2024-2025學(xué)年上海市青浦區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)期末考試試卷（一模）含詳解

2024-2025學(xué)年上海市青浦區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一.填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=l+]i（其中，是虛數(shù)單位）的共輾復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

2.已知集合4=｛耳尤=2左-1,依N｝,8=｛-1,0,1,2,3｝,則4仆8=.

3.不等式三3的解集為-

x+1

4.若直線(xiàn)/i：x+（m+1）y+（m-2）=0與直線(xiàn)/2：g：+2y+8=0平行，則加=.

5.已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直，則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

6.已知數(shù)列｛斯｝滿(mǎn)足〃1+2。2+3〃3+…〃（〃+2），貝!]466=.

7.在△ABC中，已知/ACB=120°,48=24,若BC=2AC,則△ABC的面積為.

8.已知圓柱M的底面半徑為3,高為圓錐N的底面直徑和母線(xiàn)長(zhǎng)相等.若圓柱M和圓錐N的體積相同,則圓錐N的

底面半徑為.

9.（x+y）（x-y）6的展開(kāi)式中，//項(xiàng)的系數(shù)為.

10.己知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?2,-1,1,2｝,值域?yàn)椋?2,2｝,則滿(mǎn)足條件的函數(shù)〉=/（尤）最多有個(gè).

11.若函數(shù)y=log]（ax3-8x+15）在區(qū)間（1,2）上嚴(yán)格增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

~2

12.已知A,8,C是單位圓上任意不同三點(diǎn),則些要的取值范圍是.

lABI

二,選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。

13.已知且滿(mǎn)足尤>%則下列關(guān)系式恒成立的是（）

A.―--<---B.In（?+1）>ln（y2+l）

22

x+ly+l

C.sinx>sinyD.x3>y3

14.若點(diǎn)尸（a,6,c）（abcWO）關(guān)于平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A,關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,則A,8兩點(diǎn)（）

A.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于平面xOz對(duì)稱(chēng)

15.已知函數(shù)y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)/（x）=（x-1）（%-3）+0.01.則關(guān)于函數(shù)y=/（x）在

R上的零點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（）

A.有4個(gè)零點(diǎn)，其中只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-3,-1）上

B.有4個(gè)零點(diǎn)，其中兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（-3,-1）上,另外兩個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間（1,3）上

C.有5個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)正零點(diǎn)中一個(gè)在區(qū)間（0,1）上，一個(gè)在區(qū)間（3,+8）上

D.有5個(gè)零點(diǎn)，都不在（0,1）上

16.對(duì)于數(shù)列｛斯｝，設(shè)數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和為的,給出下列兩個(gè)命題：①存在函數(shù)y=/（無(wú)），使得％=/（劭），②存在函數(shù)

y=g（無(wú)），使得"=g（an）.則①是②的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

三.解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分78分），解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟。

17.（14分）已知函數(shù)/（x）=（2COS2X-1）sin2x+Acos4x.

（1）求了（無(wú)）的最小正周期及最大值.

（2）若a€（二三,n），且/（a）=Y2,求a的值.

22

18.（14分）如圖，在三棱錐尸-43C中，平面平面48c,48=6,夙?=2愿,4。=2、后,￡）,￡分別為線(xiàn)段48,86上的

點(diǎn)，且AD=2DB,CE=2EB,PD上AC.

（1）求證：OE〃平面E4c.

（2）求證：P￡）_L平面ABC.

P

19.（14分）第七屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2024年日1月6日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的三款產(chǎn)品在博

覽會(huì)上亮相,每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表：

（單位：個(gè)）

產(chǎn)品A產(chǎn)品B產(chǎn)品。

普通裝n180400

精品裝300420600

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個(gè)，其中B款產(chǎn)品有30個(gè).

（1）求”的值.

（2）用分層抽樣的方法在C款產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從樣本中任取2個(gè)產(chǎn)品，求其中至少有一個(gè)精品裝產(chǎn)

品的概率.

（3）對(duì)抽取到的8款產(chǎn)品樣本中某種指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10,方差為2,精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12,

方差為L(zhǎng)8,試估計(jì)這天生產(chǎn)的8款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差（精確到0.01）.

22

20.（18分）已知橢圓C：幺工=1產(chǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)/交橢圓C于兩點(diǎn).

43

(1)若直線(xiàn)I垂直于X軸,求橢圓C的弦AB的長(zhǎng)度.

(2)設(shè)點(diǎn)尸(-3,0),當(dāng)/力8=90°時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

(3)設(shè)點(diǎn)M(3,0),記M4,MB的斜率分別為內(nèi)和近，求總的取值范圍.

21.(18分)已知函數(shù)y=/(x)，其中/(x)=6^1-2lnx+x.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)設(shè)函數(shù)g(無(wú))=/(尤)+2/加,問(wèn)：函數(shù)y=g(x)的圖像上是否存在三點(diǎn)C,使得它們的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,

且直線(xiàn)AC的斜率等于y=g(x)在點(diǎn)B處的切線(xiàn)的斜率？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在,說(shuō)明理

由.

(3)證明：函數(shù)y=f(無(wú))圖像上任意一點(diǎn)都不落在函數(shù)＞=(x-2)3-3(x-2)圖像的下方.

2024-2025學(xué)年上海市青浦區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

參考答案與試卷解析

題號(hào)13141516

答案DADB

一.填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果。

1?【解答】解：復(fù)數(shù)z=i+Lj（其中i是虛數(shù)單位）的共輾復(fù)數(shù)為：1

22

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,-1），位于第四象限.

2

故答案為：四.

2.【解答】解:集合A={x|x=2左-1火CN},B={-1,0,1,2,3}.

則ACB={-1,1,3）.

故答案為：{7,1,3}.

3?【解答】解：不等式2二莖>2化為：2上3<0,即三電<0

x+1x+1x+1

貝UJl：-x+5）（x+1）<0,解得一5Wx<-1.

lx+17t0

故答案為：［-5,-1）.

4.【解答】解：根據(jù)直線(xiàn)/i：x+（m+1）y+（m-2）=0與直線(xiàn)/2：g：+2y+8=0平行,故有mW0.

且滿(mǎn)足工=空1/變工,求得m=l.

m28

故答案為：1.

??,兩條漸近線(xiàn)互相垂直.

.,.Ax(-A)=-1

aa

a2=b2.

,?"=個(gè)a2+1)2=&。

.\e=—=y/2

a

故答案為：V2

6.【解答】解：數(shù)列｛〃〃｝滿(mǎn)足〃I+2〃2+3〃3+…+幾?！?九(〃+2).

當(dāng)2時(shí),〃1+2〃2+3〃3+…+(n-1)an-\=(n-1)(n+1).

兩式相減可得"斯=〃(n+2)-(n-1)(n+1)=2〃+l.

_2n+l

所以(n)2),

nn

所以a66=2X66+L=3.

6666

故答案為：133.

66

7.【解答】解：設(shè)AC=尤.

貝ijBC=2x.

ZACB=120°,AB=2救.

則AB2—AC2+BC2-2AC*BC*COSC=X2+4X2-2?x?2x?cosC=7/=28,解得尤=2.

2

^AABCWffi^^lAC.CB,sinCU-X2X4X^-=2V3-

故答案為：273.

8.【解答】解：設(shè)圓錐N的底面直徑為2廠(chǎng),則高為?人

:圓柱M的底面半徑為3,高為圓柱M和圓錐N的體積相同.

nX32XV3=9A/3K=-1-^r2-V3r-

解得r=3.

圓錐N的底面半徑為3.

故答案為：3.

9.【解答]解：（尤+y）（尤-y）6的展開(kāi)式中.

則dy3項(xiàng)的系數(shù)為霏?（-1）③&?（-1）2=-5.

故答案為：-5.

10.【解答】解：根據(jù)函數(shù)的概念可知，定義域｛-2,-1,1,2｝中的4個(gè)元素，每一個(gè)元素都可對(duì)應(yīng)值域｛-2,2｝中的-2或

2.

即每一個(gè)x的值都有兩種對(duì)應(yīng)方式.

所以共有2X2X2X2=16種對(duì)應(yīng)方式.

又因?yàn)橹涤蛑械拿恳粋€(gè)值至少有一個(gè)無(wú)的值與之對(duì)應(yīng).

所以滿(mǎn)足條件的函數(shù)y=/（x）最多有16-2=14個(gè).

故答案為：14.

11.【解答】解：函數(shù)y=log]（ax2-8x+15）,令片辦？-8x+15,則y=log]t.

~2~2

函數(shù)y=log]（ax2-8x+15）在區(qū)間（1,2）上嚴(yán)格增.

~2

由函數(shù)y=log[t在定義域上嚴(yán)格減,則函數(shù)f=a/-8x+15在區(qū)間（1,2）上嚴(yán)格減.

7

有，=2依-8（0在區(qū)間（1,2）上恒成立，即a《烏在（1,2）上恒成立，得aW2.

又a?-8x+15>0在區(qū)間（1,2）上恒成立，則旦在（1,2）上恒成立.

X2

Ax

令s=l,則a>8s-15s2在弓，1）上恒成立.

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得a

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[[,2]-

故答案為:4，2].

12.【解答】解：根據(jù)向量數(shù)量積的定義屈?菽=|瓦||菽|cos8淇中。是屈與菽的夾角.

所以，半年_=|AC|COS6?

IABI

坐步表示菽在標(biāo)上的為數(shù)量投影.

lABI

當(dāng)AC一直徑,8,C趨于重合時(shí)，膽生趨于最大值2.

lABI

若正和旋夾角為鈍角，過(guò)點(diǎn)C作CDLAB的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于D.

貝U羋*J-AD=_（""AB-lf-I

IABI22

故的取值范圍是（-1,2）.

IABI

故答案為：（-1,2）.

二,選擇題（本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答

題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。

13?【解答】解：當(dāng)x=2,y=-2時(shí)顯然錯(cuò)誤.

當(dāng)y=l,x=l+2ir時(shí),C顯然錯(cuò)誤.

因?yàn)閥=/在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)x>y時(shí),/>只。正確.

故選：D.

14.【解答】解：由題意,A（〃力,-c）,BC-a,-b,c）.

則A,B兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng).

故選：A.

15.【解答］解：函數(shù)y=/(無(wú))是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)尤>0時(shí)/(x)=(x-1)(尤-3)+0.01.

可知尤=0是函數(shù)的零點(diǎn)，并且/(I)>0/(2)<0/(3)>0,所以函數(shù)在x>0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)是奇函數(shù)，可知x<

0時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).

故選：D.

16.【解答】解：當(dāng)Sn=f(an)時(shí)，取S〃=6ta=0,不存在w=g(an).

①推不出②,...①不是②的充分條件.

當(dāng)w=g(an)時(shí)，由于每個(gè)函數(shù)值W不同.

.'.71與?！睘椤鰧?duì)應(yīng)關(guān)系.

.,.叔可以寫(xiě)成y=g(x)的反函數(shù).

可以用”表示，即Cln—g1(“).

.".BSn=h(w)=/(?3)=/(g1(〃)).

...②=①，即①是②的必要條件.

故選：B.

三.解答題(本大題共有5題，滿(mǎn)分78分)，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟。

17.【解答】解：(I)因?yàn)閒(x)=(2cos2x-l)sin2x+^"cos4x

=1..1A

qsin4x+^cos4x

=-&7=rsi?n〃三

?T=2兀=兀

,,~TT,

函數(shù)的最大值為：返.

2_

(II)'.'f(x)=^^-sin(4x-+^~),f(a)-

TT

所以sin(40.=1-

4a+：=—+2k冗火ez.

兀k兀?，又a￡(￡■,冗)■

??a=

16

9

??a=-兀.

16

18.【解答】證明：（1）因?yàn)椤?E分別為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且AO=2DB,CE=2EA

所以理=坦，所以DE//AC.

ADCE

又OEC平面B4Q4CU平面PAC.

所以〃平面PAC.

(2)因?yàn)锳C=2加,8C=W§,AB=6,所以AC2+BC1=AB2.

所以ACL3C,可得號(hào)=^?雪?

ADbo

又因?yàn)锽O=2.

所以CD2=B￡)2+BC2-2BD，BC?cos/ABC

=22+(2V3)2-2X2X2次x冬=8可得CD=2&.

o

又因?yàn)锳D=4,所以所以CDLAB.

因?yàn)槠矫鍱48_L平面ABC,平面B42rl平面A3C=AB,C￡）u面ABC.

所以CO_L平面PAB.

因?yàn)镻Z）u面B42,所以CZ）_LPD

因?yàn)镻D±AC,ACHCD=C.

所以尸。J_平面ABC.

19.【解答】解：（1）根據(jù)題意，該工廠(chǎng)一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為w+300+180+420+400+600=w+1900.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個(gè)，其中B款產(chǎn)品有30個(gè).

則有10°=30

n+1900-600

解得”=100.

（2）設(shè)所抽取的樣本中有p個(gè)精品裝產(chǎn)品，則幽.

51000

解得p=3.

所以容量為5的樣本中，有3個(gè)精品裝產(chǎn)品,2個(gè)普通裝產(chǎn)品.

C1c1+c2

則至少有一個(gè)精品裝產(chǎn)品的概率為23"3=2=_g_.

「21010

（3）根據(jù)題意，在8款產(chǎn)品30個(gè)數(shù)據(jù)的樣本中，普通裝產(chǎn)品所占比例為2,精品裝產(chǎn)品所占比例為二.

1010

所以這30個(gè)樣本數(shù)據(jù)的均值為x=-^-X10-k^-X12=11-4.

所以這30個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為$2=卷X[2+(10-11.4)2]+^-X[1.8+(12-11.4)2]=27

利用樣本估計(jì)總體，估計(jì)這天生產(chǎn)的B款產(chǎn)品的某種指標(biāo)的總體方差為2.7.

20?【解答】解：(1)因?yàn)槭瑸闄E圓C的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)/交橢圓C于A(yíng),8兩點(diǎn),直線(xiàn)/垂直于x軸.

所以"=XA=X3=C

當(dāng)X=C時(shí).

?yA=-yB=^--

所以|皿|至=亨=&

aN

若直線(xiàn)/垂直于無(wú)軸.

則橢圓C的弦AB的長(zhǎng)度為3.

(2)若尸(-3,0).

當(dāng)/98=90°時(shí),因?yàn)橄褹8過(guò)右焦點(diǎn).

所以PA±FA.

即點(diǎn)A在以尸尸為直徑的圓上.

所以點(diǎn)A的軌跡方程為(龍+1)2+y2=4.

因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上.

(22

工上=1

所以,43，.

.(x+l)2+y2=4

解得x=0,y=±73.

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,正)或(0,-V3).

(3)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為％=(y+l,A(xi,yi),B(X2J2).

x=ty+1

聯(lián)立4，消去x并整理得(3?+4)y2+6ty-9=0.

3x2+4y=12

由韋達(dá)定理得-6t-9

，yy=

了產(chǎn)2二3一t2―+4l2-3t2―+4

所以k+k二丫1?丫2_丫1+丫2—2口產(chǎn)2-2小1+了2)—電

1222

x「3X2-3tyj-2ty2-2ty1y2-2t15t+16

當(dāng)t=0時(shí),%1+左2=0.

當(dāng)時(shí),，

twok]1+k2乙=-t-l---0l)bU(°NUNU

15t+—

當(dāng)且僅當(dāng)15/=西