

促銷方法，顧客在該商場購物可獲得雙重優(yōu)惠.例如，購買標(biāo)價(jià)為450元的商品，則消費(fèi)金額為

450x0.8=360（元），獲得優(yōu)惠額為：450x0.2+30