2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破練：計(jì)數(shù)原理與概率（提升篇）

專題欠破練（分值102分）

?學(xué)生用書P185

主干知識達(dá)標(biāo)練

1.（2023北京,5）（2久1）5的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

答案D

解析（2“35的展開式的通項(xiàng)為及+1=鷹（2無產(chǎn)標(biāo)弋令5-2左=1,得％=2,所以（2久1）5的

展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為（-1>23髭=80.故選D.

2.（2024山東聊城模擬）三名男同學(xué)和兩名女同學(xué)隨機(jī)站成一列，則兩名女同學(xué)相鄰的概率是（）

1212

BCD

A.6-5-3-3-

答案B

解析五名同學(xué)排成一列的排法有Ag=120（種），其中兩名女同學(xué)相鄰的排法有A出a=48（種），所以兩名女

同學(xué)相鄰的概率是告=|.故選B.

9

3.（2024廣東湛江二模）已知（1-2X）9=〃O+〃IX+…+〃9%9,貝lj“（）+Z4=（）

1=2

A.-2B.-19C.15D.17

答案D

解析令％=1,得。（）+〃1+...+〃9=（1-2）9=-1.

（l-2x）9的展開式的通項(xiàng)為％+i=器（-2以=（-1）5*父（%=0,1,…,9）,所以的=（-1）&盤x2=-18,所以

9

ao+Z〃，=-1-（-18）=17.故選D.

i=2

4.（2024遼寧沈陽二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由6個爻組成，爻分

為陽爻“------------”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重圭卜,記事件

A="取出的重卦中至少有1個陰爻”，事件8廿取出的重卦中至少有3個陽爻”，則尸（3|A）=（）

A玉5BCD.if

A-S-S64

答案C

解析P（A）=字=H，事件42=”取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰''，則

p（AB）=ci+||+c|=3則尸（相尸需=春故選C.

/.O^r11/1）03

5.有5名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務(wù)，則恰有1人

連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60

C.40D.30

答案B

解析（方法一）先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區(qū)服務(wù)，有5種安排方法,再在星期六、

星期日，每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區(qū)服務(wù)，有4x3=12（種）安排方法.由

分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5x12=60（種）.

（方法二）在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區(qū)服務(wù)，有釐=10（種）安排方法.再從星期六參加社

區(qū)服務(wù)的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區(qū)服務(wù)，有

2x3=6（種）安排方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有

10x6=60（種）.

（方法三）從5名志愿者中，在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區(qū)服務(wù)，有器x釐=100（種）安排

方法，星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有瑪x瑪=30（種）,全相同的安排方法有

髭=10（種），所以恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有100-30-10=60（種）.故選C.

6.（多選題X2024河北衡水模擬）對于的展開式，下列說法中正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)是當(dāng)

B.各項(xiàng)系數(shù)的和是64

C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和是32

答案ACD

解析（?—±）6的展開式的通項(xiàng)為7*+]=盛.（偽=Ck.（管。3一|依=0,],…⑸,令3-女=0,

得％=2,所以常數(shù)項(xiàng)為髭x（一芥=字,故A正確；

令x=l,得（VT-；）6=+,所以各項(xiàng)系數(shù)的和是去，故B錯誤；

第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；

奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為X26=32,故D正確.

故選ACD.

7.（多選題）某班星期一上午要安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論

正確的是（）

A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法

B.若語文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法

C.若語文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法

D.若語文課、數(shù)學(xué)課、英語課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法

答案ABC

解析對于A,先安排數(shù)學(xué)課，有3種排法，再安排其他3節(jié)課，有A4種排法，故總共有3A>18（種）排法，故

A正確;對于B,采用捆綁法，有A§=6（種）排法，故B正確;對于C,先排英語課和物理課，有A芻種排法，再采

用插空法排語文課和數(shù)學(xué)課，有A專種排法，故總共有A4A專=12（種）排法，故C正確;對于D,4節(jié)課共有A》

種排法，語文課、數(shù)學(xué)課、英語課的排列順序共有Ag種,所以有"=4（種）排法，故D錯誤.故選ABC.

A3

8.（5分X2024甘肅定西一模）已知某廠甲、乙兩車間生產(chǎn)同一批衣架,且甲、乙兩車間的產(chǎn)量分別占

全廠產(chǎn)量的60%,40%,甲、乙車間的優(yōu)品率分別為95%,90%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件,則取到

優(yōu)品的概率為.（用百分?jǐn)?shù)表示）

答案93%

解析從該廠這批產(chǎn)品中任取一件，設(shè)4=”取到的產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)''22=“取到的產(chǎn)品由乙車間生

產(chǎn)”,B="取到的產(chǎn)品為優(yōu)品

由題可得P（AI）=0.6,P（A2）=0.4,P（B|AI）=0.95,P（B|A2）=0.9,

故P（B）=P（AI）P（B|AI）+尸（A2）尸（8142）=0.6x0.95+0.4x0.9=0.93=93%.

9.（5分X2023新高考I,13謀學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課

中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作

答）.

答案64

解析（方法一直接法）若選2門課，只需體育類和藝術(shù)類各選1門，有禺xQ=16（種）不同的選課方

案；

若選3門課,則需體育類選1門、藝術(shù)類選2門，或體育類選2門、藝術(shù)類選1門，有禺x第+田義

禺=48（種）不同的選課方案.綜上，共有16+48=64（種）不同的選課方案.

（方法二間接法）由題意可知，從8門課中選擇2門或者3門共有氏+a=84（種）不同的選課方案，只

選擇體育類或藝術(shù)類的選課方案有禺鬣+禺禺=20（種），則符合題意的共有84-20=64（種）不同的選課

方案.

關(guān)鍵能力提升練

10.（2024山東臨沂一模）將1到30這30個正整數(shù)分成甲、乙兩組，每組各15個數(shù)，使得甲組的中位數(shù)

比乙組的中位數(shù)小2,則不同的分組方法數(shù)是（）

A.2（C%）2B.2c蒙入

C.2C$4c入D.2（C%）2

答案B

解析因?yàn)榧捉M、乙組均為15個數(shù)，所以其中位數(shù)也均為從小到大排列的第8個數(shù)，即各組小于中位數(shù)

的有7個數(shù)，大于中位數(shù)的也有7個數(shù).因?yàn)榧捉M的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小2,所以甲組的中位數(shù)和

乙組的中位數(shù)中間有1個數(shù),所以小于甲組的中位數(shù)的數(shù)至少有7*2-1=13(個),至多有7*2=14(個),所

以甲組的中位數(shù)為14或15.

若甲組的中位數(shù)為14,則乙組的中位數(shù)為16,15一定在乙組,此時從1~13中選7個數(shù)放到甲組，剩下

的6個數(shù)放到乙組，再從17-30中選7個數(shù)放到甲組，剩下的7個數(shù)放到乙組，此時有C；3c入種分組方

法；

若甲組的中位數(shù)為15,則乙組的中位數(shù)為17,16一定在甲組,此時從1~14中選7個數(shù)放到甲組，剩下

的7個數(shù)放到乙組，再從18-30中選6個數(shù)放到甲組，剩下的7個數(shù)放到乙組，此時有C%C，3種分組方

法.

綜上可得不同的分組方法數(shù)是禺3禺4+C；4C?3=2C%C；4.故選B.

11.(多選題X2024廣東廣州一模)甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱

中的球除顏色外沒有其他區(qū)別),先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件4和42表示從甲箱

中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機(jī)取出兩球,用事件3表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則

()

3

A.p(4)=m

11

B.P(B)=而

9

C.P(B|Ai)=-

D.P(A2|B)=2*

答案ABD

解析依題意可得P(4)=|,P(A2)=|.

2

若從甲箱中取出紅球，則乙箱中有3個紅球和2個白球，所以P(B|Ai)=與=

C510

2

若從甲箱中取出白球，則乙箱中有2個紅球和3個白球，所以P(B|A2)=與=焉所以

C510

OQ7111

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)=|義k+「*、=，，故A,B正確,C錯誤；

1ji

「⑶莊曙=%滬=嗜=爭攵D正確.

‘'''50

故選ABD.

12.(2024山東濟(jì)南一模)某公司現(xiàn)有員工120人,在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號的85人中，有75人是高級工

程師，既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人，公司將隨機(jī)選擇一名員工接受

電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級工程師的概率為()

答案c

解析由題意得，試驗(yàn)的樣本空間◎的樣本點(diǎn)總數(shù)為120,即“(0)=120.

每個樣本點(diǎn)都是等可能的，所以這是一個古典概型.

設(shè)事件A=”被選中的員工是高級工程師”,則“(4)=120+75-85-14=96,所以所求概率為尸=黯=言=

g.故選C.

13.(多選題)(2024山東日照一模)從標(biāo)有1,2,3,...,8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依

次得到數(shù)字。力,記點(diǎn)4(0力),8(1,-1),0(0,0),則()

A.ZAOB是銳角的概率為《

B.ZABO是直角的概率為2

C.AAOB是銳角三角形的概率為，

64

D.AAOB的面積不大于5的概率為各

64

答案ACD

解析由題可知點(diǎn)A位于第一象限.

用圖表表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，如圖.

b

a

12345678

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)

7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)

8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)

可以得到，試驗(yàn)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為〃(0=禺禺=64,且每個樣本點(diǎn)都是等可能的，所以

這是一個古典概型.

對于A,如圖,設(shè)直線/過點(diǎn)O,且與08垂直，因?yàn)?B=-1,所以/了=尤，所以當(dāng)時,NA0B是銳角.設(shè)

A=^ZA0B是銳角”，則w（A）=28,所以尸（A）=哄=烏=，故A正確；

71（12）6416

對于B,如圖,設(shè)直線相過點(diǎn)氏且與OB垂直，所以/:y+l=x-l,即/:〉=尤-2,所以當(dāng)b=a-2時,448。是直

角.

設(shè)B="/AB0是直角”，則"⑻=6,所以尸（2）=嘿=三=焉故B錯誤;

對于C,如圖，若△AOB為銳角三角形，則點(diǎn)A位于直線/和根之間，由題易知點(diǎn)A位于直線y=x-l上，

所以當(dāng)b=a-l時,ZiAOB為銳角三角形,設(shè)C="Z\AOB為銳角三角形"，則”（0=7,所以尸（0=怒=看

故C正確；

對于D,如圖,[08|二/，直線OB:y=-x,x+y=O.設(shè)直線〃:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直線OB與直線n的

距離為d,則介乎=泉.

V22

若△AO8的面積為5,則加8]"=5,即日?今=5,解得c=10,即〃:y=-x+10,所以當(dāng)任a+10,即a+b<lO

時,SZ\AO3S5.

設(shè)D="Z\A08的面積不大于5",則岫）=43,所以尸（。）=需=葛故D正確.故選ACD.

14.（多選題）（2024山東濟(jì)南一模）下列等式中正確的是（）

88

A.2您=28B.2金=耨

k=lk=2

87

D.E(《)=C?6

k=0

答案BCD

8

解析對于A,因?yàn)?1+%)8=A+瑪%+釐—+…+C打8,令x=l,得28=1+禺+禺+…+砥=1+Z魔,則

fc=l

8

￡讖=2盯,故A錯誤;

k=l

8

對于B,因?yàn)轺?鬣=髭+1，所以z金=第+髭+CI+...+CI=C|+C|+CI+...+CI=c1+

k=2

量+…+禺=…=/+C|=C■，故B正確；

對于c,因?yàn)楦?1_k!-(kl)!_(kl)(k-l)!_k-1

k\fc!(/c-l)!k!

所以FR[—-____=—______1__J-++工_1—1A故c正確.

7rk+++

fc=2'總L(k-l)!k\1!2!2!3!,"7!8!18!’故。用'

對于D,(l+x)16=(l+x)8(l+x)8,對于(1+x)16的展開式,其含有X8的項(xiàng)的系數(shù)為C%對于(1+x)8(l+4的展

開式,要得到含有尤8的項(xiàng)的系數(shù),須從第一個式子的展開式中取出含/(4=0,1,…,8)的項(xiàng),再從第二個式

88787

子的展開式中取出含犬”的項(xiàng),它們對應(yīng)的系數(shù)相乘后求和，得zCgcy=X(砥),所以Z(讖)=

fc=Ofc=Ok=0

/6,故D正確.故選BCD.

15.(5分X2024廣東佛山模擬)已知a=l+禺o2+C至22+C,o23+…+C翡22。,貝I]°除以10所得的余數(shù)

為.

答案1

232O221O1O1O92

解析a=l+C|02+C|02+C^02+...+C^2=(1+2)°=3°=9=(1O-1)=C?O1O-C^O10+...+C?010-

98

C?olO+Clg=lO(C°olO-CjolO+...+CfolO-C?o)+l,

故a除以10所得的余數(shù)為1.

16.(5分X2024河北邢臺模擬)將1,2,3,...,9這9個數(shù)填入如圖所示的格子中(要求每個數(shù)都要填入，每

個格子中只能填一個數(shù))，記第1行中最大的數(shù)為。，第2行中最大的數(shù)為瓦第3行中最大的數(shù)為c,則

a<b<c的填法共有種.

答案60480

解析由題可知,c=9,c可選的位置有3個悌3行其余2個位置任取2個數(shù),共有禺A：種情況;第2行，取

剩下6個數(shù)中最大的數(shù)為b,可選的位置有3個，其