《工程流體力學》課件-第3章 流體運動的基本方程

學習要求：1.掌握流體運動的基本概念，尤其是：歐拉法與拉格朗日法，定常流與非定常流，一元流動，平均速度與流量，系統(tǒng)與控制體的概念；2.掌握流體一元流動連續(xù)性方程；3.理想流體的運動微分方程，總流的伯努利方程的建立及其應用。4.掌握動量和動量矩方程；5.了解空間歐拉運動方程，掌握平面勢流模型及平面勢流的應用本章作業(yè)：3-2，3-3，3-4，3-11，3-13，3-16，3-21課程安排：

理論8學時，實驗2學時第3章流體運動的基本方程3.1描述流體運動的幾個基本概念3.2連續(xù)性方程第3章流體運動的基本方程3.3理想流體的運動微分方程3.4總流的伯努利方程及其應用3.5伯努利方程的擴展3.6動量和動量矩方程3.10歐拉運動方程與平面勢流

流體運動學研究流體的運動規(guī)律，如速度、加速度等運動參數(shù)的變化規(guī)律，而流體動力學則研究流體在外力作用下的運動規(guī)律，即流體的運動參數(shù)與所受力之間的關系。本章主要介紹流體運動學和流體動力學的基本知識，推導出流體動力學中的幾個重要的基本方程：連續(xù)性方程、伯努利方程和動量方程等，這些方程是分析流體運動問題的基礎。理想流動流體中任一點的靜壓力特性保持不變，壓力僅與位置有關而與方向無關。實際流動流體，由于黏滯力作用，流體的靜壓力特性就會發(fā)生變化，壓力不僅是空間位置的函數(shù)，而且與方向有關。但由于黏滯力對壓力隨方向變化的影響很小，而且又從理論上能證明任一點在任意的三個正交方向上的壓力平均值是一個常數(shù)。流體動力學中所指的動壓力就是這個平均值，并一律用“壓力”這個概念

。

第3章流體運動的基本方程

拉格朗日法也稱隨體法，是對流體中所有單個流體質點的位置、速度、壓力等參數(shù)隨時間的變化進行研究，而后將所有質點的運動綜合起來，從而得到整個流體運動的一種研究方法。由于流體質點極多，顯然這種方法太復雜，因此除研究單個污染物粒子在水中運動的軌跡、自由液面有規(guī)律的波動行為外，流體力學很少采用拉格朗日法。

1.拉格朗日法3.1.1描述流體運動的兩種方法3.1描述流體運動的幾個基本概念

流體運動所占據(jù)的全部空間稱為流場。研究流體運動，可通過對流體質點運動的研究得到。描述流體質點運動，常采用兩種方法：拉格朗日法和歐拉法。第3章流體運動的基本方程2.歐拉法

歐拉法也稱當?shù)胤?，是對流場中各空間點上流體質點運動的速度、壓力等參數(shù)隨時間的變化進行研究，而后將所有空間點上的結果綜合起來，從而得到整個流場運動的一種研究方法。注意：這種方法實際上是研究在固定空間位置處，不同瞬時、不同流體質點的運動。歐拉法不能描述單個質點從始到終的全部運動過程，然而它能表示出同一瞬時整個流場的流動參數(shù)。

雖然對流動的數(shù)學描述很少用拉格朗日法，但拉格朗日觀點仍是重要的。因為物理學基本定律都是描述質點、物體或系統(tǒng)運動的，因此拉格朗日觀點是定義和描述流體物理量的基礎。3.1.1描述流體運動的兩種方法

在實際工程中，許多問題不需要知道個別質點全部運動過程，而只需知道流場內固定點、固定斷面或固定空間的流動。如水由管口流出，只需知道水在管口處的流速就可以，而不需了解水中每個流體質點由始到終的全部運動過程。因此，工程中廣泛采用歐拉法。

3.1.1描述流體運動的兩種方法3.1.2.描述流場的基本概念1.定常流和非定常流

定常流指流場中的流動參數(shù)不隨時間變化而改變的流動。其速度和壓力可表示為：

3.1描述流體運動的幾個基本概念如圖所示，隨時間的變化，各時刻流線形狀不變。

非定常流指流場中的流動參數(shù)的全部或其中之一與時間變化有關，即隨時間變化而改變。其速度和壓力可表示為：如圖所示，隨時間的變化，各時刻流線形狀發(fā)生變化，虛線所示。3.1.2.描述流場的基本概念

工程中大多數(shù)情況的流動，其流動參數(shù)隨時間的變化很小，以至于可以忽略不計，這些流動都可視為或簡化為定常流動。本教材主要研究定常流動問題。2.一元、二元和三元流

3.1.2.描述流場的基本概念

工程實際中的流動多屬于三元流動，例如，空氣繞過飛機、

汽車和建筑物的流動均屬于三元流動。但是，在某些流動中流動參數(shù)的變化主要發(fā)生在兩個方向上，甚至一個方向上，從而可以忽略另一個或者另兩個方向上的變化，將流動簡化為二元或一元流動。本教材主要研究一元流動問題。3.1.2.描述流場的基本概念

3.1.2.描述流場的基本概念

在管道中運動的流體，同一橫截面上各點速度實際上是不相同的，然而在工程實際中，一般取橫截面上的平均流速，因而可認為橫截面上所有流體質點的流速都以相同平均流速運動，于是將管道流動看作是流速在每個橫截面上處處相同而僅沿管道長度方向而變化的流動，速度參量滿足式（3-6）。因此所有管道或渠道的流動都可認為是一元流。一元流是本課程討論的重點。3.流線和跡線（1）跡線：跡線就是流體質點運動的軌跡線，將不易擴散的染料滴一滴到水流中，就可以看到染了色的流體質點的運動軌跡。對于每個質點都有一個運動軌跡，所以跡線是一簇曲線。顯然，這就與拉格朗日描述運動方法完全一致，由于很少利用拉格朗日法來研究流體力學問題，因此對跡線不作詳細講述。（2）流線：流線是流場中的一條光滑曲線，在某一瞬時，此曲線上的每一點的速度矢量總是在該點與此曲線相切，如圖3-5所示。流線是同一時刻由不同流體質點所組成的曲線。顯然，流線是與歐拉法相適應的。3.1.2.描述流場的基本概念流線的性質如下：

3.1.2.描述流場的基本概念4.流束與總流

流管：在流場中任意畫出一條封閉曲線（曲線本身不能是流線），經(jīng)過曲線上每一點作流線，則這些流線組成一個管狀的表面，稱為流管，如圖3-6所示。

在定常流動的情況下，流線形狀是不隨時間而變化的，因此流管的形狀和位置也是不隨時間而變化的。流束：充滿流管內的運動流體（即流管內流線之總體）稱為流束。3.1.2.描述流場的基本概念

微元流管：斷面無限小的流管稱為微元流管。微元流管斷面上各點的運動參數(shù)（如速度、壓力等）可認為相等。

根據(jù)總流的邊界情況把總流分為三類：

（1）有壓流動?？偭鞯娜窟吔缡芄腆w邊界的約束，即流體充滿管道，如有壓水管道中的流動。

（2）無壓流動?？偭鞯倪吔缫徊糠质芄腆w邊界的約束，另一部分與氣體接觸，形成自由液面，如明渠中的水流。

（3）射流?？偭鞯娜窟吔缇鶡o固體邊界的約束，如噴嘴出口后的流動。3.1.2.描述流場的基本概念

總流：無數(shù)微元流管的總和稱為總流，如實際工程中的管道流動和明渠水流都是總流。5.過流斷面、流量和斷面平均流速

流量：單位時間內通過某一過流斷面的流體量稱為流量。3.1.2.描述流場的基本概念

體積流量一般多用于表示不可壓縮流體的流量，質量流量多用來表示可壓縮流體的流量。質量流量與體積流量的關系為

3.1.2.描述流場的基本概念

3.1.2.描述流場的基本概念

前面討論過，對于管道內的流動，引入平均流速之后可將實際流體的二元流動簡化為一元流動。工程上所說的管道中的流速，便是指有效斷面的平均流速。（1）系統(tǒng)：是一團流體質點的集合。在流體運動過程中，它始終包含著確定的這些流體質點，既不增加也不減少。但這一團流體的表面可以不斷地變形，也可以從一個位置移到另一個位置。這就是系統(tǒng)的質量守恒。6.系統(tǒng)與控制體3.1.2.描述流場的基本概念系統(tǒng)的特點：

（Ⅰ）系統(tǒng)的邊界隨系統(tǒng)內質點一起運動，系統(tǒng)內的質點始終包含在系統(tǒng)內，系統(tǒng)邊界的形狀和所圍體積的大小，可隨時間變化；

（Ⅱ）系統(tǒng)與外界無質量的交換，但可以有力的相互作用及能量（熱和功）交換。（2）控制體：歐拉法研究空間固定點或固定體積內的流動參數(shù)變化規(guī)律，所以在歐拉法中將一個流場中某一確定的空間區(qū)域稱為控制體。3.1.2.描述流場的基本概念

控制體的特點：

（Ⅰ）控制體的邊界（控制面）相對坐標系是固定不變的；

（Ⅱ）在控制面上可以有質量和能量交換；

（Ⅲ）在控制面上受到控制體以外流體或固體施加在控制體內流體上的力。3.2連續(xù)性方程一元定常流的連續(xù)性方程任取兩個有效斷面1-1和2-2．取這兩個斷面與管壁圍成的體積為控制體。取t時刻占據(jù)該控制體的流體為系統(tǒng)。經(jīng)過時間間隔dt后．控制體不動，系統(tǒng)運動到1’-1’和2’-2’（如圖虛線所示），這樣，就可以得到圖示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個體積。這一過程中系統(tǒng)的位置和形狀發(fā)生了變化，但由質量守恒定律可知，其質量不會發(fā)生變化，即

第3章流體運動的基本方程對定常流動可以去掉關于時間的下標，則可得

因上述斷面是任意取的，所以

即

上式是一元定常流動的連續(xù)性方程，既適用于不可壓縮流體，也適用于可壓縮流體，其物理意義是：沿一元定常流動的流程質量流量不變。3.2連續(xù)性方程對不可壓縮流體，密度為常數(shù)，則

由上式可知，對不可壓縮流動．平均流速與有效斷面面積成反比。比如，河道變窄處的流速增大，河道變寬處的流速變小。對于多個進出口情況，連續(xù)性方程也應該表述為流出與流入控制體的質量流量平衡。流體力學中約定：流出控制體的流量為正；流入控制體的流量為負，流入和流出控制的流量代數(shù)和為零，因此，對整個控制體而言，連續(xù)性方程可以表述為

圖a為合流情況圖b為分流情況

3.2連續(xù)性方程

解：由于進油管和液壓缸左端是一個連續(xù)的密閉體，根據(jù)連續(xù)性方程，油缸左端的流量即為進油管的流量，因此，進油管中油液的流速由進入油缸左腔的流量，求得活塞向右的運動速度3.2連續(xù)性方程

3.3理想流體的運動微分方程3.3.1一元流動的歐拉運動方程1.質點的加速度牛頓第二定律把加速度與力聯(lián)系在一起。

第3章流體運動的基本方程

（3-22）3.3.1一元流動的歐拉運動方程2.

一元流動的歐拉運動方程

本節(jié)中只限于分析重力場中理想流體的一元流動，更一般的情況在3.10節(jié)中討論。

3.3.1一元流動的歐拉運動方程（1）質量力：

（2）表面力

（a）3.3.1一元流動的歐拉運動方程

（b）3.3.1一元流動的歐拉運動方程

因為是理相流體，沒有黏性力，所以微團之間沒有切向力的作用，根據(jù)牛頓第二定律，流體微團的運動方程為

3.3.1一元流動的歐拉運動方程

（3-23）

（3-25）

式（3-25）稱為運動方程沿流線的積分式，適用條件是：無黏性、可壓縮流體、沿流線（一元）的不定常運動。

（3-24）3.3.1一元流動的歐拉運動方程3.3.2一元流動理想流體的伯努利方程

上式便是流體力學中著名的伯努利方程式。3.3理想流體的運動微分方程

對圖3-18所示的同一條流線或微元管上的任意兩點，則（3-26a）

（3-26b）適用于理想不可壓流體；質量力只有重力；流體在流動過程中為定常流；伯努利方程只能應用于同一流線上的不同的點，如圖3-18所示。從推導中陸續(xù)加入的條件可知，上式的適用條件是：3.3.2一元流動理想流體的伯努利方程

3.3.2一元流動理想流體的伯努利方程3.3理想流體的運動微分方程3.3.3伯努利方程的意義1.幾何意義

伯努利方程的幾何意義是：沿流線總水頭為常數(shù)。2.物理意義

3.3.3伯努利方程的意義3.4總流的伯努利方程及其應用3.4.1總流的伯努利方程

實際流體流動時，由于流體間的摩擦阻力，沿流動方向總比能應該是逐漸降低的。

水頭損失：單位重力流體所損失的機械能在流體力學中稱為水頭損失。實際流體沿微元流管的伯努利方程式為

注意：微元管的計算相當于流線，但不同于流線，微元管中含有無數(shù)個流線。由于黏性的作用，各流線之間產(chǎn)生阻力。第3章流體運動的基本方程

單位時間內通過總流過流斷面流體的總能量為

3.4.1總流的伯努利方程1.壓力沿流線法線方向的變化

3.4.1總流的伯努利方程在圖示坐標系中有幾何關系

代入運動方程后整理可得

（3-33）

3.4.1總流的伯努利方程

上式說明不可壓縮無黏流體作定常直線運動時，壓力沿法線方向的變化規(guī)律與靜止流體中一樣。工程上將流線互相平行的直線流動稱為緩變流（否則稱為急變流）。在緩變流流束中壓力分布符合靜力學規(guī)律。

3.4.1總流的伯努利方程

如果在均勻流斷面上插上若干測壓管（如圖3-22所示），那么同一斷面上各測壓管水面將在同一水平面上，但不同斷面上有不同的測壓管水頭。

3.4.1總流的伯努利方程2.動能修正系數(shù)

3.4.1總流的伯努利方程

3.4.1總流的伯努利方程

該方程適用條件是：定常流；不可壓縮流體；作用于流體上的質量力只有重力；所取斷面為緩變流斷面。3.4.1總流的伯努利方程

3.4.1總流的伯努利方程

3.4.1總流的伯努利方程3.4.2伯努利方程的應用1.容器小孔的噴流

3.4總流的伯努利方程及其應用

式（3-38）稱為托里拆利公式，由于兩頭壓力相同并忽略粘性作用，水體微元的位能完全轉變?yōu)閯幽?，速度公式與初始速度為零的自由落體運動一樣。3.4.2伯努利方程的應用2.測速管（或稱皮托管）

3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用

在工程應用中將靜壓管和動壓管合在一起，稱為測速管或風速管，其內部結構如圖3-25所示。A點測到的總壓與未受擾動的B點的總壓相同。因此，只要我們測得某點的總壓和靜壓，就可求得該點的速度。

測量原理：在文丘里流量計入口前的直管段截面1和喉部截面2兩處測靜壓差，根據(jù)靜壓差和兩個截面的已知截面積就可計算通過管道的流量。

根據(jù)重力場中總流的伯努利方程有

在緩變流截面上壓力分布與U形管內的液體一樣具有連續(xù)性，3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用4.堰板流量計

3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用5.流動流體的吸力

7.一般的水力計算

解：在A、C兩斷面間列伯努利方程

3.4.2伯努利方程的應用

3.4.2伯努利方程的應用3.4.3水力坡度與水頭線

圖中位置水頭的連線就是位置水頭線；壓力水頭加在位置水頭之上，其頂點的連線是測壓管水頭線；測壓管水頭線再加上流速水頭，其頂點的連線就是總水頭線；陰影部分反應的是水頭損失。3.4總流的伯努利方程及其應用水頭線：各水頭沿流程以曲線的形式描繪出來的曲線。水頭線的畫法大致可分成以下幾步：（1）畫出矩形邊線；（2）根據(jù)各斷面的位置水頭畫出位置水頭線，位置水頭線也就是管線的軸線；（3）根據(jù)水頭損失的計算結果畫出總水頭線，總水頭線一定要正確地反映出水力坡度的變化情況，即管線小管徑處的水力坡度一定要大于大管徑處的水力坡度，見圖3-31（b），反之亦然；（4）再依據(jù)壓力水頭的大小畫出測壓管水頭線，這時一定要注意以下兩點，一是測壓管水頭線與總水頭線的高差必須能夠反映出流速水頭的變化情況，二是測壓管水頭線與位置水頭線之間的高差必須能夠正確地反映出壓力水頭的變化情況，見圖3-31（b）；（5）給出必要的標注。3.4.3水力坡度與水頭線【例3-7】水流由水箱經(jīng)前后相接的兩管流出大氣中。大小管斷面的比例為2：1。全部水頭損失的計算式如圖3-32（a）所示。

3.4.3水力坡度與水頭線

3.4.3水力坡度與水頭線

3.5伯努利方程的擴展3.5.2分流量或合流量的伯努利方程有分流量情況，如圖3-35所示，應按總能量平衡列能量方程。

由此可見，對于兩斷面間有流量分出的流動（分流），列能量方程時，只需考慮所列兩斷面的能最損失，而不需考慮另一股分出能量的能量損失。第3章流體運動的基本方程3.5.3過流斷面間有能量的輸入和輸出的伯努利方程

（3-47）3.5伯努利方程的擴展

3.5.3過流斷面間有能量的輸入和輸出的伯努利方程泵的輸出功率

泵在單位時間內對液流所做的功（或加給液流的能量）叫做泵的輸出功率，也稱為泵的有效功率，用N表示，單位為W（N.m/s）。

3.5.3過流斷面間有能量的輸入和輸出的伯努利方程

3.5.3過流斷面間有能量的輸入和輸出的伯努利方程

3.6動量和動量矩方程

在很多情況下人們關心的是流體和外界的相互作用，而不必知道流體內部的壓力和速度分布的詳細情況，此時可將剛體力學中的動量定理應用于流體質點系。

剛體力學的動量定理：質點的動量對時間的變化率等于作用在質點上的合外力，即

第3章流體運動的基本方程

剛體力學中的動量定理是以質點或質點系為研究對象，在流體力學中即為拉格朗日的研究方法。針對流體質點系所列的動量方程可以改換成歐拉方法來表示。

拉格拉日法變換成歐拉表示：

采用歐拉方法選取一定空間為控制體，以控制體內的流體質點系為研究對象列動量方程，再改寫成歐拉方法描述的形式，這樣可以求得作用在控制體內流體質點系上的外力。3.6.1定常流動量方程及其應用1.動量方程的建立

3.6動量和動量矩方程

3.6.1定常流動量方程及其應用

3.6.1定常流動量方程及其應用

所以

物理意義：在一元定常流中，作用在控制體上的合外力等于單位時間內流出與流入控制體的動量差。

3.6.1定常流動量方程及其應用

2．應用動量方程的注意事項

（3）求動量變化

此動量變化值必須是流出控制體的動量值減去流入控制體的動量值。3.6.1定常流動量方程及其應用3．動量方程的應用（1）液流對彎管的作用力

解：（1）取控制體

首先在建立坐標系如圖3-40所示，在彎管的前后取過流斷面1-1、2-2及管壁所圍成的空間為控制體。

3.6.1定常流動量方程及其應用

水流對彎管的作用力R與F大小相等，方向相反，并且作用在同一直線上。3.6.1定常流動量方程及其應用

解：（1）取控制體

首先在建立坐標系如圖3-42所示，取過流斷面0-0，1-1，2-2及斜板面圍成的空間為控制體。（2）受力分析

3.6.1定常流動量方程及其應用

3.6.1定常流動量方程及其應用3.6.2動量矩方程及應用

在剛體力學中，一個物體單位時間內對轉動軸的動量矩變化，等于作用于物體上的所有外力對同一軸的力矩之和，即動量矩定理。1.動量矩方程的建立

3.6動量和動量矩方程2.葉片式流體機械的動量矩方程

以水流通過泵葉輪的流動情況為例

3.6.2動量矩方程及應用

3.6.2動量矩方程及應用

3.6.2動量矩方程及應用3.10.1空間歐拉運動方程3.10歐拉運動方程與平面勢流

第3章流體運動的基本方程3.10歐拉運動方程與平面勢流

3.10歐拉運動方程與平面勢流

歐拉運動方程是研究理想流體運動規(guī)律的基礎，適用于所有的理想流體流動。它是非線性偏微分方程，對稍復雜一點的邊界條件仍無法求解析解。但在加上一些條件后可求出伯努利方程，即

3.10.2平面勢流模型

理論流體力學家們發(fā)現(xiàn)有一種特殊的無黏性流