數(shù)學(xué)分析上冊練習(xí)題及答案第一二章

第一章課后習(xí)題詳解1.設(shè)為有理數(shù)，為無理數(shù).證明：（1）是無理數(shù)；（2）當(dāng)時，是無理數(shù).證明:這種題目通常用反證法.假設(shè)是有理數(shù),則是有理數(shù),這與題設(shè)為無理數(shù)相矛盾.故是無理數(shù).假設(shè)是有理數(shù),又,則為有理數(shù),這與題設(shè)是無理數(shù)相矛盾.故是無理數(shù).2.試在數(shù)軸上表示出下列不等式的解:(1)(2)(3)解(1)由原不等式有或前一個不等式的解是,后一個不等式的解為，故的解為.(2)當(dāng)時,由原不等式有,從而有,所以,解此不等式,得,故的解為.由題設(shè)知解之得:.又從而不等式兩端平方,有,因之有,所以,由此解得,又,故有,但不符合原不等式,所以原不等式無解.3.設(shè),證明:若對任何正數(shù)有矛盾,則.證明:假設(shè),則根據(jù)實數(shù)集的有序性，有或，從而必有，令，則為正數(shù)且滿足，這與假設(shè)矛盾，從而必有成立.即原命題成立.4.設(shè),證明,并說明其中等號何時成立.證明:由于所以因與同號,從而.等號成立當(dāng)且僅當(dāng)成立,即進而時成立.5.證明:對任何有(1)(2)證明此題目運用絕對值的三角不等式的性質(zhì).因為所以因為所以6.設(shè)(表示全體正實數(shù)的集合),證明你能說明此不等式的幾何意義嗎?證明對任意的，由有兩端同時加，有即，所以，又，兩端再同加，則，即。不等式的幾何意義為：當(dāng)時，表示以三點為頂點的三角形，其兩邊之差小于第三邊。當(dāng)時，此時不等式為等式三角形變?yōu)橐詾槎它c的線段。7．設(shè)證明介于1與之間。證明因為且，所以當(dāng)時，有從而，當(dāng)時，有從而，所以總是介于1與之間。8．設(shè)p為正整數(shù)。證明：若p不是完全平方數(shù)，則是無理數(shù)。證明反證法假設(shè)是有理數(shù)，則存在正整數(shù)，且互質(zhì)，使得，于是可見能整除，由于互質(zhì)，從而它們的最大公約數(shù)為1，這與互質(zhì)矛盾，所以是無理數(shù)。9．設(shè)為給定實數(shù)。試用不等式符號（不用絕對值符號）表示下列不等式的解：（1）（2）（3）解（1）原不等式可化為因此有即由此可得不等式組或即或故當(dāng)時，不等式的解為當(dāng)時，不等式的解為當(dāng)時，不等式的解集為.（2）原不等式可化為即故當(dāng)故當(dāng)時，不等式的解為當(dāng)時，不等式的解集為（3）當(dāng)時，原不等式的解集為當(dāng)時，原不等式等價于：，因此有當(dāng)時，不等式的解集為時，如果，則解為即或如果，則解為即2．?dāng)?shù)集確界原理1．用區(qū)間表示下列不等式的解：（1）（2）（3）為常數(shù)，且）；（4）解（1）當(dāng)時，不等式化為，其解為；當(dāng)時，不等式化為無解。綜合，原不等式的解為，用區(qū)間表示為（2）絕對值不等式等價于而這又等價于不等式組：或前者不等式的解為后者的解集為從而原不等式的解集為（3）法一運用不等式的等價形式來計算。原不等式等價于不等式組:或或或第一個不等式的解集為第二個不等式的解集為第三，四個不等式的解集均為空集，所以原不等式的解集為法二構(gòu)造函數(shù)則由，知因此當(dāng)且僅當(dāng)故原不等式的解為（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，再由正弦函數(shù)的周期性知：的解集是2．設(shè)S為非空數(shù)集，試對下列概念給出定義：（1）S無上界；（2）S無界。解（1）S無上界可定義為：設(shè)S為非空數(shù)集，若對任意的總存在，使得則稱數(shù)集S無上界。（2）S無界可定義為：設(shè)S為非空數(shù)集，若對任意整數(shù)總存在，使得則稱數(shù)集S無界。3．試證明由（3）式所確定的數(shù)集S有上界而無下界。證明運用有上界，無下界的定義來證明。由（3）式所確定的數(shù)集對任何任何一個大于2的實數(shù)都是S的上界，故S有上界。對任意取存在而因此數(shù)集S無下界。4．求下列數(shù)集的上，下確界，并依次定義加以驗證：（1）（2）（3）為（0，1）內(nèi)無理數(shù)}；（4）解先根據(jù)上，下確界的定義推出的性質(zhì)猜測出S的上，下確界，再根據(jù)上，下確界的定義來驗證。（1）下面以定義加以驗證。因等價于所以對任意的，有且即分別是S的上，下界，又對任意的不妨設(shè)于是存在使，使所以由上，下確界的定義知（2）下面以定義驗證。對任意的所以1是的下界。因?qū)θ我獾娜《薀o上界，所以對任意的存在使所以（3）下面以定義驗證。對任意的有所以1，0分別是的上，下界，又對任意的不妨設(shè)由無理數(shù)的稠密性，總存在無理數(shù)則有無理數(shù)使有無理數(shù)使所以（4）下面以定義驗證。對任意的有所以分別是的上，下界。對任意的必有正整數(shù)使則存在使所以又存在使所以5．設(shè)為非空有下界數(shù)集。證明：證明：運用上下確界的定義證明。充分性設(shè)則對一切有而故是數(shù)集中最小的數(shù)，即必要性設(shè)則下面驗證對一切有即是的下界；以任何只需取則從而6．設(shè)為非空數(shù)集，定義證明：（1）（2）證明：依據(jù)上，下確界的定義直接驗證。令根據(jù)下確界的定義知滿足下列性質(zhì)：對一切有對任何存在使得由（i）知，即即對中的任意元素有即是的上界；由（ii），對任何存在使得即是的最小上界。因此，即由上可得同理可證（2）成立。7．設(shè)皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集證明：（1）（2）證明(1)用定義直接驗證。設(shè)對任意的存在使于是從而對任意的必存在使則存在使所以與（1）方法完全相仿，同理可證。8．設(shè)為有理數(shù)，證明證明設(shè)嚴格遞增，故對任意的有理數(shù)，有即是的一個上界。對任意的有由有理數(shù)的稠密性，對任意有理數(shù)，于是所以同理可證時，3．函數(shù)的概念1．試作下列函數(shù)的圖像：2．試比較函數(shù)與分別當(dāng)和時的圖像。3．4．確定下列初等函數(shù)的存在域：（1）（2）（3）（4）解（1）因為的存在域為所以的存在域也是（2）因等價于所以的存在域為（3）等價于又的存在域是所以即所以取交集，得存在域為因的存在域是而的值域為由有即所以的存在域為5．設(shè)函數(shù)求：（1）（2）解（1）（2）因為所以有6．設(shè)函數(shù)求解7．試問下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成：（1）（2）（3）（4）解（1）由復(fù)合而成。（2）由復(fù)合而成。（3）由復(fù)合而成。（4）由復(fù)合而成。8．在什么條件下，函數(shù)的反函數(shù)就是它本身？解兩函數(shù)相同要求解析式和定義域都分別相同。首先要求因當(dāng)時，設(shè)可得這時函數(shù)不存在反函數(shù)。當(dāng)時，由解得故的反函數(shù)為要使函數(shù)與相同，須有即此外，當(dāng)時，變?yōu)樗姆春瘮?shù)就是它本身。綜合，當(dāng)，且“或”時，函數(shù)的反函數(shù)是它本身。9．試作函數(shù)的圖像。10．試問下列等式是否成立:(1)(2)解對于周期函數(shù)是否成立，不僅要看定義域與值域，還要考慮在不同周期內(nèi)是否均成立。（1）等式成立的條件是在反正切函數(shù)的定義域中，且使在正切函數(shù)的定義域中，而與的定義域都是在的一個周期內(nèi)，故等式成立。（2）當(dāng)時等式成立，但當(dāng)落在此區(qū)間之外時，仍取在中，不等于，故等式不成立，例如當(dāng)時，11．試問是初等函數(shù)嗎？解因是由與復(fù)合而成，根據(jù)初等函數(shù)的定義知是初等函數(shù)。12．證明關(guān)于函數(shù)的如下不等式：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，證明由整函數(shù)的定義知：是不超過的最大整數(shù)，故有即當(dāng)時，給上式兩端同乘以，得當(dāng)時，給等式兩端同乘以，不等號改變方向，得4．具有某些特性的函數(shù)1．證明是上的有界函數(shù)。證明直接利用定義，用平均值不等式放縮找出其中的即可。而所以取則是是上的有界函數(shù)。2．（1）敘述無界函數(shù)的定義；（2）證明為上的無界函數(shù)；（3）舉出函數(shù)的例子，使為閉區(qū)間上的無界函數(shù)。解（1）設(shè)為定義在上的函數(shù)，若對任何（無論多大），都存在使得則稱函數(shù)為上的無界函數(shù)。（2）對任何正數(shù)，取上一點使故按上述定義，為上的無界函數(shù)。（3）設(shè)由（2）的證明知為上的無界函數(shù)。3．證明下列函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性：（1）在上嚴格遞增；（2）在上嚴格遞增；（3）在上嚴格遞減。證明任何則有即所以函數(shù)在上嚴格遞增。任何因為所以因為所以所以即所以函數(shù)在上嚴格遞增。任何因為所以因為所以所以即所以函數(shù)在上嚴格遞減。4．判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）（2）（3）（4）解(1)因為故是偶函數(shù)。（2）的定義域為對任意的有，故是上的奇函數(shù)。（3）的定義域為對任意的有，故為上的偶函數(shù)。（4）由可知的定義域為對每一個有：故故是上的奇函數(shù)。注意驗證奇偶性前，一定要先驗證定義域是否關(guān)于原點對稱。5．求下列函數(shù)的周期：（1）（2）（3）解（1）而的周期是所以的周期是（2）因為的周期是，所以的周期是（3）因的周期是所以的周期是的周期是取最小公倍數(shù)得的周期是6．設(shè)函數(shù)定義在上，證明：（1）為偶函數(shù)；（2）為奇函數(shù)；（3）可表示為某個奇函數(shù)與某個偶函數(shù)之和。證明（1）且的定義域為關(guān)于原點對稱，故為上的偶函數(shù)。（2）且的定義域為關(guān)于原點對稱，故為上的奇函數(shù)。（3）由（1），（2）得從而有而是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，從而可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。7．設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，滿足證明：（1）(2)證明運用上，下確界的概念及性質(zhì)來證明。因為所以，因此是的一個上界。而是的最小上界，故因此是的一個下界，而是的最大下界。8．設(shè)為定義在上的有界函數(shù)，證明：（1）（2）證明（1）記由下確界的定義知，對任意的即可見是的一個上界；對任意的存在使得即可見是的上界中的最小者，所以同理可證結(jié)論成立，也可直接用（1）的結(jié)論來證，事實上，將（1）中換為，得兩邊同乘以得，9．證明：在上無界，而在內(nèi)任一閉區(qū)間上有界。證明對任意的取上一點則有故按定義，為上的無界函數(shù)。而在內(nèi)的任一區(qū)間，由于在上嚴格遞增，從而當(dāng)時，記則對一切有所以是上的有界函數(shù)。10．討論狄利克雷函數(shù)的有界性，單調(diào)性與周期性。解（1）由的定義知，對任意的有所以在上有界。（2）由于對任意的有理數(shù)與無理數(shù)，無論還是，都有所以在上不具有單調(diào)性。（3）對任意的有理數(shù)有：于是對任一有所以，任意有理數(shù)都是的周期，但任何無理數(shù)都不是的周期。11．證明：在上嚴格遞增。證明任取任何則即所以在上嚴格遞增。12．設(shè)定義在上的函數(shù)在任何閉區(qū)間上有界，定義上的函數(shù)：試討論與的圖像，其中（1）（2）解（1）由及的定義知，對當(dāng)在上為遞增函數(shù)時，當(dāng)在上為遞減函數(shù)時，由此可知：對當(dāng)時，嚴格遞減，故而時，由于所以即有：同上理，當(dāng)時，為遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，為遞增函數(shù)，故即有。第二章數(shù)列極限數(shù)列極限概念設(shè)（1）對下列分別求出極限定義中相應(yīng)得：（2）對可找到相應(yīng)的，這是否證明了趨于應(yīng)該怎樣做才對；（3）對給定的是否只能找到一個？解通過反解出，根據(jù)的范圍確定的取值。（1）由于因此，對任意的，只要，便有即當(dāng)時，成立，因此取即可。將給定的分別代入如下：當(dāng)時，相應(yīng)的，當(dāng)時，相應(yīng)的，當(dāng)時，相應(yīng)的。（2）在（1）中雖然對可找到相應(yīng)的，但并沒有證明趨于。正確的做法應(yīng)該是根據(jù)數(shù)列極限的定義，需對任給正數(shù)，都有相應(yīng)的正整數(shù)存在，使得當(dāng)時，有，對于該題，即由求得這時才有結(jié)論（3）對給定的，若存在使得時，都有，則對同樣成立。因此對給定的，若存在滿足條件，那么對一切大于的正整數(shù)都可作為定義中的，所以有無窮多個。注意：本題主要考察對數(shù)列極限的定義的理解，必須注意的任意性，的相應(yīng)性，雖然依賴于但并不意味著是由唯一確定的。按定義證明：（1）（2）（3）（4）（5）解按定義證明關(guān)鍵是要對任意，求出，使得時有。（1）因為所以對任意給定的，只要取，則當(dāng)時，所以（2）法一由于因此對任給的，只要，便有，即當(dāng)時，成立，因此取即可。法二因為當(dāng)時，所以任給，取，則當(dāng)時，有，故（3）因為于是任給，取，則當(dāng)時，有所以（4）因為于是任給，取，則當(dāng)時，有所以（5）因為令則于是因此任給，取，則當(dāng)時，所以注意用定義證明關(guān)鍵是要對任給，求出，使得時有；怎樣求？因要求的滿足時，故應(yīng)解不等式求，如果直接解不等式求滿足定義中的最小的不容易時，可將適當(dāng)放大，使且使放大后的式子當(dāng)時仍為無窮小量，且式子簡單，解不等式求出較大的。在放大的過程中，為使式子簡單，有時要限定必須大于某個正數(shù)（如（2）中法二的），并在最后確定的值時，考慮到這個前提條件（如（2）中?。?。此外，不同的放大方法，求出的可能不同（如（2）中的法一，法二），這沒關(guān)系，只要滿足定義就行。在滿足定義的條件下，的大小對數(shù)列當(dāng)時是否以為極限沒影響。根據(jù)例2，例4和例5的結(jié)果求出下列極限，并求出哪些是無窮小數(shù)列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解參考常用的數(shù)列極限，如將具體的數(shù)值代入即得結(jié)果。（1）取得（2）取得（3）取得（4）取得（5）取得（6）取得（7）取得綜上所述，題（1），（3），（4），（5）的數(shù)列是無窮小數(shù)列。證明：若則對任一正整數(shù)有證明因為則由定義知：任給，存在，當(dāng)時，，于是當(dāng)時，也有，所以求，故試用定義證明：數(shù)列不以1為極限；（2）數(shù)列發(fā)散。證明定義：任給，若在之外數(shù)列中的項之多之有有限個，則稱數(shù)列收斂于極限數(shù)列不以為極限可根據(jù)定義的反推證明。數(shù)列發(fā)散則需證明對任何數(shù)，若存在某，使得數(shù)列中有無窮多個項落在之外，則一定不以為極限。要證不以1為極限，即證存在某，使得數(shù)列有無窮多個項落在之外。取，則，當(dāng)時，，即在之外數(shù)列中的項有無限個，所以由定義的反推證明知，數(shù)列不以1為極限。任取實數(shù)取當(dāng)時，這樣在之外數(shù)列中的項有無限個，由定義的反推證明知，數(shù)列不以為極限，由的任意性說明數(shù)列無極限，故為發(fā)散數(shù)列。證明定理2.1，并應(yīng)用它證明數(shù)列的極限是1。證明（1）定理2.1：數(shù)列收斂于的充要條件是：為無窮小數(shù)列。充分性：因為為無窮小數(shù)列，由此可知對于任給的存在正整數(shù)，當(dāng)時，，根據(jù)數(shù)列極限的定義，知數(shù)列以為極限，即必要性：數(shù)列收斂于，由此可知對任意的正整數(shù)存在自然數(shù)，當(dāng)時，，而因此對任意的存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，根據(jù)數(shù)列極限的定義，知數(shù)列以為極限，即所以為無窮小數(shù)列。因為且是無窮小數(shù)列，從而是無窮小數(shù)列，則有定理2.1的充分性知，1是數(shù)列的極限。證明：若則當(dāng)且僅當(dāng)為何值時反之也成立。證明根據(jù)極限的定義及絕對值的有關(guān)性質(zhì)證明。因為所以對于任給的存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，可由實際上，若，，對任意的存在正整數(shù)，當(dāng)時，，所以。當(dāng)時，由推不出，例如，但數(shù)列卻不收斂。8.按定義證明：（1）（2）（3），其中.證明：按定義證明，即對任意的求出，使得當(dāng)時有即可。也可將的表達式適當(dāng)放大，放大后的式子當(dāng)時為無窮小量，且式子簡單，則就易求出。因為，因此對任意的只要，，取，則當(dāng)時，有，故。，因此對任給取，則當(dāng)時，有，故。為偶數(shù)時，由于，因此對任給取，當(dāng)時，有成立。為奇數(shù)時，由于，因此對取，當(dāng)時，有成立。綜上，對任意取，使得當(dāng)時，有且，即任意，，由此可得。2收斂數(shù)列的性質(zhì)求下列極限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解將化作我們常見的可求極限的形式，再通過極限的四則運算法則進一步計算。（1）（2）（3）由時，得再有極限的四則運算法則，知（4）（5）因為所以（6）2．設(shè)且證明：存在正整數(shù)，使得當(dāng)時有證明取因由極限的定義，對于，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，即又存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，即，取當(dāng)時，有，即，因此當(dāng)時有3．設(shè)為無窮小數(shù)列，為有界數(shù)列，證明：為無窮小數(shù)列。證明由題，因為為有界數(shù)列，所以存在，對一切正整數(shù)，有又為無窮小數(shù)列，利用極限的定義，對任給，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有因此，當(dāng)時，有所以即為無窮小數(shù)列。解（1）（2）（3）題根據(jù)自身特性可對數(shù)列求和后直接求極限，（4）(5)（6）題則通過不等式應(yīng)用迫斂性求出所給題的極限。（1）（2）因為所以（3）法一令①則②①—②式得，故得由極限四則運算法則得法二因為所以（4）因為當(dāng)時，而由迫斂性得(5)因為而由迫斂性定理知（6）因為而由迫斂性定理得注意構(gòu)造適當(dāng)?shù)牟坏仁?，用破斂性定理求比較復(fù)雜數(shù)列的極限，這不僅是判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也是求極限的一個重要工具。設(shè)與中有一個是收斂數(shù)列，另一個是發(fā)散數(shù)列。證明是發(fā)散數(shù)列。又問是否必為發(fā)散數(shù)列？證明設(shè)發(fā)散。假設(shè)收斂且則由極限的四則運算法則有這與發(fā)散矛盾，所以發(fā)散。同理也是發(fā)散的。但，不一定發(fā)散。如取則收斂，發(fā)散，但與都收斂。證明以下數(shù)列發(fā)散：（1）（2）（3）證明根據(jù)定理2.8，只要證明數(shù)列有一個子數(shù)列發(fā)散，或有兩個子數(shù)列收斂而極限不相等，即可證明數(shù)列發(fā)散。當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，由定理2.8知，數(shù)列發(fā)散。記則有即數(shù)列的偶數(shù)項組成的子列發(fā)散，由定理2.8知數(shù)列發(fā)散。記則所以由定理2.8知，數(shù)列發(fā)散。判斷以下結(jié)論是否成立（若成立，說明理由；若不成立舉出反例）：若和都收斂，則收斂；若，和都收斂，且有相同的極限，則收斂。解（1）該命題不成立，如。其奇數(shù)項組成的子列收斂于而雖然兩子列都收斂，但沒有相同的極限，由定理2.8知發(fā)散。因為，和都收斂于同一極限，則的任一子列都收斂于，故由定理2.8知收斂。求下列極限：（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）題利用極限的迫斂性計算，（4）題運用了極限的四則運算法則。(1)因為所以，而，則由迫斂性定理，知。因為當(dāng)時，所以，而，由迫斂性定理知：。因為,則,所以,可是,從而有,而,故由迫斂性定理,知.記,則,從而得.又,由極限的四則運算法則得,.9.設(shè)為個正數(shù),證明:.證明:令,則,因為,而,所以.10.設(shè).證明(1);(2)若則.證明:因為,所以,而,,由迫斂性定理知,.(2)因為且,根據(jù)定義,則對,存在正整數(shù),當(dāng)時,,即,從而有,又因為,故由迫斂性定理知,.3.數(shù)列極限存在的條件1.利用求下列極限:(1);(2);(3);(4);(5).解：(1).(2).(3)(4),所以.(5),而,由習(xí)題10(2)得.2.試問下面的解題方法是否正解：求.解:設(shè)及.由于，兩邊取極限得，所以.以上解題方法是不正確的.因為只有證明了的極限存在以后才可以設(shè).而在本題中是遞增且無上界數(shù)列,其極限不存在.故而也就不存在.所以以上解題方法是錯誤的.3.證明下列數(shù)列極限存在并求其值:(1)設(shè);(2)設(shè);(3).證明:首先判斷所給數(shù)列是單調(diào)有界的,即用單調(diào)有界定理證明數(shù)列極限存在;然后,設(shè)所求極限為,并由相鄰兩項與的關(guān)系式兩端取極限得一關(guān)于的方程;最后解上面的方程并同時利用極限保不等式性求出,即為所求極限.(1)(重根號),(重根號),故數(shù)列單調(diào)增加.又(重根號)(重根號)(重根號)數(shù)列有上界,根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理知存在,設(shè),,解之得或,因,由數(shù)列極限的保不等式性是不可能的,故.(2)先證對所有的,有.當(dāng)時,,當(dāng)時,,則當(dāng)時,因此對所有的,均有.若要使,需使,得,因,因此對所有成立,即.綜上所述,單調(diào)有界,由單調(diào)有界定理知,數(shù)列的極限存在.設(shè),對兩邊同時取極限得,解得,又對所有,而,因此取,即.因為，則取，當(dāng)時，,而,由于,從而,故,由迫斂性定理知.4.利用為遞增數(shù)列的結(jié)論,證明為遞增數(shù)列.證明:法一因為遞增數(shù)列,則對任意自然數(shù),有,即,從而,故為遞增數(shù)列.法二,故為遞增數(shù)列.5.應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則,證明以下數(shù)列收斂:(1);(2).證明(1)對任意的且,有因為,于是對任意的,必存在,當(dāng)時有,所以對任給,取,則對一切,有.因此數(shù)列滿足柯西條件,由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.(2)對任意且,有對任給,取,則對一切,有.因此數(shù)列滿足柯西條件,由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列收斂.6.證明:若單調(diào)數(shù)列含有一個收斂子列,則收斂.證明:利用單調(diào)有界定理,只要證明數(shù)列有界即可.設(shè)單調(diào)遞增,且有收斂子列,記.因為仍為遞增數(shù)列，所以，則對任一，有，從而。由此知對任意的自然數(shù)，有，說明有上界，由單調(diào)有界定理知一定是收斂的。7.證明：若，且，則.證明:,由數(shù)列極限的保號性知,對任何,存在正整數(shù)