2024-2025學(xué)年重慶市高二上期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題

2024-2025學(xué)年重慶市高二上期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、班級、學(xué)校在答題卡上填寫清楚。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。在試卷上作答無效。3．考試結(jié)束后，請將答題卡交回，試卷自行保存。滿分150分，考試用時120分鐘。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2、平面內(nèi)，動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡方程為（）A． B． C． D．3、以點為圓心，且過原點的圓的方程是（）A． B．C． D．4、已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦方程為（）A． B． C． D．5、直線過點，且與圓：相交所形成的長度為的弦的條數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．06、若點關(guān)于直線：的對稱點為，則（）A． B． C．3 D．57、已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過且斜率為3直線交于，兩點，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．8、點是橢圓上的點，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點，與軸相交于，兩點，若是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。9、以下四個命題中正確的是（）A．過點且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B．向量是直線的一個方向向量C．直線與直線之間的距離是D．直線的傾斜角的范圍是10、已知點是左、右焦點為，的橢圓：上的動點，則（）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和11、已知點、，動點滿足，點的軌跡為曲線，點是直線：上一點，過點作曲線的切線，切點為，直線與軸的交點為，則（）A．曲線的方程為 B．點到直線距離的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12、圓：在點處的切線方程為_________；13、已知橢圓：的一個頂點為，焦距為4，則的值為_________；14、已知為曲線上的動點，則的最大值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、（13分）已知直線：，：．（1）若，求的值．（2）設(shè)直線過的定點為，直線過的定點為，且當時直線與的交點為，求中邊上的高所在直線的方程．16、（15分）橢圓：的左、右焦點分別為、，為該橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）、為橢圓上的兩點，且為的重心，求直線的斜率。17、（15分）如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．18、（17分）已知點為線段的中點，，點為圓上動點。（1）求點的軌跡曲線的方程；（2）過點的直線與（1）中曲線交于不同的兩點，（異于坐標原點），（Ⅰ）求直線斜率的取值范圍；（Ⅱ）直線，的斜率分別為、，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由。19、（17分）法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，（為橢圓的長半軸長，為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓：，，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓的蒙日圓為圓。（1）求圓的方程；（2）已知點是橢圓上的任意一點，點為坐標原點，直線與圓相交于、兩點，求證：；（3）過點作互相垂直的直線、，其中交圓于、兩點，交橢圓于、兩點，求四邊形面積的取值范圍。高2026屆高二上月考數(shù)學(xué)答案一、單選題題號12345678答案CBDBCDAD1【詳解】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：C2【詳解】點到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標準方程為．故選：B3【詳解】解：由題意，圓心坐標為點，半徑為，則圓的方程為．故選：D．4【詳解】兩圓方程相減得公共弦方程為．5【詳解】由題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點在圓內(nèi)，且圓心到該點的距離，當直線與、的連線垂直時，弦長最短為，故長度為的弦的條數(shù)為1條．故選：C6【詳解】直線的斜率為，直線為線段的中垂線，從而，又線段的中點在上，故，解得，故選：D．7【詳解】依題意，直線的方程為即聯(lián)立解得，，從而的周長為，面積為又，所以，故選：A8【詳解】圓與軸相切于焦點，軸，可設(shè)，在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；作軸，垂足為，，，為直角三角形，，，，即，解得：，故選：D．二、多選題題號91011答案BDBCDACD9【詳解】A選項：當直線過原點時，方程為，當直線不過原點時，設(shè)方程為，則，解得，所以直線方程為，綜上，所求直線方程為或，故A錯誤；B選項：由方向向量的定義知正確；C選項：直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故C錯誤；D選項：直線的斜率，所以傾斜角的范圍是，故D正確；故選：BD．10【詳解】解：A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當或時為直角三角形，這樣的點有4個，設(shè)橢圓的上下頂點分別為，，計算知，所以當位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當最小即時取得最大值；故C正確；D選項：因為，又，當點位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確．故選：BCD11【詳解】A選項：設(shè)則：由得，化簡得：，故曲線的方程為，A選項正確；B選項：：的圓心到直線的距離為，所以直線與相離，從而圓上動點到直線距離的最小值為，從而B選項錯誤；C選項：中，，故C正確；D選項：，因為所以所以，當且僅當在線段與圓的交點時取得最小值，故D正確．故選：ACD三、填空題題號121314答案或12【詳解】，又過點，所以切線方程為13【詳解】將代入橢圓方程：，解得；故橢圓方程為．由焦距為4，得，．由題意知，且，方程可化為，若橢圓焦點在軸上，故，，則有，解得；若橢圓焦點在軸上，，，則有，解得；綜上所述，或．14【詳解】曲線即，由于在曲線上，令則（其中，，不妨設(shè)）又，當時取得最大值．四、解答題15【正確答案】（1）或，（2）．【詳解】（1）解得或當時，：，：滿足；當時，：，：即滿足；故或（2），當時聯(lián)立與的方程：解得，從而又直線過點故直線的方程為即16【正確答案】（1），（2）．【詳解】（1）由題：（2）設(shè)，，線段中點則為的重心從而所以即，均在橢圓上作差可得帶入點坐標得在橢圓內(nèi)部，所求直線存在故直線的斜率為17【正確答案】（1）證明見解析 （2）．【詳解】（1）如圖所示，連接．因為，分別是棱，的中點，所以，．因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因為平面，平面，所以平面．（2）因為平面，、平面，所以，，又因為，所以，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題中數(shù)據(jù)可得，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．同理可求得平面的一個法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．18【正確答案】（1）（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）（定值）【詳解】（1）設(shè)，，由中點坐標公式得．因為點的軌跡方程是，所以，整理得曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線和曲線的方程：消去得：（Ⅰ）因為直線與曲線交于異于坐標原點的兩點，，所以解得（Ⅱ）帶入韋達得：（定值）19【正確答案】（1）（2）見詳解；（3）【詳解】（1）橢圓：中，，所以