白山五模高三數(shù)學試卷

白山五模高三數(shù)學試卷一、選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則該函數(shù)的對稱中心為：

A.$(-1,1)$

B.$(0,2)$

C.$(1,-1)$

D.$(3,2)$

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+5n$，則該數(shù)列的公差為：

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若復數(shù)$z=a+bi(a,b\inR)$滿足$\overline{z}+z=2i$，則實數(shù)$a$的值為：

A.0

B.1

C.$-1$

D.$\sqrt{2}$

4.設向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf=(4,-3,2)$，則$\mathbf{a}\cdot\mathbf$的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

5.在直角坐標系中，點$P(1,2)$關于直線$x+y=0$的對稱點為：

A.$(-2,-1)$

B.$(-1,-2)$

C.$(2,-1)$

D.$(1,-2)$

6.若$a>0$，$b>0$，則下列不等式中正確的是：

A.$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}-\sqrt$

B.$\sqrt{a+b}>\sqrt{a}+\sqrt$

C.$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt$

D.$\sqrt{a+b}>\sqrt{a}-\sqrt$

7.若$A$是$m\timesn$矩陣，$B$是$n\timesp$矩陣，$C$是$p\timesm$矩陣，則$ABC$的秩為：

A.$m$

B.$n$

C.$p$

D.$m+n$

8.設$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$，若$f(x)$的圖像與$x$軸有兩個交點，則$\Delta=b^2-4ac$的值：

A.$\geq0$

B.$>0$

C.$<0$

D.無確定值

9.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，$\angleC=75^\circ$，則$\sinC$的值為：

A.$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.設$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f'(2)$的值為：

A.$\frac{3}{2}$

B.$\frac{5}{2}$

C.$\frac{7}{2}$

D.$\frac{9}{2}$

二、判斷題

1.在平面直角坐標系中，若點$A(1,1)$和點$B(-1,1)$關于原點對稱，則點$A$和點$B$的中點坐標為$(0,0)$。（）

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點在$x$軸上，則$a>0$且$\Delta=b^2-4ac=0$。（）

3.在平面直角坐標系中，若點$P(x,y)$到直線$ax+by+c=0$的距離$d$，則當$a^2+b^2=1$時，$d$取得最小值。（）

4.在等差數(shù)列中，若第一項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

5.若兩個非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的夾角為$0^\circ$，則$\mathbf{a}\cdot\mathbf=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf\|$。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=1$處的導數(shù)為0，則$f(x)$在$x=1$處取得極值。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前三項為1，2，3，則該數(shù)列的公差為______。

3.復數(shù)$z=3-4i$的模長為______。

4.若矩陣$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A^T$的行列式為______。

5.在$\triangleABC$中，若$\angleA=30^\circ$，$\angleB=60^\circ$，$\angleC=90^\circ$，則$\sinA:\sinB:\sinC=______:\______:\______。

四、簡答題

1.簡述函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明過程。

2.給出等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，請推導出該數(shù)列的前$n$項和$S_n$的表達式。

3.若向量$\mathbf{a}=(2,3)$和向量$\mathbf=(4,6)$，請計算向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf$的點積，并說明其幾何意義。

4.請簡述一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的判別條件，并舉例說明。

5.在直角坐標系中，若點$P(1,2)$到直線$x+y=3$的距離為$d$，請寫出計算$d$的公式，并說明如何使用該公式計算$d$。

五、計算題

1.計算函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導數(shù)，并求出其極值點。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和為110，第7項為13，求該數(shù)列的首項和公差。

3.計算復數(shù)$z=(2+3i)^5$的值。

4.解一元二次方程$3x^2-5x-2=0$，并給出其解的判別。

5.在直角坐標系中，已知點$A(1,3)$和點$B(4,1)$，求線段$AB$的中點坐標。

六、案例分析題

1.案例背景：某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為20元，市場售價為30元。為了提高銷量，工廠決定在每件產(chǎn)品上打折銷售，折扣率為$x$。已知在折扣后，銷量增加了10%，且工廠希望利潤至少比原來增加5%。

案例分析：

（1）根據(jù)題意，寫出利潤$P$關于折扣率$x$的函數(shù)關系式。

（2）求出使工廠利潤至少增加5%的最低折扣率$x$。

（3）分析在最低折扣率下，工廠的利潤情況。

2.案例背景：一個長方形地塊的長為10米，寬為5米。為了圍成一個圓形的花壇，長方形地塊的一角被挖去一個等腰直角三角形，如圖所示。已知挖去三角形的面積占原長方形地塊面積的$\frac{1}{4}$。

案例分析：

（1）根據(jù)題意，寫出等腰直角三角形兩直角邊長$x$與圓的半徑$r$的關系式。

（2）求出圓的半徑$r$。

（3）計算挖去三角形的面積，并驗證其占原長方形地塊面積的$\frac{1}{4}$。

七、應用題

1.應用題：某班有學生50人，要組織一個籃球比賽，每場比賽需要2個隊，每個隊3人。如果每個學生都至少參加一場比賽，且每場比賽的隊員都不重復，請問至少需要安排多少場比賽？

2.應用題：一個長方體的長、寬、高分別為2米、3米和4米，現(xiàn)要將其切割成若干個相等體積的小長方體。如果每個小長方體的長、寬、高分別為0.5米、1米和2米，請問至少需要切割成多少個小長方體？

3.應用題：一家商店在促銷活動中，每買滿100元贈送10元的購物券。某顧客在購買商品時，共花費了500元，并獲得了50元的購物券。如果該顧客再次使用這些購物券購買商品，且每次購物滿100元，請問最多可以使用這些購物券購買多少金額的商品？

4.應用題：一個工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，產(chǎn)品A的利潤為每件10元，產(chǎn)品B的利潤為每件15元。如果每天至少生產(chǎn)產(chǎn)品A，且產(chǎn)品A的產(chǎn)量是產(chǎn)品B的兩倍，請問為了使得每天的總利潤至少為200元，產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的最小產(chǎn)量各是多少？

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下：

一、選擇題

1.A

2.C

3.C

4.C

5.D

6.B

7.D

8.B

9.A

10.D

二、判斷題

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空題

1.0

2.1

3.5

4.-2

5.1:2:2

四、簡答題

1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)（$x\neq0$）單調(diào)遞減。證明：設$x_1<x_2$，則$f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}<0$，因為$x_1x_2>0$且$x_2-x_1>0$。

2.等差數(shù)列的前$n$項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_n=a_1+(n-1)d$得到$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$。

3.向量$\mathbf{a}\cdot\mathbf=2*4+3*6=8+18=26$，幾何意義為向量$\mathbf{a}$和向量$\mathbf$在坐標軸上的投影長度之積。

4.判別條件$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta>0$，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；若$\Delta=0$，則方程有兩個相等的實數(shù)根；若$\Delta<0$，則方程無實數(shù)根。

5.$d=\frac{|1*1+2*1-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|1+2-3|}{\sqrt{2}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0$。

五、計算題

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$得到$x=1$，極值點為$x=1$。

2.首項$a_1=1$，公差$d=1$。

3.$z=(2+3i)^5=32+80i$。

4.$3x^2-5x-2=0$，解得$x=\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{6}=\frac{5\pm7}{6}$，解為$x_1=2$，$x_2=-\frac{1}{3}$。

5.中點坐標為$\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+1}{2}\right)=(\frac{5}{2},2)$。

六、案例分析題

1.（1）利潤$P=(30-20)x(1+10\%)=10x(1.1)$。

（2）$10x(1.1)\geq500(1+5\%)$，解得$x\geq45$。

（3）最低折扣率為45%，此時利潤為495元。

2.（1）$r=\frac{x}{\sqrt{2}}$。

（2）$r=2$。

（3）挖去三角形面積為$\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\times2^2=2$，原長方形面積為50，驗證$\frac{2}{50}=\frac{1}{25}=\frac{1}{4}$。

七、應用題

1.至少需要安排25場比賽。

2.至少需要切割成4個小長方體。

3.最多可以使用這些購物券購買250元商品。

4.產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的最小產(chǎn)量分別為4件和2件。

知識點總結(jié)：

1.函數(shù)的單調(diào)性和極值。

2.等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。

3.向量的運算和幾何意義。

4.一元二次方程的解和判別。

5.三角形和直角坐標系中的幾何問題。

6.案例分析和應用題的解決方法。

知識點詳解及示例：

1.函數(shù)的單調(diào)性和極值：通過導數(shù)的符