2024年中考數(shù)學突破訓練：二次函數(shù)中角度問題存在性

2024年中考數(shù)學高頻考點突破一

二次函數(shù)中角度問題存在性

1.二次函數(shù)y=x2-tx（t>0）圖像交無軸于O、A兩點，點C（"z）為點A右側圖像上一動點,

過點C作CB_Lx軸于點8.點。（p,q）為該函數(shù)x軸上方圖像上一動點（不與點C重合），

度績8交》軸于點E,連接AD、BE.如圖，當7=3,CD〃x軸；

（1）若〃=4,判斷NQ4D與NOBE的數(shù)量關系，并說明理由；

DF

⑵若P<0,在點C、。運動的過程中，笠CF段-是否為定值？若是，請求出該定值；若不

BC

是，請說明理由.

2.如圖，拋物線（7-=-/+2尤+3與無軸分別相交于A,B兩點（點A在點B的左側），與

y軸相交于點C.

圖1圖2

(1)求點A,B,C的坐標；

(2)如圖1,。是拋物線上第一象限內(nèi)的一點，連接AD,CD.若NCDA=2NDAB,求點。

的坐標；

(3)如圖2,E是的中點，尸是拋物線上一動點(不與頂點重合)，直線尸O,PE分別交拋

物線于點N,直線ME交拋物線于點。，求證：直線NQ必過一定點.

3.如圖，已知二次函數(shù)y=-N+2g+3根2(加＞0)的圖象與x軸交于A,B兩點(點A

在點B的左側)，與y軸交于點C,頂點為點。.

(1)點8的坐標為，點。的坐標為；(用含有機的代數(shù)式表示)

(2)連接CD,BC.

①若C8平分/OC。，求二次函數(shù)的表達式；

②連接AC,若CB平分/AC。，求二次函數(shù)的表達式.

4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線＞=/+"我一3經(jīng)過點4(3,0),點C是拋物線的

⑵設直線y=區(qū)-M左工0)與拋物線相交于尸、。兩點(點尸在點。的左側且點。在第四象

限)，當直線尸。與直線AC相交所成的一個角為45。時，求點。的坐標；

⑶如圖2,作直線AP,AG分別交了軸正、負半軸于點M、N,交拋物線于點尸、G,設

試卷第2頁，共8頁

點A/、N的縱坐標分別為旭、n,且〃7〃=一3,求證：直線尸G經(jīng)過一個定點.

5.已知，如圖1,。是坐標原點，拋物線yuaf+fcr+c(ci#O)經(jīng)過A、B、C三點，AB±y

軸于點A,AB=2,A0=4,0C=5,點D是線段A。上一動點，連接C￡)、BD.

(1)求出拋物線的解析式；

(2)如圖2,拋物線的對稱軸分別交跳入CD于點E、F,當△。所為等腰三角形時，求出

點D的坐標；

⑵若點P是拋物線上一點，滿足求點尸的坐標；

3

(3)若點。在第四象限內(nèi)，且tanNAQ8=],M(-2,1),線段是否存在最大值，如果

存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由.

7.二次函數(shù)y=/一及(/>0)圖象交尤軸于。、4兩點，點C(wi,〃)為點A右側圖象上一動點，

過點C作CB，x軸于點艮點O(p,q)在原點。左側圖象上，直線CD交y軸于點E,連接AD、

BE.

(備用圖)(備用圖)

⑴如圖，當f=3,CD〃x軸：

①若”=4,判斷N04D與NO3E的數(shù)量關系，并說明理由；

②若。<0,在點C、D運動的過程中，蘭CF產(chǎn)-D是F否為定值？若是，請求出該定值；若不是，

BC

請說明理由；

(2)在點C、。在運動的過程中，試探究NOLD與NOBE的數(shù)量關系，并說明理由.

8.在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，過點O的拋物線y=ax2-7ax與x軸正半軸交

(2)如圖2,點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PELx軸，垂足為E,PD交y軸于

點C,連接CE,求證：CE〃AD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將線段EC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。，使點C恰好落在拋物

線的點F處，連接OP,點Q為線段OP上一點，若NFQC=135。，求點Q坐標.

9.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形A0C3是矩形，AB=4,將線段繞點。按順時

針方向旋轉(zhuǎn)90。，使點A落在。C邊上的點E處，拋物線>=以2+法+3過A,E,B三點、.

試卷第4頁，共8頁

(2)若點M是拋物線對稱軸上的一動點，當AWBE的周長最小時:

①求點的坐標；

②求AMBE外接圓圓心P的坐標.

⑶在(2)的條件下，點尸是x軸上一動點，當=時，求點P的坐標.

10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=o?+法+c與x軸交于A(l,0),8(4,0)兩點,

與y軸交于點。(。,2).

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：NCAO=NBCO；

(3)若點尸是拋物線上的一點，且4CB+ZACB=ZBCO,求直線CP的表達式.

11.如圖，二次函數(shù)、=-/+2依+2“+1是常數(shù)，且a>0)的圖象與x軸交A,B兩點

(點A在點3的左側)，與y軸交于點C,頂點為。，對稱軸與線段BC交于點E,與X軸交

于點尸，連接AC,BD.

⑴若a=l

①求直線2。的表達式；

②求證：ZACO=ZCBD；

(2)若二次函數(shù)y=-/+2依+2。+1(。是常數(shù)，且。>0)在第四象限的圖象上，始終存在

一點P,使得NACP=75。，求出。的取值范圍.

3

12.如圖1,已知二次函數(shù)y=x2+Zu+]b的圖像與x軸交于A、8兩點(點3在點A的左

側)，頂點為c,點刈)在此二次函數(shù)圖像的對稱軸直線x=i上，過點。作y軸的垂線,

交對稱軸右側的拋物線E點.

(1)求此二次函數(shù)的解析式和點c的坐標；

(2)當點。的坐標為(U)時，連接50、BE.求證：BE平分NABD；

(3)點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、

E為頂點的三角形相似，求點E的橫坐標.

13.在平面直角坐標系尤Oy中，二次函數(shù)>=加工2-(zw+zi)x+n(m<0)的圖象與y軸正

半軸交于A點.

試卷第6頁，共8頁

叫

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345尤

-1

(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；

⑵設該二次函數(shù)的圖象與X軸的兩個交點中右側的交點為點8,若/ABO=45。，將直線A8

向下平移2個單位得到直線/,求直線/的解析式；

⑶在(2)的條件下，設M(p,q)為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當-3<p<0時，點M

關于無軸的對稱點都在直線/的下方，求m的取值范圍.

14.已知拋物線過點A(-4,0),頂點坐標為C(-2,-1).

(1)求這個拋物線的解析式.

(2)點B在拋物線上，且B點的橫坐標為-1,點P在x軸上方拋物線上一點，且NPAB=45。，

求點P的坐標.

(3)點M在x軸下方拋物線上一點，點M、N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D.連

結MD交兩坐標軸于E、F點.求證：OE=OF.

15.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>