2024年高考數(shù)學模擬試題二（含解析）

2024年高考數(shù)學模擬試題

1.已知全集U為實數(shù)集，集合A={x[—l<x<3},3={x|y=ln(l—x)},則集合A8為(

A.{x|l<x<3}B.{x|x<3}C,{x|x<-l}D.{x|-1<X<1}

【答案】D

【解析】

分析：由題意首先求得集合力和集合6,然后結(jié)合集合運算的定義進行交集運算即可求得最終結(jié)果.

詳解：求解對數(shù)函數(shù)y=ln(l—X)的定義域可得：3={x|x<l},

結(jié)合交集的定義可得：集合為{x|-

本題選擇2選項.

點睛：本題主要考查結(jié)合的表示方法，交集的定義等學問，意在考查學生的轉(zhuǎn)化實力和計算求解實力.

2.若復數(shù)Z],Z2在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于y軸對稱，且Z1=2-，，則復數(shù)五=()

-Z2

3434

A-1B.1C.——+-iD.-----i

一5555

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)復數(shù)的幾何意義得到z^-2-i,再依據(jù)復數(shù)的乘除法運算法則可得結(jié)果.

【詳解】依題意可得Z2=-2-

z,2-(2-7)(-2+i)

所以」二f-?+&

4-2555

故選：C.

【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的乘除法運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知直線4：xsina+y—1=0,直線乙：x-3ycostz+l=0,若乙上4,則sin2or=()

【答案】D

【解析】

分析：依據(jù)直線的垂直，即可求出tana=3,再依據(jù)二倍角公式即可求出.

詳解：因為所以sina-3cosa=0,

所以tana=3,

2sinacosa2tan。3

所以sin2a=2sinacosa=--------------=---------=—.

sin-a+cos-a1+tan-a5

故選D

點睛：本題考查了兩直線的垂直，以及二倍角公式，本題利用了sin?e+cos?0=1奇妙的完成弦切互化.常

用的還有三姐妹的應用，一般sincr+cos*sina-coscr,sina*cosa,這三者我們成為三姐妹，結(jié)合

sin2tz+cos2a-l>可以知一求三.

4.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路途有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路,

天外村汽車登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)覺三人走的線路均

不同，且均沒有走天外村汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，依據(jù)以上信息，可推斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

【答案】D

【解析】

【分析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路途，由題意知這三句中肯定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分狀況探討

即可.

【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤,又三人的陳述都只對一半,則乙丙

的另外兩句話“丙走紅門盤道徒步線路”，“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”沖

突.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤，“甲走天燭峰登山線

路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述，甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選D

【點睛】本題主要考查了推斷與推理的問題,重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類探討,屬于基礎(chǔ)題型.

5.已知直線x-2y+a=0與圓0：/+/=2相交于A,B兩點（0為坐標原點），則“a=”是

“OA-OB=Q^^的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

/、/、（x-2y+a=0.,

設(shè)，聯(lián)立<,2c，化為5y--4xy+tz2-2=0,A>0,由

[x+y=2

OAOB=0ox,x2+yry2=0,可得5%%一2。（乂+%）+a?=0,依據(jù)韋達定理解出a,進而可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)A&,%）,5（孫％），

x-2y+a=0..

聯(lián)立《2,，化為5y2—4孫+/—2=0,

x+y=2

直線“2尹°=0與圓0：必+,2=2相交于43兩點，（。為坐標原點），

.-.A=16?2-20（?2-2）>0,解得/<10，

4aa?—2

「?%+%=彳，%%=^―，

OA-OB=0oXyX2+yxy2-0,

.?.（2%-。）（2為-。）+%為=。,

2

.-.5y1y2-2a（y1+y2）+a=0,

/—24〃2人

二.5x-------2clxFci—0f

55

解得a=±^5>

則“a=J?”是“0408=0”的充分不必要條件，故選A.

【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的定義、直線與圓的位置關(guān)系，以及平面對量數(shù)量積公式的應

用，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利

用七%一々%=。解答；（2）兩向量垂直，利用石々+%%=0解答.

6.如圖，點尸是拋物線/=8x的焦點，點a,3分別在拋物線V=8x及圓(%-2)2+；/=16的實線部

分上運動，且A3始終平行于無軸，則尸的周長的取值范圍是()

A.(2,6)B.(6,8)C.(8,12)D.(10,14)

【答案】C

【解析】

【分析】

由拋物線定義可得同=%+2,從而,FAB的周長

=\AF\+\AB\+\BF\=XA+2+(XB-XA)+4=6+XB,確定3點橫坐標的范圍，即可得到結(jié)論.

【詳解】拋物線的準線/：x=—2,焦點/(2,0),

由拋物線定義可得|A同=%+2,

圓(1—2)2+V=16的圓心為(2,0),半徑為4,

，..FAB的周長=|AF|+1AB|+忸同=XA+2+(乙一/)+4=6+/，

由拋物線丁=8x及圓(％—2『+V=16可得交點的橫坐標為2,

e(2,6),/.?8,12),故選C.

/.xB6+XB

【點睛】本題主要考查拋物線的定義，考查拋物線與圓的位置關(guān)系，確定B點橫坐標的范圍是關(guān)鍵，屬于

中檔題.

7.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示.其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的才智與工藝.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽視杯壁厚度)，如圖2所示.

已知球的半徑為尼酒杯內(nèi)壁表面積為§7尺2,設(shè)酒杯上部分(圓柱)的體積為匕，下部分(半球)的體

積為匕，則營=()

圖1圖2

33

A.2B.—C.1D.一

24

【答案】A

【解析】

【分析】

Q

先求出酒杯下部分（半球）的表面積為2萬7?2,得到圓柱側(cè)面積為§乃R2,進一步得到酒杯上部分（圓柱）

4

的高為然后分別求出％,匕，得到答案.

【詳解】設(shè)酒杯上部分（圓柱）的高為方

球的半徑為此則酒杯下部分（半球）的表面積為2萬尺2

酒杯內(nèi)壁表面積為一萬浦，得圓柱側(cè)面積為一一在2—=一萬R2,

333

酒杯上部分（圓柱）的表面積為2?Rx/z=—8"氏92,解得丸=—4R

33

142

酒杯下部分（半球）的體積％=—X—"義代=—?氏3

233

44

酒杯上部分（圓柱）的體積匕=

-7TR3

所以v券=垓—=2.

匕-7TR3

3

故選：A

【點睛】本題考查球的表面積和體積、圓柱側(cè)面積和體積，屬于中檔題.

8.已知雙曲線W—/=1（?！?］〉0）的左、右焦點分別為《、F2,4為左頂點，過點4且斜率為乎

的直線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為"，若孫?"居=0,則該雙曲線的離心率是（）

A.亞B.—C.邊1D.-

333

【答案】B

【解析】

【分析】

先由孫?兒利=0,得/月曬為直角，可得=；閨8即可得然后利用直線斜率公式

求解即可.

【詳解】解：雙曲線2=1（?！?/〉0）的漸近線方程為'=±'尤，

設(shè)點加,'m），

因為?%=（）,即AAff；月為直角三角形，且/耳雙心為直角,

所以|<w|=g閨閭，貝I］蘇+（包B=°2上,

解得機=a,

故又A（—a,O）,

所以直線AM的斜率左=2=走，所以4■=4

2a3/3

故該雙曲線的離心率e=￡=、1+與=叵

a\a3

故選：B

【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求法，重點考查了雙曲線漸近線方程及直線的斜率公式，屬中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.某城市為了解游客人數(shù)的改變規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2024年1月至2024年12月期

間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C.2024年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)為30

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，改變比較平穩(wěn)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

視察折線圖，駕馭折線圖所表達的正確信息，逐一推斷各選項.

【詳解】由2024年1月至2024年12月期間月接待游客量的折線圖得：

A中，年接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故A正確；

在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正確；

在C中，2024年1月至12月月接待游客量的中位數(shù)小于30,故C錯誤；

在D中，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，改變比較平穩(wěn)，故D正確.

故選：ABD

【點睛】本題主要考查學生對于折線圖的理解實力，考查圖表的識圖實力，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖，正方體A3CD—4與G2的棱長為1，線段用，上有兩個動點氏F,且&"=則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.線段與，上存在點￡、c使得AE//斯B.EF//平面480)

c.的面積與一5所的面積相等D.三棱錐兒板的體積為定值

【答案】BD

【解析】

【分析】

依據(jù)異面直線的定義可推斷A；依據(jù)線面平行的判定定理可推斷B；依據(jù)三角形的面積公式可推斷C；利用

直線平行平面，直線上的點到面的距離相等以及椎體的體積公式可推斷D.

【詳解】如圖所示，"6與四。為異面直線，故力￡與斯也為異面直線，力錯誤;

BQJIBD,故EF//平面四切，故6正確；

由圖可知，點/和點8到廝的距離是不相等的，C錯誤;

連結(jié)初交2C于。，則/。為三棱錐士頌的高，

11x1=1

S/\BEF=-X

224

三棱錐企頌的體積為也=變?yōu)槎ㄖ担ㄕ_；

34224

故選：BD.

【點睛】本題考查了異面直線的定義、線面平行的判定定理、椎體的體積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知函數(shù)/(￡)=5訶85可+以光回1%),其中［尤］表示不超過實數(shù)X的最大整數(shù)，關(guān)于/(X)有下述

四個結(jié)論，正確的是()

A./(%)的一個周期是2?B./(%)是非奇非偶函數(shù)

C./(%)在(0,〃)單調(diào)遞減D.“X)的最大值大于世

【答案】ABD

【解析】

【分析】

先依據(jù)周期函數(shù)定義推斷選項A,再依據(jù)y=［x］函數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化/(%)為分段函數(shù)推斷B選項，結(jié)合三

角函數(shù)的圖象與性質(zhì)推斷C,D選項.

【詳解】Q于(x+2兀)=sin[cosx]+cos[sinx]=/(x),

???/(九)的一個周期是2%,故/正確;

sinl+l,x=0

cosl,x=—

2

71

1-sin1,xe

/(x)=,5'"

cosl-sinl,xeL,y

COS1,XG—,2^-

2

COS1,XG

非奇非偶函數(shù)，8正確;

對于C,xe(0，W)時，/(%)=1,不增不減，所以c錯誤;

程〉1.7〉JI，，正確.

「八冗、71

對于D,九￡[0,—-),/(%)=sin1+1>sin——Fl=1+

2八4

故選：ABD

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，考查了特例法求解選擇題，屬于中檔題.

12.若存在實常數(shù)人和6,使得函數(shù)/(尤)和G(x)對其公共定義域上的隨意實數(shù)X都滿意：F(x)>kx+b

和G(力KAx+b恒成立,則稱此直線y為。(％)和G(x)的“隔離直線”，已知函數(shù)

/(x)=x2(xe7?),g(x)=-(x<0),&(x)=2elnx(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則()

(1)

A.g)=/(%)—<?(%)在工e-三廠,0內(nèi)單調(diào)遞增;

I次)

B.和g(x)之間存在“隔離直線”，且b的最小值為-4；

C."%)和g(x)之間存在“隔離直線”，且左的取值范圍是［-4」］；

D.“X)和妝％)之間存在唯一的“隔離直線"y=2^x-e

【答案】ABD

【解析】

【分析】

令加(%)=/(%)-g(x),利用導數(shù)可確定加(九)單調(diào)性，得到A正確；

_Z?>0

設(shè)/(x),g(x)的隔離直線為丫=履+6,依據(jù)隔離直線定義可得不等式組｛2—對隨意

xe(-a),。)恒成立；分別在左=0和k<0兩種狀況下探討b滿意的條件，進而求得上,6的范圍，得到3正

確，C錯誤；

依據(jù)隔離直線過“X)和/z(九)的公共點，可假設(shè)隔離直線為y=依-左五+e；分別探討左=0、k<0和

Z〉0時，是否滿意了(兀)2區(qū)一左五+0(龍>0)恒成立，從而確定左=2G，再令G(x)=26無一e—7z(x),

利用導數(shù)可證得G(九)20恒成立，由此可確定隔離直線，則。正確.

【詳解】對于A,m(x)=/(x)-^(x)=x2--,

mr(x)=2九+二，加"(x)=2--^-=2(1-二］,

XyXy

(1)

當無￡一守=，°時，“(%)>0,.,.加(%)單調(diào)遞增,

I6)

(1、

.,.加(%)在無￡—■—=yQ內(nèi)單調(diào)遞增,

A正確;

對于民C,設(shè)/(%),g(x)的隔離直線為>=丘+如

2>kx+b

xx2-kx-b>Q

則<1對隨意xe(-co,0)恒成立,即，對隨意xw(-8,0)恒成立.

Vkx+bkx1+Z?x-l<0

由丘2+法一140對隨意xw(-oo,0)恒成立得：k<Q.

⑴若左=0,則有6=0符合題意；

⑵若k<0則有/-6—/^。對隨意兀武—⑼恒成立，

k

-：y=x2-kx-b的對稱軸為x=—<0,「.A1=/+4b<0,.\b<0；

2

又y=b?+6x-l的對稱軸為x=—-—<0,A=Z?2+4^<0；

2k2

k2W—4b”,

即〈，2「:.k4<16b2<-64k>:.^<k<0；

b1<-4k

42

同理可得：Z?<16^<-64/?..-.-4<Z?<0；

綜上所述：-4<k<0,-4<b<0,3正確，C錯誤；

對于D,函數(shù)/(九)和MX)的圖象在x=正處有公共點，

，若存在/(九)和h(x)的隔離直線，那么該直線過這個公共點.

設(shè)隔離直線的斜率為左，則隔離直線方程為y—e=k(x—&),即丁=丘—左&+e,

則/(九)2"一+e(尤>0)恒成立，

若左=0,則eNO(尤>0)不恒成立.

若k<0,令〃(%)=%2—丘+左Je—e(x>0),對稱軸為x=5<0

.,.“(%)=f—丘+上加—e在(0,向上單調(diào)遞增，

又比(&)=e-k4e+ky[e-e-0,故k<0時，/(x)>+e(x>0)不恒成立.

若左>0,"(%)對稱軸為x=g>0,

若〃(x)N0恒成立，則43=/—4(左五一e)=(左一2&)<0,解得：k=2y/e-

此時直線方程為：y=2y[^x-e,

下面證明h^x)<2y[ex-e,

令G(x)=lyfex-e-h^x)-2\/ex-e-2e}nx,則&),

x

當天=&時，G'(x)=0；當0<x<及時，G(x)<0；當了〉正時，G(x)>0；

.?.當x=&時，G(x)取到微小值，也是最小值，即G(x)1mli=G(五)=0,

G(無)=2Gx-e-h(x)>0,即h^x)<2\[ex—e,

???函數(shù)f(x)和h(x)存在唯一的隔離直線y=2J羨—e,D正確.

故選：ABD.

【點睛】本題考查導數(shù)中的新定義問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠充分理解隔離直線的定義，將問題轉(zhuǎn)化為

依據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍或參數(shù)值、或不等式的證明問題；難點在于能夠?qū)χ本€斜率范圍進行精確

的分類探討，屬于難題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量a=(l,0),]=(4,2),忸-同=卜+同,則實數(shù)4=.

【答案】|

【解析】

由&=(1,0)石=(2,2),則2。—b=(2,0)-(2,2)=(2-2,-2),a+Z;=(1+2,2),

2

所以|2a—=(2—4)2+(—2)2=8—4幾+力2,卜+司2=5+22+2,

又由|2。一力=卜+4，所以8—42+彳2=5+2彳+.2,解得X=g.

14.已知(1+尤)=4/Q+q(1—%)+4(1—無)+',,+(1—尤)，則/=?

【答案】180

【解析】

10210

(l+x)°=,(1+%)=?0+(1-%)+a2(1--X)+...+?10(1-x),

(一2『=180,故答案為180.

【方法點晴】本題主要考查二項綻開式定理的通項與系數(shù)，屬于中檔題.二項綻開式定理的問題也是高考

命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：(1)考查二項綻開式的

通項公式(+1=€：，17/；(可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù))(2)考查各項系數(shù)和和各項的二項

式系數(shù)和；(3)二項綻開式定理的應用.

15.函數(shù)/(》)=5皿5+。)\〉0,|。|<9的部分圖象如圖所示，則。=_；將函數(shù)/(%)的圖象沿x

7F

軸向右平移"(0<b<5)個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則匕=—.

，、兀.3%

【答案】(1).-(z2).——

48

【解析】

【分析】

依據(jù)圖象求得周期，利用周期計算公式求得依據(jù)/1,即可求得。；再求得平移后的函數(shù)解析

式，依據(jù)奇偶性，列出等式，則b可得.

I37r7171

【詳解】依據(jù)函數(shù)的圖象可得一T=---------=—,所以7=萬,

4884

27r

所以‘=乃，所以。=2,

a)

又因為了1,所以=1,

LLI1兀