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文檔簡(jiǎn)介
專題14幾何綜合六種模型
壓軸題密押
通用的解題思路:
題型一:兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
平面內(nèi)有兩點(diǎn)A,B,再找一點(diǎn)C,使得ABC為直角三角形
分類討論:
若NA=90°,則點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)A夕卜);
若NB=90°,則點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B且垂直于AB的直線上(除點(diǎn)B夕卜);
若NC=90°,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上(除點(diǎn)A,B外).
以上簡(jiǎn)稱“兩垂一圓”.
“兩垂一圓”上的點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形,但要除去A,B兩點(diǎn).
題型二:兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
if""/訶
分類討論:
若AB=AC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)A為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若BA=BC,則點(diǎn)C在以點(diǎn)B為圓心,線段AB的長(zhǎng)為半徑的圓上;
若CA=CB,則點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線PQ上以上簡(jiǎn)稱“兩圓一中垂”
“兩圓一中垂”上的點(diǎn)能構(gòu)成等腰三角形,但是要除去原有的點(diǎn)A,B,還要除去因共線無(wú)法構(gòu)成三角形的點(diǎn)MN
以及線段AB中點(diǎn)E(共除去5個(gè)點(diǎn))需要注意細(xì)節(jié)
1
題型三:胡不歸模型
【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為%,在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且A、
B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線/WN上,確定點(diǎn)C的位置使江+些的值最小.(注意與阿氏圓模型的區(qū)分)
匕匕
1)—+—=-fsC+-^^cl記k上,即求BC+kAC的最小值.
2)構(gòu)造射線A。使得sinNCWN=k,—=k,CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+C”最小值.
4C
3)過(guò)B點(diǎn)作BH1AD交MN于點(diǎn)C,交/W于"點(diǎn),止匕時(shí)BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
【解題關(guān)鍵】在求形如"%+kPB"的式子的最值問(wèn)題中,關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段,將"%+kPB"型問(wèn)題轉(zhuǎn)
化為"%+PC"型.(若k>l,則提取系數(shù),轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可)。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。
題型四:阿氏圓模型
【模型解讀】如圖1所示,。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。。外,P為。。上一動(dòng)點(diǎn),已知r=k-OB,連
接圖、PB,則當(dāng)“PA+k-PB"的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確定?
如圖2,在線段0B上截取0C使OC=k-r,則可說(shuō)明△BP。與/\PCO相似,即k-PB=PC。
故本題求“PA+kPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值,
其中與A與C為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),故當(dāng)4P、C三點(diǎn)共線時(shí),“PA+PC”值最小。如圖3所示:
2
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型:
在前面的“胡不歸”問(wèn)題中,我們見識(shí)了“k-PA+PB”最值問(wèn)題,其中P點(diǎn)軌跡是直線,而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)?/p>
圓時(shí),即通常我們所說(shuō)的"阿氏圓”問(wèn)題.
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。
題型五:瓜豆原理模型(點(diǎn)在直線上)
【模型解讀】
瓜豆原理:若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值,夾角是定角,則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。
動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型,本專題受教學(xué)進(jìn)程影響,估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。
主動(dòng)點(diǎn)叫瓜,從動(dòng)點(diǎn)叫豆,瓜在直線上運(yùn)動(dòng),豆也在直線一上運(yùn)動(dòng);瓜在圓周上運(yùn)動(dòng),豆的軌跡也是圓。
古人云:種瓜得瓜,種豆得豆.“種”圓得圓,“種”線得線,謂之“瓜豆原理”。
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為直線
1)如圖,P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,取AP中點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是?
解析:當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí),Q點(diǎn)軌跡也是一條直線.
理由:分別過(guò)A、Q向BC作垂線,垂足分別為M、N,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,因?yàn)?P=24Q,所以QN始
終為AM的一半,即Q點(diǎn)到BC的距離是定值,故Q點(diǎn)軌跡是一條直線.
2)如圖,在△4PQ中AP=AQ,/PAQ為定值,當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),求Q點(diǎn)軌跡?
解析:當(dāng)AP與AQ夾角固定且ZIP:AQ為定值的話,P、Q軌跡是同一種圖形。
理由:當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候,可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置,連線即可,比如Q點(diǎn)的起始
位置和終點(diǎn)位置,連接即得Q點(diǎn)軌跡線段。
3
【最值原理】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí),利用"垂線段最短"求最值。
1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡已知時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值;
2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡未知時(shí),先確定動(dòng)點(diǎn)軌跡,再垂線段最短求最值。
3)確定動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法(重點(diǎn))
①當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變時(shí),該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線;
②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí),該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線;
③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí),若可化為一次函數(shù),則點(diǎn)的軌跡為直線;
④觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí),如中點(diǎn),端點(diǎn)等特殊位置考慮;
⑤若動(dòng)點(diǎn)軌跡用上述方法不都合適,則可以將所求線段轉(zhuǎn)化(常用中位線、矩形對(duì)角線、全等、相似)為
其他已知軌跡的線段求最值。
題型六:瓜豆原理模型(點(diǎn)在圓上)
【模型解讀】
模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧
模型1-1.如圖,P是圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),A為定點(diǎn),連接AP,Q為AP中點(diǎn).Q點(diǎn)軌跡是?
如圖,連接40,取40中點(diǎn)M,任意時(shí)刻,均有△4WQs/V\0P,QM:P0=AQ:AP=l:2.
則動(dòng)點(diǎn)2是以"為圓心,為半徑的圓。
模型1-2.如圖,△APQ是直角三角形,/%(2=90。且42=(4(2,當(dāng)P在圓。運(yùn)動(dòng)時(shí),Q點(diǎn)軌跡是?
如圖,連結(jié)40,作4/WJ_A。,A0:AM=k:l;任意時(shí)刻均有△APOS/XAQM,且相似比為k。
則動(dòng)點(diǎn)。是以M為圓心,為半徑的圓。
模型1-3.定義型:若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值,則其軌跡是圓或圓弧。(常見于動(dòng)態(tài)翻折中)
如圖,若P為動(dòng)點(diǎn),但AB=AC=AP,則B、C、P三點(diǎn)共圓,
4
則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心,AB半徑的圓或圓弧。
模型1-4.定邊對(duì)定角(或直角)模型
1)一條定邊所對(duì)的角始終為直角,則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.
如圖,若P為動(dòng)點(diǎn),AB為定值,/APB=90。,則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。
2)一條定邊所對(duì)的角始終為定角,則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧.
如圖,若P為動(dòng)點(diǎn),AB為定值,NAPB為定值,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。
【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí),可利用:"一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑
之和,最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差"的性質(zhì)求解。
壓軸題預(yù)測(cè)
題型一:兩垂一圓構(gòu)造直角三角形模型
1.(2023?安溪縣二模)如圖,是半圓。的直徑,BP1AB,與半圓。相切于點(diǎn)。,連接4D并延
長(zhǎng),交8P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.
(1)求證:PB=PC;
(2)若。。的半徑為5,AD=8,求8尸的長(zhǎng).
【分析】(1)連接OD,OP,DB,根據(jù)相切等推出AOD尸三AO5P,PB=PD,進(jìn)而證明尸8=PC,
5
(2)先證明zUgOsABC。,進(jìn)而求出5c的長(zhǎng),根據(jù)第一問(wèn),求出8尸.
【解答】(1)證明:連接8,OP,DB,
尸。與半圓。相切于點(diǎn)。,
/.PDLOP,BPIAB
在RtAODP與RtAOBP中,
{OD=OB
\OP=OP'
RtAODP=RtAOBP(HL),
PB=PD,
/ADB=90°,
ZCDP=90°,
在RtACDB中,
BP=PD,
點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn),
PB=PC;
(2)BPLAB,
ZABD+ZCBD=90°,
Z.DAB+/ABD=90°,
/DAB=ZCBD
MBDSABCD,
AD_AB
訪一旅’
BC=—,
2
BP=£=2
24
故BP的長(zhǎng)為”.
4
6
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓相切,相似三角形的判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是三角形相似推出線段成比例.
2.(2023?平房區(qū)二模)如圖1,A48C內(nèi)接于。。中,48為直徑,點(diǎn)。在弧8c上,連接CD.
Cl)求證:NCAB+ND=9。°;
(2)如圖2,連接0c交4D于點(diǎn)尸,/.DAB+2ACAD=90°,求證:AC=CD;
(3)在(2)的條件下,如圖3,點(diǎn)E在線段C尸上,連接/£,BE交4D于點(diǎn)、H,若NEHA=2NEAH,AE=6,
OF=y/2,求線段的長(zhǎng).
【分析】(1)利直徑所對(duì)的圓周角是直角求得N/CB==90。,再利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明;
(2)根據(jù)圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可證明NC4D=ND,進(jìn)而得出/C=CD;
(3)連接DE,BD,證出NHED=/HDE,由圓周角定理得出N/O3=90。,設(shè)4HED=NHDE=/3,則
ADHB=2p,NDBE=90。-2/3,過(guò)點(diǎn)8作3G_L8E交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求出AD=2收,過(guò)點(diǎn)8作
3Z_LDG于點(diǎn)上,證出sinZLBG=sinZLEB,得出生=些,則(2也了=x(6+2x),解方程求出乙D=ZG=1,
BGEG
由勾股定理可得出答案.
【解答】(1)證明:???A45C內(nèi)接于。。中,45為直徑,
ZACB==90°,
.../CAB+/B=90°,
???AC=AC,
/B==/D,
:.NCAB+ND=90。.
(2)證明:vZDAB-^-2ZCAD=90°f
ZDAB=90°-2ZCAD,
在中,vZACB=90°,
...ZDAB=90°-ACAD-AB,
7
90°-2/CAD==90°-/CAD-/B,
/CAD=/B,
?.?NB=/D,
/CAD=ZD,
AC=CD.
(3)解:連接DE,BD,
C
■:oc垂直平分/o,
/.AE=DE=6,
NEDA=NEAH,
???ZEHA=2ZEAH,
ZEHA=2/EDA,
ZEHA=ZEDH+NHED,
ZHED=ZHDE,
?.,AB為直徑,
/.ZADB=90°,
設(shè)ZHED=/HDE=B,
:./DHB=2/3,ZDBE=90°-2/3,
過(guò)點(diǎn)5作交助的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
:.ZGDB=90°-a,ADBG=2/3,
/.AG=2/3,
BD=BG,
?/AF=DF,AO=BO,
BD=BG=2OF=2V2,
8
過(guò)點(diǎn)8作_LDG于點(diǎn)L,
DL=GL,
設(shè)DL=GL=x,
/LBG+/G=ZLEB+ZG=90°,
/.ZLBG=/LEB,
sinZLBG=sinZLEB,
.LGBG
'~BG~~EG"
(2向2=式6+2防,
解得西=-4(舍去),x2=1,
:.LD=LG=\,
/.EL-7,LB=Vv,
BE=y/EI}+LB2=J72+(V7)2=2V14.
【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題,考查了垂徑定理,圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的
定義,勾股定理,正確添加輔助線是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵.
3.(2022?蔡甸區(qū)校級(jí)模擬)如圖,點(diǎn)E是正方形/BCD邊8c上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與3、C重合),連接DE交
對(duì)角線ZC于點(diǎn)尸,AADF的外接圓。交邊于點(diǎn)G,連接G。、GE.
(1)求NEDG的度數(shù);
RF5
(2)若---=—,求tanNDEG.
CE2
【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出NA4c=45。,由圓周角定理可得出答案;
(2)延長(zhǎng)BA至點(diǎn)P,使/尸=CE,連接。尸,證明NDCE=ADAP(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出DE=DP,
NCDE=ZADP,ZP=ZDEC,證明NEDG=APDG(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出NDEG=NP,則可
得出答案.
【解答】解:(1)?.?四邊形Z3C。是正方形,
9
...ABAC=45°,
???GF=GF,
ZEDG=ZFAG=45°;
(2)延長(zhǎng)84至點(diǎn)P,使4P=CE,連接。P,
.CE~2'
.CE_2
..=—,
BC7
???四邊形ABCD是正方形,
AD=DC,ABAD=NDCE=90°,
/PAD=NDCE,
又<AP=CE,
...\DCE=ATM尸(S4S),
/.DE=DP,ZCDE=NADP,ZP=ZDEC,
NADC=ZPDE=90°,
ZEDG=ZPDG=45°,
又DG=DG,
\EDG=\PDG(SAS),
/./DEG=ZP,
/./DEC=/DEG,
rpCF1
tanNDEG=tanZDCE=——=——=-.
CDCB7
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理,銳角三角函數(shù)的定義,全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),熟練
掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4.(2023?懷化)如圖,43是。。的直徑,點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn),P4與。。相切于點(diǎn)/,點(diǎn)C為。。上的一
點(diǎn).連接尸C、AC、OC,^.PC=PA.
10
(1)求證:尸C為OO的切線;
(2)延長(zhǎng)PC與48的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。,求證:PD-OC=PA-OD;
(3)若NC4B=30。,OD=8,求陰影部分的面積.
P
【分析】(1)先由切線的性質(zhì)得/尸/。=90。,然后依據(jù)“SSS”判定APOC和APQ4全等,從而得
ZPCO=ZPAO=90°,據(jù)此即可得出結(jié)論;
(2)由NDCO=ZCU尸=90。,NOOC=NPD4可判定AOOC和A/V%相似,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可
得出結(jié)論;
(3)連接BC,過(guò)點(diǎn)C作CE_LOB于點(diǎn)£,先證△。。打?yàn)榈冗吶切?,再設(shè)OE=〃,則CM=08=OC=2.,
CE=/a,在RtACDE和在RtADOC中,由勾股定理得CO?=C£2+DE?=O》2一。。2,由此可求出°的值,
進(jìn)而得。。的半徑為4,然后根據(jù)編影=%℃-S扇形BOC即可得出答案.
【解答】(1)證明:??,48為。。的直徑,尸/為。。的切線,
PALOA,
即:ZPAO=90°,
?點(diǎn)。在OO上,
OC=OA,
在△尸0c和APCU中,
OC=OA
<PC=PA,
PO=PO
NPOC=APOA(SSS),
ZPCO=NPAO=90°,
即:尸C_LOC,
又。C為0。的半徑,
PC為。。的切線.
(2)證明:由(1)可知:OCLPD,
11
...ADCO=ZDAP=90°,
又ZODC=/.PDA,
/.AODCSAPDA,
.PCOP
-7?一訪‘
即:PDOC=PAOD.
(3)解:連接BC,過(guò)點(diǎn)。作CE_LOB于點(diǎn)E,
:.ZCOB=60°,
又OC=OB,
/.A0C5為等邊三角形,
CE1OB,
OE=BE,
設(shè)?!?a,顯然aw0,
則OA=OB=OC=2a,
在RtAOCE中,OE=a,OC=2a,
由勾股定理得:CEZOC?-OE。=屆,
???OD=8,
:.DE=OD-OE=S-a,
在RtACDE中,CE=?,DE=8-a,
由勾股定理得:CD2=CE2+DE2=(V3?)2+(8-a)2,
在RtADOC中,OC=2a,OD=8,
由勾股定理得:CD2=OD2-OC-=82-(2a)2,
(V3a)2+(8-a)2-82-(2a)2,
12
整理得:a2—2a=0)
;a片0,
a=2,
OC=2a=4,CE=V3a=2^/3,
S.nf)r=—OD-CE=—x8x2A/3=8A/3)
22
?_60%x42_8%
乂1s扇形=
S陰影=SAD"—S扇形80C=8#—■
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),扇形
面積的計(jì)算,勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、相似三角形的判定方法,
理解切線垂直于過(guò)且點(diǎn)的半徑;過(guò)半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線;難點(diǎn)是在解答(3)時(shí),設(shè)置
適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),利用勾股定理構(gòu)造方程求出圓的半徑.
5.(2023?廣陵區(qū)二模)如圖,頂點(diǎn)為/(-4,4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0),點(diǎn)P在該圖象上,O尸交其
對(duì)稱軸/于點(diǎn)M,點(diǎn)W、N關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,連接PN,ON.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(-6,3),求AOPN的面積;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),請(qǐng)解答下面問(wèn)題:
①求證:ZPNM=ZONM;
②若AOPN為直角三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)設(shè)出二次函數(shù)的關(guān)系式,再根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求出。的值,
即可得出二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)設(shè)直線。尸的解析式為了=日,將/點(diǎn)代入,求出直線。尸的解析式,再把x=-4代入y=求出
”的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)州、N關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱,求出N的坐標(biāo),從而得出的長(zhǎng),再根據(jù)三角形的面積公式
13
即可得出答案.
(3)①設(shè)對(duì)稱軸/交x軸于點(diǎn)3,作尸C_L/于點(diǎn)C,由P在二次函數(shù)圖象上,設(shè)PC-工產(chǎn)-2/),再由。的
4
坐標(biāo),表示出直線。尸的解析式,進(jìn)而表示出N及8的坐標(biāo),設(shè)對(duì)稱軸/交x軸于點(diǎn)3,作尸C,/于
點(diǎn)C,構(gòu)建相似三角形:ANCPsANBO.由相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等證得結(jié)論;
②AOPN能為直角三角形,理由為:分三種情況考慮:若NONP為直角,由①得到NRW=NOMl/=45。,
可得出三角形ZCN為等腰直角三角形,得到尸C=CN,將表示出的尸C及CN代入,得到關(guān)于機(jī)的方程,
求出方程的解得到機(jī)的值為0或4土行,進(jìn)而得到此時(shí)/與P重合,不合題意,故NONP不能為直角;若
ZPON為直角,利用勾股定理得到OP2+ON2=川2,由尸的坐標(biāo),利用勾股定理表示出。產(chǎn),由OB及BN,
利用勾股定理表示出ONZ,由尸。及CN,利用勾股定理表示出尸以2,代入OP?0叱=P2,得到關(guān)于加
的方程,求出方程的解得到機(jī)的值為4±4也或0,然后判斷NPON是否為直角;若NNPO為直角,則有
\PMN^\BMO^\BON,由相似得比例,將各自的值代入得到關(guān)于小的方程,求出方程的解得到小的值為
4,此時(shí)/與P重合,故NNPO不能為直角,綜上,點(diǎn)尸在對(duì)稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),AOPN
不能為直角三角形.
【解答】(1)解:設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為了=a(x+4『+4,
把點(diǎn)(0,0)代入表達(dá)式,解得〃=-;.
二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-1(x+4)2+4,
即y=―2無(wú);
(2)解:設(shè)直線。尸為>=履(左w0),
將尸(一6,3)代入y=區(qū),解得左二一;,
1
y——x?
2
當(dāng)x=—4時(shí),y=2.
???點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)4對(duì)稱,
/.N(—4,6).
MN=4.
14
…S"ON=SbOMN+S"MN=12;
(3)①證明:設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為-2,),
其中f<-4,
設(shè)直線。尸為y=〃x(MHO),
將P(t,~t2-2。代入y=k'x,解得k'=一雪.
Z+8
y=-------x?
4
當(dāng)x=—4時(shí),y=t+8.
M(―4,%+8).
/.4N=4M=4—?+8)=T—4.
設(shè)對(duì)稱軸/交X軸于點(diǎn)8,作PC,/于點(diǎn)C,
則5(-4,0),C(-4,-;〃-27).
OB=4,A?=4+(-Z-4)=-f,PC=-4-1,
1,1,
NC=-t-(--t2-2t)=-t2+t.
J2
NC4Z+ttNB-tt
則mil=------=,=——=.
PC-4-t4OB44
.NCNB
,~PC~~OB'
又...ZNCP=ZNBO=90°,
NNCPsNNBO.
ZPNM=ZONM.
②AOPN能為直角三角形,理由如下:
解:分三種情況考慮:
⑺若NONP為直角,由①得:ZPNM=ZONM=45°,
APCN為等腰直角三角形,
/.CP=NC,BPm-4=—m2-m,
4
整理得:m2-8m+16=0,BP(m—4)2=0,
15
解得:加=4,
此時(shí)點(diǎn)4與點(diǎn)尸重合,故不存在尸點(diǎn)使AOPN為直角三角形;
⑻若/PCW為直角,根據(jù)勾股定理得:OPrON?=PN?,
':OP2=m2+(-—m2-2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m—4)2+(——m2—2m+m)2,
44
/.m2+(--m2-2m)2+42+m2=(zw-4)2+m2-2m+m)2,
44
整理得:m[m-8m-16)=0,
角畢得:加=0或加=—4—4后或一4+4后(舍去),
當(dāng)加=0時(shí),P點(diǎn)與原點(diǎn)重合,故/PON不能為直角,
當(dāng)初=—4-4后,即尸(-4-4亞,4)時(shí),N為第四象限點(diǎn),成立,故/PON能為直角;
(位)若/7VP。為直角,可得NNPM=NOBM=90。,且/PMN=/BMO,
NPMNSNBMO,
X-/ZMPN=ZOBN=90°,<ZPNM=ZOND,
,\PMNSABON,
/.\PMNs\BMOs\BON,
MBOBnn8-m4
OBNB4m
整理得:(〃L4)2=0,
解得:m=4,
此時(shí)/與P重合,故NN尸O不能為直角,
綜上,點(diǎn)尸在對(duì)稱軸/左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí),A。尸N能為直角三角形,當(dāng)機(jī)=4+4也,即
尸(-4-4啦,-4)時(shí),N為第四象限的點(diǎn)成立.
16
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)解析式,相似三角形的判
定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及相似三角形的判定與性質(zhì),本題(3)中的第②
小問(wèn)利用的是反證法,先假設(shè)結(jié)論成立,利用邏輯推理的方法得出與已知條件,定理,公理矛盾,可得出
假設(shè)錯(cuò)誤,原結(jié)論不成立.
6.(2024?寶安區(qū)二模)“海之躍”摩天輪是某地區(qū)的城市名片.濱城學(xué)校九年級(jí)(3)班的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)
計(jì)劃在摩天輪上測(cè)量一座寫字樓的高度.
【素材一】如圖1,“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂,均勻分布在圓周上.擬測(cè)算的寫字樓與摩天輪在同一
平面內(nèi).
【素材二】自制工具:使用直角三角板教具和鉛錘,制作測(cè)角儀器(如圖2).
,如圖3,摩天輪的最高高度為128米,半徑為60米,該團(tuán)隊(duì)
分成三組分別乘坐1號(hào)、4號(hào)和10號(hào)轎廂,當(dāng)1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到摩天輪最高點(diǎn)時(shí),三組隊(duì)員同時(shí)使用測(cè)角儀
17
【任務(wù)一】初步探究,獲取基礎(chǔ)數(shù)據(jù)
(1)如圖3,請(qǐng)連接N。、BO,則NAOB=45。:
(2)求出1號(hào)轎廂運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),4號(hào)轎廂所在位置3點(diǎn)的高度.(結(jié)果保留根號(hào))
【任務(wù)二】推理分析,估算實(shí)際高度
(3)根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù),計(jì)算寫字樓的實(shí)際高度DN.(結(jié)果用四舍五入法取整數(shù),血。1.41)
【分析】(1)由題可知,“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂,均勻分布在圓周上,其中N/O8包含了3個(gè)橋
3
廂,因止匕N/O8=——x360°=45°;
24
(2)過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)£,由題可知,點(diǎn)/此時(shí)的高度為最高為128米,半徑為60米,因此。點(diǎn)高
度為68米,根據(jù)ZAOB=45°,可得。£=。2-0$45。=30后,即可;
(3)連接08,OC,BC,由素材1,素材3可得NC08=90。,ZOBC=ZAOB=45°,則8。=60后,
2
過(guò)點(diǎn)。作_L5C于點(diǎn)/,令BF=n,由素材2,3得:DF=5BF=5n,CF=-DF=2n,可得
5
BC=60V2=3n,即〃=20后,因此尸點(diǎn)的高度為:68+3072-2072=68+10A/5'?82(米),即可.
【解答】解:任務(wù)一:(1)連接/。、BO,如下圖所不:
“海之躍”摩天輪共有24個(gè)轎廂,均勻分布在圓周上,其中乙4。8包含了3個(gè)橋廂,
18
3
..ZOB=—x360°=45°,
24
故答案為:45.
(2)過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E,
?.?點(diǎn)/此時(shí)的高度為最高為128米,半徑為60米,
點(diǎn)高度為68米,
???BELAO,NAOB=45。,
.-.O£=05-cos45°=3072,
B點(diǎn)的高度為(68+30匹)米,
答:8點(diǎn)的高度為(68+30匹)米.
任務(wù)二:(3)連接。8,OC,BC,
由素材1,素材3可得NCO8=90°,NOBC=NAOB=45°,
貝!|2C=60直,過(guò)點(diǎn)。作。尸_L8C于點(diǎn)尸,
19
7
令A(yù)F=〃,由素材2,素材3的4號(hào)轎廂測(cè)量情況和10號(hào)轎廂測(cè)量情況得:DF=5BF=5?,CF=-DF=2n,
5
BC=60V2=3〃,即〃=2072,
尸點(diǎn)的高度為:68+300一20五=68+10后“82(米),
答:寫字樓的實(shí)際高度。N約為82米.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的綜合體,熟練掌握勾股定理和余弦定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.
7.(2022?江北區(qū)一模)如圖1,四邊形Z8CD是。。的內(nèi)接四邊形,其中=對(duì)角線/C、8。相交
于點(diǎn)£,在/C上取一點(diǎn)尸,使得N尸=/8,過(guò)點(diǎn)尸作交0。于點(diǎn)G、H.
(1)證明:\AED~AADC.
(2)如圖2,若/£=1,且G//恰好經(jīng)過(guò)圓心O,求8c-CD的值.
(3)若/E=l,EF=2,設(shè)BE的長(zhǎng)為x.
①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示△BCD的周長(zhǎng).
圖1圖2圖3圖4
【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理解得即可;
(2)利用垂徑定理和(1)的結(jié)論求得/C,CE的長(zhǎng),通過(guò)證明,利用相似三角形的性質(zhì)
即可得出結(jié)論;
(3)①利用垂徑定理和(1)的結(jié)論求得/C,CE的長(zhǎng),再通過(guò)證明AAEDSABEC和A4E3SA£)EC,利
用相似三角形的性質(zhì)求得5C,DE,。的關(guān)系式,利用三角形周長(zhǎng)的意義解答即可;
②利用勾股定理求得8c,則ABC。的外接圓半徑可得,設(shè)ABC。內(nèi)切圓半徑為r,利用①中的結(jié)論求得2。,
8和ABC。的周長(zhǎng),利用三角形的面積公式列出方程,解方程即可求得A3。內(nèi)切圓半徑.
【解答】(1)證明:=,
AB=AD.
...ZADB=ZACD.
20
???ZDAE=ZCAD,
\AED^\ADC.
(2)解:v\AED^/^ADC,
.AE_AD
-AD~AC'
?.?GH為。。的直徑,GHLAC,
/.AF=FC=-AC.
2
?/AB=AD,AF=AB,
AB=AD=AF,
:.AC=2AD.
?AD
,?茄一就一鼠
???AE=\,
二.AD=2.
AB=2,AC=4.
/.EC=AC-AE=3.
?.-AB=AD,
AB=AD.
/.ZACB=ZACD.
???ZBDC=ABAC,
ADECs.BC.
.CDEC
:.BC-CD=ACEC=4x3=n.
(3)角軋?vAE=\,EF=2,
AB=AD=AF=AE+EF=3.
?:\AEDS\ADC,
.AEAD
…而一就一3?
:.AC=3AD=9.
:.CE=AC—AE=8.
21
??,NCAD=/CBD,/CEB=/DEA,
AAED^ABEC.
.BEEC_BC
一~AE~^D~^4D'
x_8_BC
…廠法一亍?
Q
DE=—,BC=3x.
x
?;/ABD=NACD,/AEB=/DEC,
\AEB^\DEC.
.AE_AB
'~DE~~CD'
.1_3
''8-DC'
X
24
/.DC=——.
x
74Q32
\BCD的周長(zhǎng)=BC+CQ+BE+OE=3x+——+x+—=4x+——.
XXX
②BC為OO的直徑,
ZBAC=90°.
BC=y1AB-+AC2=^32+92=3麗.
外接圓半徑為亞.
2
在RtAABE中,
BE=\IAE2+AB?=A/12+32=VW.
由①的結(jié)論可得:DE=~=-y/\0,
105
_24_12
CrnD——,——V1U,
VIo5
A8CD的周長(zhǎng)=4而+半史麗,
5
:.BD=BE+DE=-41O.
5
設(shè)AB。內(nèi)切圓半徑為廠,
-xABCD的周長(zhǎng)xr=LxAD.C。.
22
22
—Vior=-Vwx—Vio.
555
r=—VTo.
|加2
,ABC。內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值=1—=4.
3加5
2
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),圓周角定理,垂徑定理,相似三角形的判定與性質(zhì),三角形
的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑,熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵
題型二:兩圓一中垂構(gòu)造等腰三角形模型
1.(2022?開州區(qū)模擬)如圖,在等腰RtAABC中,AB=BC,。是8c的中點(diǎn),E為/C邊上任意一點(diǎn),
連接。E,將線段DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段。尸,連接£尸,交4S于點(diǎn)G.
(1)如圖1,若=6,AE=母,求ED的長(zhǎng);
(2)如圖2,點(diǎn)G恰好是歷的中點(diǎn),連接8尸,求證:CD=41BF;
(3)如圖3,若AB=4C,連接CF,當(dāng)CF+與BF取得最小值時(shí).請(qǐng)直接寫出SACEF的值.
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)£作于點(diǎn)〃,得/。/汨=90。,在等腰直角三角形/8C中,求出3c=6,AC=642,
再證明AC77E也是等腰直角三角形,最后在RtADHE中,求出DE即可;
(2)過(guò)點(diǎn)E作EM//BF于4B交點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作DN_L8。交NC于N,得出ACDN為等腰直角三角形,
再證明ASFD=N£7)(S/S),\EMG=\FBG{AAS),最后在等腰RtACDN中,求出CO與8尸關(guān)系;
(3)如圖3-1中,取/C的中點(diǎn)7,連接。T,BT,則A5DT是等腰直角三角形.首先證明點(diǎn)尸在直線BT
上運(yùn)動(dòng),如圖3-2中,取的中點(diǎn)。,連接3Q,作"于點(diǎn)X,CJLBQ于點(diǎn)、J,交37于點(diǎn)R.再
證明當(dāng)點(diǎn)歹與R重合時(shí),C尸+好8月的值最小,即可解決問(wèn)題.
5
23
【解答】解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)E作E〃_L8C于點(diǎn)77,
ACHE=90°,
在等腰直角二角形/3C中,
,/AB=6,
BC=6,AC=642,
:D為BC中點(diǎn),
:.CD=-BC,
2
?.?/£=行,
:.CE=AC-CE=542,
???ZC=45°,
ACHE也是等腰直角三角形,
CH=EH=5,
HD=CH-CD=2,
:.在RtADHE中,DE=NEH?+HD。=729.
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)、E作EM//B尸于交點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作。N_L8C交/C于N,
.?.△CZW為等腰直角三角形,
24
...CD=ND,
???BD=CD,
BD=DN,
???Z5+ZBDE=/6+ZBDE,
/.N5—N6,
在A5陽(yáng)和A7VEZ)中,
BD=DN
<N5=N6,
DF=DE
:.\BFD=NED(SAS),
:.BF=EN,Z3=Z4,
在.AWG和AF5G中,
Z1=Z2
<ZMGE=ZBGF,
GF=GE
:.\EMG=\FBG{AAS),
ME=BF,
/.ME=EN,
Z2+Z3=45°,
Zl+Z4=45°,
/./MEN=Z1+Z4+/FED=90°,
ZAEM=90°,
/.是等腰直角三角形,
AE=ME=BF=EN,
:.BF=-AN,
2
?/DN/IBC,。是5C的中點(diǎn),
/.CN=AN,
:.BF=-CN,
2
5
又???在等腰RtACDN中,CD=—CN,
2
25
/.CD=42BF.
(3)如圖3-1中,取4c的中點(diǎn)T,連接。T,BT,則A5QT是等腰直角三角形.
/.ZBDF=ZTDE,
???DB=DT,DF=DE,
NBDF=ATDE(SAS),
/DBF=/DTE=135。,
?「ZDBT=135°,
:.F,B,T共線,
/.點(diǎn)F在直線BT上運(yùn)動(dòng),
如圖3-2中,取4T的中點(diǎn)Q,連接BQ,作于點(diǎn)H,C/L5。于點(diǎn)J,交BT于點(diǎn)、R.
圖3-2
FHQT1
???tan/FBH=——==-,
BHBT2
V5
:.FH=—BF,
5
V?
CF+—BF=CF+FH?CJ,
5
.?.當(dāng)點(diǎn)b與H重合時(shí),。尸+好5月的值最小,
5
26
ABTQ=ZCTR=90°,BT=CT,NQBT=NRCT,
:.NBTQ=\CTR(ASA),
TR=QT,
---AB=BC=472,AABC=90°,
AC=y/2AB=8,
:.AT=CT=BT=4,QT=RT=2,
BF=TE=2,
S.CFF=--CE-FT=-x2x2=2.
ACEF22
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何變換的綜合應(yīng)用,解題關(guān)鍵是正確作出輔助線,能判定出全等三角形,解直角等
腰三角形.
2.(2023春?璧山區(qū)校級(jí)期中)如圖,直線>=依+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(8,0)和2(0,4)兩點(diǎn),將A4O8沿直線/對(duì)折使
點(diǎn)力和點(diǎn)3重合,直線/與x軸交于點(diǎn)。與交于點(diǎn)。,點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,連接8C.
(1)求直線N3的解析式;
(2)若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上,且ASED的面積為10,求A8OE的周長(zhǎng);
(3)已知y軸上有一點(diǎn)P,若以點(diǎn)8,C,尸為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)
【分析】(1)根據(jù)給出的/、B兩點(diǎn)坐標(biāo),代入表達(dá)式,即可求出的解析式;
(2)根據(jù)AD=3。可以得出AADE的面積和NBDE的面積相等,然后過(guò)。作。尸_Lx軸,可以求出AE的長(zhǎng),
然后得到OE的長(zhǎng),通過(guò)勾股定理,可以得到的長(zhǎng),即可得到A8OE的周長(zhǎng);
(3)根據(jù)題意,當(dāng)8尸=8C時(shí),可得到兩個(gè)尸點(diǎn),通過(guò)3點(diǎn)的縱坐標(biāo)±8。長(zhǎng)可以得到對(duì)應(yīng)的尸點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)
BC=CP,可以得到一個(gè)。點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)等腰三角形,可以得到尸點(diǎn)坐標(biāo),當(dāng)PB=PC,可知P點(diǎn)在3c的
垂直平分線上,通過(guò)等腰三角形,導(dǎo)邊可以得出尸點(diǎn)的坐標(biāo).
27
【解答】解:(1)將點(diǎn)4(8,0)和5(0,4)代入0=履+:中,得:
[0=8左+6
[4=b'
k=--
解得:2,
6=4
故48的解析式為:y=--x+4;
2
(2)
V將AAOB沿直線I對(duì)折使點(diǎn)/和點(diǎn)8重合,
AC=BC,
設(shè)OC=x,貝|J8c=4C=8-x,
在RtAOBC中,
x2+42=(8-x)2,
..x—3,
。。=3,
/.AD=BD,
…S^ADE=^\BDE=
???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,
過(guò)。作ZM/_Lx軸交X軸于點(diǎn)M,
DM=2,
,:S^ADE=AE.DM,
4E=10,
/.0E=2,
0B=4,
BE=^OE2+OB2=2A/5,
:'C20E=2+4+2V5=6+2V5;
(3)以B點(diǎn)為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作圓,交y軸于耳、鳥兩點(diǎn),以。點(diǎn)為圓心,長(zhǎng)為半徑作圓,交y軸
于點(diǎn)鳥,在y軸上找一點(diǎn)與,使尸45=尸
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