2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量的概念及線性運算（六大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第01講平面向量的概念及線性運算

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：平面向量的基本概念.....................................................2

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題.........................................2

題型三：共線定理及其應(yīng)用.......................................................3

題型四：平面向量基本定理'交叉分解定理及應(yīng)用...................................3

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算.................................................5

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示.....................................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................6

03真題實戰(zhàn)練..................................................................7

題型一：平面向量的基本概念

1.下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行

C.模為1的向量都是相等向量

D.向量的?？梢员容^大小

2.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A.向量可以比較大小B,向量的?？梢员容^大小

C.速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

3.若向量方與5為非零向量，下列命題中正確的是（）

A.若日=5，則2商＞3日

B.BC-BA-DC=DA

C.若非零向量同+忖=|萬+可，則方與行的方向相同

D.若同=問=同，貝U萬=3=5

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題

4.如圖所示，在平行四邊形A3CD中，AC與交于點E是線段。。的中點，AE的延長線與交

于點尸.若麗二九AD=b則春等于（）

1-1-1_1一

C.-a+-bD.—a+—b

4333

uuuriuuruunuuuriuimuum

5.（2024.山東聊城一模）M是△ABC內(nèi)的一點，若5M+AM=—AB+JLIA.C,貝4+〃=()

6.已知向量6,5共線，且同=2問=2,則卜+同=

題型三：共線定理及其應(yīng)用

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知向量不，馬是平面上兩個不共線的單位向量，且荏=4+22，配=-3昌+2馬，

方=3耳-6號,則（）

A.A、B、C三點共線B.A、B、。三點共線

C.A、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

8.已知非零向量［和［不共線，若+g互與-21+左晟共線，則上的值為.

9.已知1,5是不共線的向量，S.AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b，則（）

A.AB,C三點共線B.B,C,。三點共線C.AB,。三點共線D.AC,。

三點共線

10.已知分別為AABC的邊AB,AC上的點，線段BE和8相交于點P,若蒞=3麗，DP=APC，

—,—.12

CE=〃EA,其中則丁+一的最小值為_____.

X//

__?1__.

11.在“IBC中，。為AC上的一點，滿足AD=§OC.若尸為上的一點，滿足

AP=mAB-i-nAC（m>0,n>0）f則加與〃的關(guān)系為；百+'的最小值為.

mn

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用

12.已知A28E分別為從1BC的邊8cAe上的中線，設(shè)而=￡,而=反則阮=（）

2一4一c2一?4f

c.3a-3bD.--a^~—b

13.（2024?廣東汕頭?三模）已知四邊形A5CD是平行四邊形，BE=2EC，DF=FC^\EF=（）

1—?1—?1—?1—?

A.——AB+-ADB.——AB——AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

14.設(shè)為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（）

A.6+與和,-弓B.4%+26和羽-相

C.2G+6和G+5，2D.q—2^和4^+Ze1

15.在AABC中，CM=?>MB,AN+CN=0,貝I（）

___1_____.3__,___,2__.7__?

A.MN=-AC+-ABB.MN=-AB+-AC

4436

-----1—-2—?----?1—.3—■

C.MN=-AC——ABD.MN=-AC--AB

6344

16.（2024.高三?貴州貴陽.開學(xué)考試）如圖，在融。中，點O為線段3c的中點，點不是線段AZ）上靠近O

的三等分點，則屁=（）

5—?1—?

B.——AB+-AC

3366

荏+；旅5—?1—?

C.|D.-AB——AC

66

17.如圖，在平行四邊形ABC。中,"為的中點，AC與QA/交于點O,則兩二（

___.1—.2.

B.OM=-AB——AD

6333

C.OM=-AB--ADD.OM=-AB--AD

2263

18.（2024?云南昆明?一模）在中，點O滿足而=4瓦，則（）

—.1.3?,3—?1—.

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4444

—.1—.4—.—?4—1—?

C.CD=-CA+-CBD.CD=—CA+—CB

5555

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算

19.若向量4=27+31初=7-2了，則而對應(yīng)的位置向量的終點坐標(biāo)是.

20.如圖，直線。4、AB與％軸正方向的夾角分別為夕和30°,|市|=|通|=2,。?（0,爭，則刀的坐標(biāo)

是.

21.（2024.福建泉州.模擬預(yù)測）菱形A3CD中，AB=（1,Z）,麗=（2,2）,貝心=.

22.已知4（1,1）,5（4,0）,點尸在線段A8延長線上，且網(wǎng)=3同，則點P的坐標(biāo)為.

23.已知梯形48CD,其中ABWDC,且DC^2AB,三個頂點4（1,2）,8（2,1）,C（4,2）,則點D的坐標(biāo)為

24.已知點44,0）,8（4,4）,C（2,6）,O為坐標(biāo)原點，則AC與的交點尸的坐標(biāo)為.

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示

25.如果A（l,2）,3（3,a）,C（7,a+2）三點共線，貝心的值為.

26.已知商=（2,4）,b=（3,y）,且商〃,+方）,則實數(shù)矢=.

27.若A（x,-1）,3（1,3）,C（2,5）三點共線,則彳=.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，A（l,/W）,JB（-2,27M+l）,AC=（-l,m-l）,若A,B,C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)

m的取值范圍為.

1?已知向量G，02不共線，實數(shù)x，丁滿足（尤-丁鳩+（%+'泡='+3/，貝”x+2y=（）

A.4B.-4C.2D.-2

ab

2.設(shè)技是非零向量，則同二同是汗=2B成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

,6）則與向量通+2①同方

3.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知點A（2,6）,5(-2,-3),C(O,1),

向的單位向量為（）

從（3崖V10大

「（2由行］

仁丁一丁

4.已知a,B為不共線向量，AB=3+5b,BC=-2cl+Sb,CD=3（S—b^,貝I」（）

A.A8,。三點共線B.A,民C三點共線

C.民CD三點共線D.A,C。三點共線

5.12。24陜西銅川?模擬預(yù)測）在中，麗灰三斤若它荏+g記；應(yīng),

2-.5—■

c^-AB+-AC,貝|()

77

A.忖＞同＞同B.問＞同＞同C.|a|＞|c|＞|S|D.同＞同＞網(wǎng)

6.(2024.貴州六盤水.三模)已知點。為AABC的重心，AC=AOA+juOB,貝iJ2+〃=()

A.-3B.-2C.1D.6

7.(2024?青海海西?模擬預(yù)測)已知向量商=(1,一2),石=(//一)，若2〃以貝U=()

A.-2B.-1C.0D.2

8.（2024?河北承德?二模）在44BC中，。為8c中點，連接AD,設(shè)E為AD中點，S.BA=x,BE=y,則

~BC=()

A.4x+2yB.-4x+y

DC

15.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測）A/RC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,設(shè)向量方=（a+c,b）,

q=（b+c,a-c），若向量方與向量/共線，則角A=.

16.（2024?上海松江?二模）已知正三角形A3C的邊長為2,點。滿足函=,“耳+〃麗，且機(jī)＞0,

2/71+77=1,貝修麗|的取值范圍是.

1.（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（廣東卷））已知平面向量；=（1,2）,百=（-2,山），且￡〃風(fēng)

則2Z+3B等于（）

A.（-2,-4）B.（-3,-6）C.（-5,-10）D.（-4,-8）

2.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））已知向量工=（1,機(jī)），b=（m,2）,若Z//B，

則實數(shù)m等于（）

A.-72B.72

C.一a或0D.0

3.（2015年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）如下圖，M是線段03的中點，設(shè)向量示=￡,OB=b，那么而

能夠表示為（）

一1一

B.-a+—b

2

一1-

D.-a——b

2

4.（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）己知平行四邊形A3CZ）,點E,尸分別是AB,3c的中點（如圖

所示），設(shè)麗=苕，AD=b,則訪等于（）

5.（2007年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（大綱卷II））在AABC中，D是A8邊上一點.若

AD=2DB,CD=^CA+ACB,則2的值為（）

A.-B.-C.--D.--

3333

6.（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（瓊、寧卷））平面向量心方共線的充要條件是（）

A.a,5方向相同B.a,5兩向量中至少有一個為零向量

C.BAeR,b=AaD.存在不全為零的實數(shù)4，%,A?+V=0

7.（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（浙江卷））已知向量2=（3,4）,U（sina,cos?）,且

allb貝!|tan（z=（）

3344

A.-B.——C.-D.——

4433

8.（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（廣東卷））已知向量乙=（2,3）,5=（匹6）,且力〃方，則x=.

9.（2020年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷）在AA8C中，4J=4,AC=3,/&1。=90。,￡＞在邊8c上，延長到P,

使得AP=9,^PA=mPB+（--m）PC。"為常數(shù)），則CD的長度是.

第01講平面向量的概念及線性運算

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：平面向量的基本概念.....................................................2

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題.........................................2

題型三：共線定理及其應(yīng)用.......................................................3

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用...................................3

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算.................................................5

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示.....................................................5

02重難創(chuàng)新練..................................................................6

03真題實戰(zhàn)練..................................................................7

題型一：平面向量的基本概念

1.下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行

C.模為1的向量都是相等向量

D.向量的?？梢员容^大小

【答案】D

【解析】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯；

由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯；

長度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長為1的向量只規(guī)定了長度相等，方向不一等相同，故C錯;

向量的模長是一個數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確.

故選：D.

2.關(guān)于平面向量，下列說法正確的是（）

A.向量可以比較大小B.向量的?？梢员容^大小

C.速度是向量，位移是數(shù)量D.零向量是沒有方向的

【答案】B

【解析】向量不可以比較大小，但向量的模是數(shù)量，可以比較大小，A錯誤，B正確；

速度和位移都有方向和大小，是向量，C錯誤；

零向量方向任意，D錯誤.

故選：B

3.若向量商與行為非零向量，下列命題中正確的是（）

A.若@=B，則2a>3石

B.BC-BA-DC=DA

C.若非零向量同+忖=卜+5],則百與3的方向相同

D.若同=W=同，貝I]a=5=不

【答案】C

【解析】對于A選項，由于向量不能比大小，所以A選項錯誤；

對于B選項，BC-M-DC=AB+BC+a5=AD，B錯誤；

對于C選項，因為同+忖=|萬+日，所以（同+閘=（卜+盯，

所以同~+|方|+2|a|-|zr|=a2+b2+2a-b,

所以2同.忖=2小5,設(shè)向量同-忖=同同-cos萬，方

又向量N與B是非零向量，所以cos商石=1,又M,bw[0,兀

所以25=0,故萬與方的方向相同；c正確；

若間=W=同，a,Rc方向不一定相同，則a,反5不一定相等，D錯誤;

故選：C.

題型二：平面向量的線性運算及求參數(shù)問題

4.如圖所示，在平行四邊形ABC。中，AC與3方交于點。,E是線段OD的中點，AE的延長線與8交

于點月.若麗=￡,AD=b，則左等于（）

1_1_1一lr

C.一aH—bD.—a+—b

4333

【答案】B

【解析】在平行四邊形ABC。中，AC與交于點0,E是線段。。的中點，AE的延長線與8交于點廠,

riLL」DFDE1.DFDF1

則△阻?△始，所以版一,則n...-----二一

1r3ABDC3

所以麗=!皮=」南，貝1」/二布+麗=!通+礪=，益+》.

3333

故選：B.

uuur1urUlmuuuriuunumn

5.（2024?山東聊城一模）M是金。內(nèi)的一點，若3M=§3A+ZSC,AM;萬四+44。，則％+〃=（）

B.1cD

A-?-1-1

【答案】D

【解析】由AM—=AB,貝UAB=5A3+〃AC—§BA—/IBC,

所以LA5=〃AC_XBC,BPAB=6(//AC-ABC)=6(//AC+ACB),5LAB=AC+CB,

6

故〃=2=：,故彳+〃=彳.

63

故選：D

6.已知向量扇5共線，且同=2忖=2,則卜+方卜.

【答案】I或3

【解析】由向量"石共線，故向量15可能同向、可能反向,

當(dāng)向量方萬同向時，由同=2問=2,則忖+5|=忸+日=3,

當(dāng)向量反向時，由同=2忖=2,則卜+可十25+q=1.

即,+同可能為1或3.

故答案為：1或3.

題型三：共線定理及其應(yīng)用

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知向量不，馬是平面上兩個不共線的單位向量，且通=用+2備，交=-3耳+2當(dāng)，

次=34一6號，則（）

A.A、B、C三點共線B.A、B、。三點共線

C.A、C、。三點共線D.B、C、。三點共線

【答案】C

【解析】對A,因為通=4+2當(dāng)，配=-3召+2馬，不存在實數(shù)彳使得麗=九配，故A、B、C三點不共

線，故A錯誤；

對B,因為福=耳+2&,DA=3et-6e2,不存在實數(shù)4使得徑=2萬5，故A、B、。三點不共線，故B

錯誤；

對C,因為:53=荏+直=一24+4弓，次=3弓-6備，則冠=-§力X,故A、C、。三點共線，故C正

確；

對D,因為配=—3昌+2號，BD^-DA-AB=DA=-3el+6e2-ex-2e2=-^e1+^e2,不存在實數(shù)2使得

BC=ABD，故2、C、。三點不共線，故D錯誤.

故選：C

8.已知非零向量I和1不共線，若gl+g晟與-21+左晟共線，則無的值為.

41

【答案】一§/-1§

【解析】非零向量[和1不共線，則最河，

+e

由+§02與—2ex+ke2共線，得一26+ke2=t{—ex+—e2)=-e1~2，

244

因此，解得f=-4#=T，所以左的值為-不

k=-33

I3

4

故答案為：

9.已知a5是不共線的向量，且福=2+2反冊=-5萬+6瓦①=7萬-25，則()

A.AB,C三點共線B.B,C,。三點共線C.AB,。三點共線D.A,C,D

三點共線

【答案】C

【解析】A：假設(shè)存在實數(shù)X,使得通=彳前，則AB,C三點共線.

a+2b=2(-5a+6b),得，=，無解，所以假設(shè)不成立，故A錯誤；

[2=OX

B：假設(shè)存在實數(shù)％,使得祝=2①，則尻CD三點共線.

--一一[-5=74

-5a+6b="7a-2b),得＜…，無解，所以假設(shè)不成立，故B錯誤；

Io=-Z/L

UUIUULILLUUIU11

c：BD=BC+CD=2a+4b，

假設(shè)存在實數(shù)％,使得荏=4瓦，則A民。三點共線.

1=22解得2=；,所以假設(shè)成立，故c正確;

a+2b=4（2。+4萬），得

2=42

D：AC=AB+BC=-4a+Sb，

假設(shè)存在實數(shù)幾，使得衣=2①，則AC,。三點共線.

-4￡+筋=〃7￡-2楊，得《丁一?，無解，所以假設(shè)不成立，故D錯誤.

o=-2X

故選：c

10.已知AE分別為AA6C的邊AB,AC上的點，線段的和8相交于點尸，若蒞=3麗，DP=APC，

——12

CE="EA,其中彳>0,">0.貝什+刀的最小值為一

【答案】40

【解析】如圖所示:

_._._.2.

又DP=XPC,,所以。P=「Z)C,

1+2

CE=^iEA,,所以*=(1+〃)而

Q=蒞+而=濘+高—法+匕(而珂

△通+上(1+ju)AE-(1+〃)正,

41+41+241+A41+A

32(1+//)1

?.,氏P,E三點共線，+三—=1,化簡得加=：；

廠?1+2之2=4五,當(dāng)且僅當(dāng)〃=2X,4=〃=取等;

4〃丫4〃42

故答案為：4a

—.1__.

11.在AABC中，。為AC上的一點，滿足AO=]Z)C.若。為上的一點，滿足

AP=mAB+nAC(m>0,n>0),則加與〃的關(guān)系為；&+'的最小值為.

mn

【答案】m+4H=116

【解析】如圖所示,

B

由布=；覺得而=:正，即衣=4近，

又AP=mAB+nAC(m>0,n>0),

所以Q二加通+4〃正，又P為BD上的一點，

所以m+4n=l,

因為機(jī)>0,n>0,

匚匚ci41/4I、.x16〃m.16nm,

所以一+—=—+—(m+4n)=o8+——+—>8+2J---------=116,

mn\mn)mn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)則='即加=:，〃=!時等號成立，

mn28

41

所以上+2■的最小值為16.

mn

故答案為：機(jī)+4〃=1；16.

題型四：平面向量基本定理,交叉分解定理及應(yīng)用

12.已知ADIE分別為AASC的邊BC,AC上的中線，設(shè)蒞=￡,BE=b,^BC=()

門2-4-2^4^

C.-abD.--a+—b

【答案】B

【解析】分別為AABC的邊BC,AC上的中線，

貝。礪=而_麗［而一麗，

BE=BA+AE=BA+1ZC=BA+1(AB+BC)=1(BA+BC),

由于而=￡,BE^b,所以￡=3阮—阮石=：麗+；初,

___74

故解得配=/+§方,

故選：B

13.（2024?廣東汕頭三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE=2EC,DF^FC＞貝1（）

1—.1-,1--1--

A.——AB+-ADB.——AB——AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

【答案】A

【解析】在DABCD中，由詼=2反DF^FC，

^EF=EC+CF=-BC+-CD=--AB+-AD.

3223

故選：A

14.設(shè)區(qū)，最｝為平面內(nèi)的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（）

A.，+02和，—02B.4%+2%和24—4q

C.2%+與和G+/GD.C］—2e2和46+2q

【答案】C

【解析】平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，

C選項中，2e,+e2=2^el+^e2j,即國+［和］為共線向量，

所以它們不能作為基底.

其它選項中的兩個向量都沒有倍數(shù)關(guān)系，所以可以作為基底.

故選：C

15.在AABC中，CM=3MB,~AN+CN=Q,貝I（）

i_____3__.___.9__.7__?

A.MN=-AC+-ABB.MN=-AB+-AC

4436

--1―.2----1--3―-

C.MN=-AC——ABD.MN=-AC--AB

6344

【答案】D

【解析】因為,=3礪，AN+CN=0,

所以M是位于BC上的靠近點8的四等分點，N為AC的中點，如下圖所示：

N

所以頡=加一胸=」/一濕一加=!/一加一工肥=」衣一通一工（近一起）=」/一。血.

22424、,44

故選：D

16.（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）如圖，在AABC中，點。為線段BC的中點，點E是線段AD上靠近。

的三等分點，則而=（）

5--1―.

B.——AB+-AC

66

2—.1—.5—-1—■

C.-AB+-ACD.-AB——AC

3366

【答案】A

【解析】因為。為線段BC的中點，則赤=荏+而=荏+；就=麗+3（衣-通）

LABLAC,

=2+2

因為點E是線段AO上靠近D的三等分點，貝|通=:而=弓［:荏+；衣）=|麗+

___.1___1_______k_9___?1___k

因止匕，BE=AE-AB=-AB+-AC-AB=——AB+-AC.

3333

故選：A.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，M為A3的中點，AC與DM交于點0,則礪=()

___.1—、2—、

B.OM=-AB——AD

6333

___.1.1?___.1,1?

C.OM=-AB——ADD.OM=-AB——AD

2263

【答案】D

【解析】因為,〃女,且器=2,所以巖=2,

BROM=|DM=1（W-A15）=|AB-1AZ5.

故選：D

18.（2024?云南昆明?一模）在AABC中，點。滿足而=4麗，貝I（）

—?1―-3—?—?3—?1—?

A.CD=-CA+-CBB.CD=—CA+—CB

4444

―-1—.4—.―-4.1―.

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

5555

【答案】C

【解析】如下圖所示：

1___.4—.

=-CA+-CB；

55

即可得6=（回+、函.

故選：C

題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運算

19.若向量而=2。+31^=:-27，則/對應(yīng)的位置向量的終點坐標(biāo)是.

【答案】（3,1）

【解析】AC=AB+BC=2i+3j+i-2j=3i+j,所以衣對應(yīng)的位置向量的終點坐標(biāo)是（3,1）.

故答案為：（3,1）

20.如圖，直線。4、A8與無軸正方向的夾角分別為夕和30°,\OA\=\AB\=2,^e（0,1）,則通的坐標(biāo)

是

由題得A的坐標(biāo)為（2cos6,2sin。），

由于山。|=1,|AD|=g，所以點B的坐標(biāo)為（2cos6+6,2sin6+l）,

所以的坐標(biāo)為Qcose+g-ZcosaZsinO+l-ZsinO）,即（6/）.

故答案為：（6,1）

21.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）菱形A3CD中，頒=（：）,而=（2,2）,貝心=

【答案】-3

【解析】由題意，

在菱形A3CD中，荏=（l,f）,而=（2,2）,

可得配=前=通+礪=（3j+2）,

京=通+而=（l,t）+（3j+2）=（4,2f+2）,

...小麗=4x2+2⑵+2）=0,

解得：t--3.

故答案為：-3.

22.已知A?！梗?5（4,0）,點尸在線段AB延長線上,且網(wǎng)=3閥，則點尸的坐標(biāo)為

11_￡

【答案】

'29~2

【解析】設(shè)o是坐標(biāo)原點,

由于尸在線段A3延長線上，且同=3陷,

23.已知梯形ABC。,其中AB\\DC,且DC=2AB,三個頂點4(1,2),2(2,1),C(4,2),則點D的坐標(biāo)為

【答案】(2,4)

【解析】???在梯形ABC。中，0c=248,AB\\DC,

■DC=2AB,

設(shè)點。的坐標(biāo)為(x,y),

則DC=(4—x,2—y),AB=(1,-1),

.?.(4-x,2-y)=2(l,-l)=(2,-2),

4-x=2x=2

2,-2,解得

y=4

二點。的坐標(biāo)為(2,4).

故答案為：(2,4).

24.已知點44,0),8(4,4),C(2,6),O為坐標(biāo)原點，則AC與的交點尸的坐標(biāo)為

【答案】(3,3)

【解析】法一:由。，P,2三點共線，可設(shè)中=2麗=(42,42),

貝I]/=而一函=(42-4,42),

又近二前一次二⑴⑹，

由麗，亞共線,得(4P-4)x6-4Xx(—2)=0,

解得力=：，所以歷==兩=（3,3）,

44

所以點P的坐標(biāo)為（3,3）,

故答案為：（3,3）

法二:設(shè)點P（xj）,則9=（x,y）,因為9=（4,4）,且成與麗共線，

所以4x-4y=0,即4》

又衣=（尤-4,y）,AC=（-2,6）,且Q,患共線，

所以（尤一4）x6-yx（—2）=0,解得x=y=3,

所以點P的坐標(biāo)為（3,3）,

故答案為：（3,3）

題型六：向量共線的坐標(biāo)表示

25.如果A（l,2）,3（3,a）,C（7,a+2）三點共線，貝心的值為.

【答案】3

【解析】因為A。,2）,3（3,a）,C（7,a+2）三點共線，所以存在4使得荏=九正.

即（2,a-2）=X（6,a）,解得力=；,°=3.

故答案為：3

26.已知4=（2,4）,B=（3,y）,Ra//（a+b）,則實數(shù)y=.

【答案】6

【解析】因為萬=（2,4）,b=（3,y）,

所以2+萬=（3,y）+（2,4）=（5,4+y）,

又出/（萬+方），所以2（4+y）=4x5,解得y=6.

故答案為：6

27.若A（x,T）,川1,3）,C（2,5）三點共線,則％=.

【答案】-1

【解析】因為3（1,3）,C（2,5）,

所以而=（l-x,4）,死=（1,2）,

因為A（無,-1）,8（1,3）,C（2,5）三點共線，

所以通與元共線，所以2（1-尤）=4,得尸-1,

故答案為：T

28.在平面直角坐標(biāo)系中，A（l,/M）,B（-2,2m+1）,AC=（-1,m-1）,若A,B,C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)

m的取值范圍為.

【答案】（F,2）U（2,+S）

【解析】4B,C三點能構(gòu)成三角形，則通與我不共線，

A8=（-3,機(jī)+1）,若35與正共線，則有=解得加=2,

若A,B,C三點能構(gòu)成三角形〃-2,即實數(shù)機(jī)的取值范圍為（F,2）U（2,y）.

故答案為：（F,2）U（2,Y）

1.已知向量q,e2不共線，實數(shù)％，V湖足（x-y）q+（x+丫泡=q+3e2,貝！|x+2y=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【解析】由q,e2不共線，實數(shù)%,，滿足（x-y）[+（x+y）瑟=冢+3晟，

[x—y=1

得'。，解得x=2,y=l,

[x+y=3

所以尤+2y=4.

故選：A

ab

2.設(shè)々出是非零向量，則忖=忖是1=成立的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】對于非零向量扇5,

ab

由同=同可知向量萬萬共線，但不一定是4=2心所以充分性不成立；

ab

由萬=2人可知向量扇方共線同向，則同=同，所以必要性成立，

ab

所以設(shè)2方是非零向量，則同=同是4=25成立的必要不充分條件,

故選：C.

3.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知點A（2,6）,8(-2,-3),C(O,1),則與向量通+2①同方

向的單位向量為（）

兒（［十3V10大

「"石石］

c丁一三

【答案】A

【解析】由題意通=（-4,-9）,①=［g,5）,所以存+2函=（3,1）,

AB+2CD1

從而與向量通+2C方同方向的單位向量為

V9+1

故選：A.

4.已知Z,行為不共線向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),則()

A.A,在D三點共線B.A,8,C三點共線

C.5,C,O三點共線D.4C,。三點共線

【答案】A

【解析】^BD=BC+CD=-2a+Sb+?,a-3b=a+5b=AB,所以4民。三點共線,

故選：A.

5.(2024?陜西銅川?模擬預(yù)測)在AABC中，BABC^-BC2,^a^-AB+-AC,b^-AB+-AC,

23344

2—.5-?

c=-AB+