2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與練習(xí)：立體幾何初步

模塊十二:立體幾何初步

1、空間幾何體

在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果只考慮這些物

體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做

空間幾何體.

2、多面體

(1)定義:一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。

(2)組成元素：

面:圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；

(2)棱:兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；

(3)頂點(diǎn):棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)

(4)體對(duì)角線:連接不在同一面上上的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段.

3、旋轉(zhuǎn)體

(1)定義:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲

面叫做旋

轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

(2)旋轉(zhuǎn)體的軸:平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

4、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

結(jié)構(gòu)特征表面積體積

柱棱兩底面相互平行，其余各面S憶九=2s憶啊力+

體柱都是平行四邊形;側(cè)棱平行^iinn.n，ti?$$九

且相等.

圓兩底面相互平行：以矩形一=2nrl+2nr2

柱邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其-271r(r+Z)%=

余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所Sfi八

圍成的幾何體.

錐棱底面是多邊形，各側(cè)面均S綠表=S底面積+

體錐是三角形;各側(cè)面有一個(gè)公

S側(cè)面積^錐=八

共頂點(diǎn).

圓底面是圓:以直角三角形的S點(diǎn)彩=/=9同產(chǎn)

錐一直角邊所在的直線為旋

S班k=71rl+nr2

轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成

-7ir(r+V)U錐二

的曲面所圍成的幾何體.

-Sh

3

臺(tái)棱兩底面相互平行;是用一個(gè)S臺(tái)表二S底面積+

體臺(tái)平行于棱錐底面的平面去S側(cè)面積V=((S_L+

截棱錐，底面和截面之間

Jsjr+S干)/I

的部分.

結(jié)構(gòu)特征圖示表面積體積

圓兩底面相互平行;用一平行Sm=n(R+

2

臺(tái)圓錐底面的平面截圓錐，Ssk=nrl+nr+

底面和截面之間的部分.TIRI+nR2V=

|(s士+,S±S干+

S干M

球球心到球面上各點(diǎn)的距離s詬*二4nR2卜球體二

相等;是以半圓的直徑所在-nR3

直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)3

一周形成的幾何體.

5、常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

側(cè)棱長(zhǎng)等于底面是

底面邊長(zhǎng)正方形正四棱柱長(zhǎng)方體

6、正棱雉的相關(guān)概念與性質(zhì)

(4)正棱雉:底面是正多邊形,并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱雉叫做正

棱雉.如《注意正三棱錐與正四面圖易知正棱雉的側(cè)面都是全等的等腰三角形.體

的區(qū)別與聯(lián)系：

(2)正棱雉的斜高:正棱雉側(cè)面等腰三角形的底邊上的高叫做正棱雉所有棱長(zhǎng)都相

等的三棱雉

D

B

C

體各個(gè)面都是等邊三角的斜高.正棱雉的斜高都相等.叫做正四面體,即正四面

(5)正棱雉的簡(jiǎn)單性質(zhì)：形.正四面體是正三棱雉，

-各側(cè)棱相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形,斜高都相等.但正三棱雉只有在側(cè)棱與

-正棱雉的高、斜高和斜高在底面上的投影組成一個(gè)直角三角形,如底面三角形的邊

長(zhǎng)相等時(shí)圖中RtZkAOE.正棱雉的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的投影也組成才是正

四面體.一個(gè)直角三角形,如圖中Rt△AOD.

7、正棱臺(tái)的簡(jiǎn)單概念與性質(zhì)

(1)正棱臺(tái)的概念：由正棱雉截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).

一正棱臺(tái)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：

-正棱臺(tái)的側(cè)棱都相等，側(cè)面是全等的等腰梯形,各等腰梯形的

高相等，它叫做正棱臺(tái)的斜高.

-正棱臺(tái)的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形.

-正棱臺(tái)兩底面中心的連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個(gè)直角梯形,如圖中直角梯

形OO'E'E.正棱臺(tái)兩底面的中心連線、側(cè)棱和兩底面中心分別與該側(cè)棱相應(yīng)端點(diǎn)

的連線也組成一個(gè)直角梯形，如圖中直角梯形OO'B'B.

8、球的相關(guān)概念與性質(zhì)

(4)球面:半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面.公球的

截面的性質(zhì)：

-r-7R2-淇中r為截面圓的半徑,R為球的半徑,d為球心。到截面圓圓心6

的距離，如圖.

(球的大圓、小圓:球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓，被不經(jīng)過球心的

平面截得的圓叫做球的小圓.例如，把地球看作一個(gè)球

時(shí),經(jīng)線是球面上從北極到南極的半個(gè)大圓,赤道是一個(gè)大圓，其余的緯線都是小圓.

球面距離:兩點(diǎn)之間在球面上的最短距離,就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣

弧的長(zhǎng)度,我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離.

8、正方體的截面形狀探究

(1)截面可以是三角形:一般三角形、等腰三角形、等邊三角形.

※截面若是三角形,則一定是銳角三角形,不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(3)截面可以是四邊形:梯形、平行四邊形、矩形、正方形等.截面為四邊形時(shí)，至少

有一組對(duì)邊平行.

4截面不可能是直角梯形.

截面可以是五邊形,當(dāng)截面為五邊形時(shí)必有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等，

截面五邊形不可能是正五邊形.

(6)截面可以是六邊形,當(dāng)截面為六邊形時(shí)必有三組分別平行的邊，同時(shí)有三組對(duì)角

分別相等.截面六邊形可以是等角的六邊形.特別地，可以是正六邊形.

一般三角形等腰三角形等邊三角形梯形平行四邊形

矩形正方形任意五邊形任意六邊形

9、正四面體的性質(zhì)（正四面體的棱長(zhǎng)為a）

(1)表面積S=V3a2;(2)體積V=^a3；(3)正四面體的高:h.=yd;

(4)外接球半徑:R=ya;(5)內(nèi)切球半徑:r=;

(6)對(duì)棱間的距離:d=ya；(7)相鄰面所成二面角余弦值:cosa=|;

(8)正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值

10、立體圖形的直觀圖

(1)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

(1)在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)0.畫直觀圖時(shí)，把它們畫

成對(duì)應(yīng)的V軸與y軸,兩軸相交于點(diǎn)。',且使z%'。9'=45。(或135。］它們確定的平

面表示水平面.

(2)已知圖形中平行于%軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y軸

的線段.

(3)已知圖形中平行于久軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段，

在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.

(2)用斜二測(cè)畫法畫立體圖形的直觀圖的步驟

一般地，用斜二測(cè)畫法畫立體圖形直觀的步驟如下.

(1)在立體圖形中取水平平面,在其中取互相垂直的%軸與y軸，作出水平平面上圖

形的直觀圖(保留軸與y'軸).

(2)在立體圖形中，過x軸與y軸的交點(diǎn)取z軸，并使z軸垂直于久軸與y軸.過x軸

與y軸的交點(diǎn)作z軸對(duì)應(yīng)的z軸，且z軸垂直于x軸.(3)圖形中與z軸平行(或重

合)的線段畫成與z，軸平行(或重合)的線段，且長(zhǎng)度不變.(4)順次連接有關(guān)線段.

11＞空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系

(1)平面：

1)直觀理解:課桌面、黑板面、教室底面、平靜的水面都給我們以平面的形象但

它們都不是平面,而是平面的一部分.

2)抽象理解:平面是平的,平面是無限延展的,平面無厚薄.

(2)基本事實(shí)：

基本

示

符號(hào)表

表示

圖形

事實(shí)內(nèi)容

基本

，

個(gè)點(diǎn)

的三

線上

條直

在一

過不

線n

不共

三點(diǎn)

、。

事實(shí)4B

的

共線

.(不

平面

一個(gè)

只有

有且

a,使

平面

唯一

存在

1

1

)

平面

一個(gè)

確定

三點(diǎn)

Ea

B、C

基本A.

個(gè)

在一

兩點(diǎn)

上的

直線

一條

如果

ae

el且

l.B

事實(shí)AE

在這

直線

這條

那么

內(nèi)，

平面

a

>1u

ea=

a,B

2

2

.

面內(nèi)

個(gè)平

基本

個(gè)

有一

平面

合的

不重

兩個(gè)

如果

an

e0n

且P

事實(shí)Pea

只有

有且

它們

那么

點(diǎn)，

公共

I

Pe

/且

0=

共直線

點(diǎn)的公

過該

一條

論：

個(gè)推

(3)三

”.

平面

一個(gè)

，確定

一點(diǎn)

線外

”線及

記為

可簡(jiǎn)

示

符號(hào)表

表不

圖形

論

只有

有且

an

AW

和這

直線

一條

經(jīng)過

推1

，有

一點(diǎn)

線外

條真

a，使

平面

一個(gè)

面

個(gè)平

有一

且只

ca

a,a

AE

不

符號(hào)表