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文檔簡介
2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(提高篇)
【人教A版(2019)]
(考試時間:120分鐘試卷滿分:150分)
注意事項:
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填
寫在答題卡上;
2.回答第I卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦
干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效;
3.回答第n卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效;
4.測試范圍:選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊全冊;
5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
第I卷(選擇題)
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要
求的。
1.(5分)(23-24高二上.浙江寧波?期末)已知正四面體A8CD的棱長為2,E是BC的中點,F(xiàn)在4C上,且
AF=2FC,則荏?而=()
525
A--3B--3COD.-
2.(5分)(23-24高二上.福建龍巖.期末)已知。為坐標原點,P是直線久-y+3=0上一動點,。是
圓C:(%-2)2+(y-=1上一動點,貝"OP|+|PQ|的最小值為()
A.V17-1B.V17+1C.V29-1D.V29+1
3.(5分)(23-24高二上?山東青島?期末)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,原文如下:今有物不知其數(shù),
三三數(shù)之剩二(除以3余2),五五數(shù)之剩三(除以5余3),七七數(shù)之剩二(除以7余2),問物幾何?現(xiàn)有這樣一個
相關(guān)的問題:已知正整數(shù)p滿足三三數(shù)之剩二,將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列,
構(gòu)成數(shù)列記數(shù)列的前幾項和為立,則普上的最小值為()
A.—B.—C.10D.11
22
4.(5分)(23-24高二上?河南開封?期末)設(shè)a=ln(1.2e),b=e02,c=1.2,則a、b、c的大小關(guān)系為()
A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c
5.(5分)(23-24高二上.山東青島?期末)已知橢圓C:9+y2=1的左右焦點分別為直線y=x-日
與C交于4B兩點,則AFiAB的面積與AFzAB面積的比值為()
A.3B.2C.V3D.V2
6.(5分)⑵-24高二上?江蘇南京?期末)設(shè)/(久)是定義在R上的奇函數(shù),f⑵=0,當%>0時,有獷'(x)-
/(%)<0恒成立,則不等式步(x)>0的解集為()
A.(-2,0)U(0,+oo)B.(-2,0)U(0,2)
C.(-00,-2)U(2,+oo)D.(-00,-2)U(0,2)
7.(5分)(23-24高二上.貴州黔南.期末)已知點&,尸2分別為雙曲線C:9一《=1(b>0)的左、右
焦點,點尻到漸近線的距離為2,過點尸2的直線/與C的左、右兩支曲線分別交于48兩點,且
則下列說法正確的為()
A.△4&尸2的面積為8
B.雙曲線C的離心率為2
C.麗?荷=10+4V3
D.上+工=生
\AF2\\BF2\2
8.(5分)(23-24高二上.北京順義.期末)如圖,在正方體4BCD—中,E是棱CD上的動點,則
下列結(jié)論正確的是()
A.直線力E與B/1所成角的范圍是色小
B.直線與平面4。1口4所成角的最大值為g
C.二面角E—a/1一2的大小不確定
D.直線4E與平面不垂直
二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目的
要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9.(6分)(23-24高二上?江西九江?期末)已知正方體4BCD-&B1C1A的棱長為2,點E,F,G分別為棱
4£),48,816的中點,以下說法正確的是()
A.三棱錐A-EFG的體積為]
B.直線&C_L平面EFG
C.異面直線EG與4cl所成的角的余弦值為當
D.過點E,凡G作正方體的截面,所得截面的面積是2百
10.(6分)(23-24高二上?河北秦皇島?期末)已知函數(shù)/(久)=ex-ax(aER),則下列說法正確的是()
A.當a=2時,f(x)在(-8,ln2)上單調(diào)遞增
B.當。=e時,/(x)>0在R上恒成立
C.存在a<0,使得在(-8,0)上不存在零點
D.對任意的a>0,f(x)有唯一的極小值
11.(6分)(23-24高二上?江蘇南通?期末)已知4(0,4),B(-3,0),點P的軌跡方程為,久2++6%+9—
+丫2—6x+9=4,貝()
A.點P的軌跡為雙曲線的一支B.直線x+y=0上存在滿足題意的點P
C.滿足|P4|=1的點P共有2個D.APAB的周長的取值范圍是[14,+8)
第II卷(非選擇題)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.(5分)(23-24高二上.四川眉山?期末)己知公差不為零的等差數(shù)列{冊}滿足as=10,且a3,CI9成
等比數(shù)列.設(shè)%為數(shù)列的前n項和,則數(shù)歹!J{R}的前n項和弓為.
13.(5分)(23-24高二上嚀夏銀川?期末)若函數(shù)〃>)=£162工+9—2聲-刀有兩個零點,貝b的取值范
圍為.
14.(5分)(23-24高二上.北京西城.期末)如圖,在正方體ZBCD—Z/iCiDi中,48=2*為棱的中
點,F(xiàn)為棱CCi(含端點)上的一個動點.給出下列四個結(jié)論:
①存在符合條件的點F,使得8/〃平面&ED;
②不存在符合條件的點尸,使得BF1DE;
③異面直線與EG所成角的余弦值為?;
④三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是[|,2]
其中所有正確結(jié)論的序號是.
四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15.(13分)(23-24高二下?內(nèi)蒙古赤峰?期末)已知點4圓心C坐標為(1,0),且過
點4的直線/被圓C截得的弦長為次.
(1)求圓C的方程;
(2)求直線[的方程.
16.(15分)(23-24高二上?江西南昌?期末)已知平行四邊形ABC。如圖甲,乙D=60。,。。=24。=2,
沿AC將△力DC折起,使點D到達點尸位置,且PC1BC,連接尸8得三棱錐P—4BC如圖乙.
(1)證明;P41平面ABC;
(2)在線段PC上是否存在點使二面角"-AB-C的余弦值為答,若存在,求出黑的值;若不存在,
請說明理由.
17.(15分)(23-24高二上.河南漠河.期末)動點M在y軸的右側(cè),M到y(tǒng)軸的距離比它到點(1,0)的距離小1.
(1)求動點M的軌跡E的方程;
(2)已知點P(2,0),過(1,0)的直線與E交于4B兩點,4P,BP分別與E交于點C,D.
①求證:直線CD過定點;
②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.
18.(17分)(23-24高二上?浙江溫州?期末)設(shè)函數(shù)/(久)=(%-2)eax.
(1)若曲線y=/(x)在點(0/(0))處的切線方程為y—3x+b=0,求a,b的值;
(2)若當%>0時,恒有/(%)>-%-2,求實數(shù)〃的取值范圍;
⑶設(shè)neN*時,求證:號+島+…+二七<InS+1).
19.(17分)(23-24高二上?上海?期末)已知數(shù)列{cinXneN*),若{即+即+i}為等比數(shù)列,則稱{即}具有
性質(zhì)P.
(1)若數(shù)列{斷}具有性質(zhì)P,且a】=a2=l,a3=3,求(14的值;
(2)若%=+(-1嚴,求證:數(shù)列{%}具有性質(zhì)尸;
23
(3)設(shè)q++—cn—n+n,數(shù)列{%}具有性質(zhì)P,其中d】=1,d3-d2—c1,d2+d3=c2,若>10,
求正整數(shù)m的取值范圍.
2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(提高篇)
參考答案與試題解析
第I卷(選擇題)
一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合要
求的。
1.(5分)(23-24高二上.浙江寧波?期末)已知正四面體4BCD的棱長為2,E是BC的中點,F(xiàn)在4c上,且
AF=2FC,則荏-OF=()
525
A.--B.--C.0D.-
333
【解題思路】先將荏,罰分別用荏,而,而表示,再根據(jù)數(shù)量積得運算律即可得解.
【解答過程】由正四面體4BCD,得乙84c=LBAD=/.CAD=60°,
則南?左=2.AB-AD2,AD-AC2,
由E是BC的中點,得荏=[(荏+照),
由衣=2FC,得衣=|前,
則罰=AF-AD=|尼-AD,
所以標■DF=^(AB+AC>)-(|ZC-AD)
=-AC-AB-AD+^AC2-AD-AC^
1
=-X--2+--20.
2,33)=
2.(5分)(23-24高二上?福建龍巖?期末)已知。為坐標原點,尸是直線—y+3=0上一動點,。是
圓C:(久一2)2+(y-1)2=1上一動點,則|0P|+|PQ|的最小值為()
A.V17-1B.V17+1C.V29-1D.V29+1
【解題思路】首先畫出圖形,找出點。關(guān)于直線/的對稱點,結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.
設(shè)點T0n,n)與點。(0,0)關(guān)于直線—y+3=0對稱,
作。+3=0
則f『,解得小=-3,兀=3,即T(-3,3),
-=-1
m
所以|OP|+\PQ\=\TP\+\PQ\>\TQ\>\TC\-r,
其中C(2,l),r=1分別為圓C:(x-2產(chǎn)+(y-l)2=1的圓心和半徑,
等號成立當且僅當P,Q分別與R,S重合,其中R,S分別為線段TC與直線[和圓C的交點,
綜上所述,|OP|+|PQ|的最小值為(|OP|+IPQDmin=\TC\-r=7(-3-2)2+(3-l)2-1=V29-1.
故選:C.
3.(5分)(23-24高二上.山東青島.期末)“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,原文如下:今有物不知其數(shù),
三三數(shù)之剩二(除以3余2),五五數(shù)之剩三(除以5余3),七七數(shù)之剩二(除以7余2),問物幾何?現(xiàn)有這樣一個
相關(guān)的問題:已知正整數(shù)p滿足三三數(shù)之剩二,將符合條件的所有正整數(shù)p按照從小到大的順序排成一列,
構(gòu)成數(shù)列{&J,記數(shù)列{氏J的前幾項和為先,則過產(chǎn)的最小值為()
A.—B.—C.10D.11
22
【解題思路】由題意可分析出數(shù)列是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的前71項和公式化
簡山1之,結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性可知最小值.
n
【解答過程】解:被3除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為2,公差為3的等差
數(shù)列{aj
n(2+-1)
所以廝=2+3(n-1)=3n-l,Sn=^=
3n2+n,日”,r
所以包3=F+3X+7=.+Z+2,
nn22n
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得:
函數(shù)f(x)=|x+T+=在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增,又"為正整數(shù),
所以最小值為|x2+""常
n2222
故選:B.
4.(5分)(23-24高二上?河南開封?期末)設(shè)a=ln(1.2e),b=e0,2,c=1.2,則a、b、c的大小關(guān)系為()
A.a<c<bB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c
【解題思路】利用函數(shù)/(%)=%—In%—1在(1,+8)上的單調(diào)性可得出Q、c的大小關(guān)系,利用函數(shù)g(%)=
眇-1-%在(1,+8)上的單調(diào)性可得出從c的大小關(guān)系,由此可得出a、b、c的大小關(guān)系.
【解答過程】令/(%)=x-Inx-1,則廣(%)=1-1=?,
當?shù)?gt;1時,尸(%)>0,則/(%)單調(diào)遞增,所以/(1.2)=1.2-lnl.2—1>f(1)=0,
即1.2>lnl.2+1=ln(1.2e),則a<c;
令g(%)=e*T_%,則g,(%)=e%T-1,當%>1時,g'(x)>0,g(%)單調(diào)遞增,
所以g(1.2)=e0,2—1.2>g(l)=0,BPe0,2>1.2,即c<b.
綜上所述,a<c<b.
故選:A.
5.(5分)(23-24高二上?山東青島?期末)已知橢圓C:9+y2=i的左右焦點分別為見尸2,直線y=乂一當
與C交于4,8兩點,則的面積與A&aB面積的比值為()
A.3B.2C.V3D.V2
【解題思路】將所求面積比轉(zhuǎn)化為四42的比,再利用點線距離公式即可得解.
【解答過程】根據(jù)題意可得a=V3,Z?=l,c=V2,.-.^(-72,0),F2(V2,0),
又直線y=x-日可化為3%—3y-V2=0,
設(shè)后,&到直線為3%-37-e=0的距離分別為
川,;-阿;一瓦一下W
z3V2
故選:B.
6.(5分)(23-24高二上?江蘇南京?期末)設(shè)/(乃是定義在R上的奇函數(shù),/(2)=0,當%>0時,有久尸(x)—
/(%)<0恒成立,則不等式叮(x)>0的解集為()
A.(-2,0)U(0,+oo)B.(-2,0)U(0,2)
C.(-00,-2)U(2,+oo)D.(-00,-2)U(0,2)
【解題思路】設(shè)函數(shù)g(x)=竽,根據(jù)題意可知g(x)為偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不
等式即可.
【解答過程】設(shè)函數(shù)g(x)=竽可知g(x)的定義域為{x|x豐0},
求導(dǎo)得“(久)=xf'W,
因為當%>0時,有x尸(x)一/(%)<0恒成立,則“(%)<0,
所以g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,
且/(2)=0,可知g(2)=0,
當%>2時,(%)<g(2)=0;當0<%<2時,g(%)>g(2)=0;
又因為/(%)是定義在R上的奇函數(shù),
則9(一行="=岑=號=90),所以g(x)是偶函數(shù),
可得:當久<一2時,。(久)<0;當一2<%<0時,g(%)>0;
所以不等式9(%)>0解集為(-2,0)U(0,2);
注意到不等式燈O)>0等價于e>0,
所以不等式行0)>0解集為(—2,0)U(0,2).
故選:B.
22
7.(5分)(23-24高二上.貴州黔南.期末)已知點%F2分別為雙曲線C:菅一會=1(b>0)的左、右
焦點,點&到漸近線的距離為2,過點尸2的直線/與C的左、右兩支曲線分別交于A,B兩點,且
則下列說法正確的為()
A.△&6尸2的面積為8
B.雙曲線C的離心率為2
C.麗?荷=10+4舊
D上+工=四
■\AF2\\BF2\2
【解題思路】利用已知條件求出6的值,對于A:利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出△力的面積;對
于B:利用雙曲線的離心率公式運算求解;對于C:先求|4&|,|461,再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)
運算求解;對于D:根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求出出尸2|,代值計算即可.
【解答過程】設(shè)雙曲線C的半焦距為c>0,因為雙曲線C的焦點在x軸上,且a=2,
則其中一條漸近線方程為y=gx,即6久一2y=0,且F](-c,0),
則尻到漸近線的距離為儡=m=b=2,可得c=加+b2=2V2,
222
對于A:因為|加引一|4鼻1=4且+\AF2\=\F±F2\=(2c)=32,
可得(MF2I-M&l)2+2\AFT\-\AF2\=16+2|4Fi|?\AF2\=32,解得?MF2I=8,
所以△叫尸2的面積為施&|?|伍1=4,故A錯誤;
對于B:雙曲線C的離心率為e=£=^=&,故B錯誤;
a2
對于C:因為晦匚需=;,可得產(chǎn)1£一2,
(\AF\■\AF\=8+2
r2[\AF2\=2A/3
所以麗-BF\=F\A-F^B=F^A-(F}A+AB)=F^A2+F^A-AB=F\A2=16-8/,故C錯誤;
對于D:設(shè)田61=小,貝!l|BFi|=m+4,|4B|=2百+2-巾,
222
因為田鼻|2=+恒6『,gp(m+4)=(2V3+2-m)+(2V3-2),解得m=若包,
所以意+言=刀=+思亙=等'故口正確?
3
故選:D.
8.(5分)(23-24高二上?北京順義?期末)如圖,在正方體ABCD—44的。1中,£是棱CD上的動點,則
下列結(jié)論正確的是()
A.直線4E與劣劣所成角的范圍是弓弓)
B.直線£>把與平面&D1ZM所成角的最大值為g
C.二面角E—A4-4的大小不確定
D.直線4E與平面BBiE不垂直
【解題思路】建立適當?shù)目臻g直角坐標系,對于A,由直線方向向量夾角余弦的范圍即可判斷;對于B,由
線面角正弦值的公式即可判斷;對于C,由兩平面的法向量夾角余弦即可判斷;對于D,由族?前=1+
a(a-1)=口2-a+l=(a—+|>0即可判斷.
【解答過程】以。為原點,。4。。,。。1分別為居%2軸建立如圖所示的空間直角坐標系:
不妨設(shè)正方體棱長為1,E(O,a,0),0<a<1,
對于A,71(1,0,0),E(0,a,0),B^l,1,1),(0,0,1),AE=(-l,a,0),瓦瓦=(1,1,0),
不妨設(shè)直線4E與Bi5所成角為仇
\AE-DB^\_1-a
所以cos。=\cos{AE,=r
國|瓦司—A/2(a2+l)
當a增大時,l-a>0,,2(a2+l)>0分別減小,增大,所以cos。=彳4^關(guān)于a單調(diào)遞減,
V2(a2+1)
所以c°s”—e[。,用,所以oe圖,故A錯誤;
對于B,由題意庠=(0,a,-1),且顯然平面A/的法向量為元=(0,1,0),
不妨設(shè)直線/E與平面所成角為a,
則sina=|cos(n,£)iE)|怔,瓦同a白==/(a),(a中0)單調(diào)遞增,/(0)=0,
|科用Va2+1Jl+a
所以(sina)max=西餐=/,所以a=%故B錯誤;
對于CE(0,a,0)4(1。。81cL,1,1),4(L0,0),
所以;=(0,1,0),硬=(一1,%—1),取=(0,0,—1),
不妨設(shè)平面E//1與平面4/1/的法向量分別為4=底=(%2,y2,Z2),
所以有1I7-0和1,令%1=1=%2,解得yi=O,Z1=—1,丫2=Z2=0,
(一久]十ciy1-Z]一u\~~^2——u
即取平面E4/1與平面的法向量分別為元=(1,0,—1),荻=(1,0,0),
二面角E-A/i為銳角,不妨設(shè)為名,
則cos。=|cos(E砌=需繇=美=爭
所以二面角后一久%一4的大小為%=;,故C錯誤;
對于D,AE=(-l,a,0),BE=(-l,a-1,0),
2
所以4E,BE=1+a(a—1)=a?—a+1=(a—萬)+[>(),
所以力E與BE不垂直,所以直線4E與平面BBiE不垂直.
故選:D.
二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目的
要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9.(6分)(23-24高二上?江西九江?期末)已知正方體力BCD的棱長為2,點E,F,G分別為棱
4£),48,BiG的中點,以下說法正確的是()
3G
A.三棱錐A-EFG的體積為]
B.直線4C_L平面EFG
C.異面直線EG與AR所成的角的余弦值為苧
D.過點E,凡G作正方體的截面,所得截面的面積是28
【解題思路】A選項按照錐體體積計算即可;BC選項通過建立空間坐標系,利用空間向量判斷;
D選項先判斷出截面,再計算面積即可.
【解答過程】對于A,在正方體2BCD-4/前%中,易知BiCJ/BC,
所以G到底面力BCO的距離等價于反到底面4BCD的距離,即=2,
所以Kl-EFG=^G-AEF=弓"^AAEF'BB]=-X-XlXlX2=-,故A正確;
對于B,以D4為無軸,DC為y軸,DA為z軸,建立空間直角坐標系,
則C(0,2,0),4式2,0,2),£(1,0,0),F(2,l,0),G(l,2,2),4(2,0,0),
貝!]碇=(-2,2,-2),而=(1,1,0),EG=(0,2,2),
故碇?麗=0,中?方=0,則中是平面EFG的一個法向量,
則&C_L平面EFG,故B正確;
對于C,~EF=(1,1,0),AG=(-1,2,2),
則|c網(wǎng)甌祠|=睛=室=去故C錯誤;
對于D,作GA中點N,BB1的中點M,DD1的中點T,連接GN,GM,FM,TN,ET,
則正六邊形EFMGNT為對應(yīng)截面面積,正六邊形邊長為企,
則截面面積為S=6XfX(V2)2=3V3,故D錯誤.
故選:AB.
10.(6分)(23-24高二上?河北秦皇島?期末)已知函數(shù)/(久)=ex-ax(aER),則下列說法正確的是()
A.當a=2時,/'(%)在(-8,ln2)上單調(diào)遞增
B.當。=e時,/(x)>0在R上恒成立
C.存在a<0,使得在(-8,0)上不存在零點
D.對任意的a>0,f(x)有唯一的極小值
【解題思路】根據(jù)給定條件,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理逐項判斷即得.
【解答過程】對于A,當a=2時,/(%)=ex-2x,求導(dǎo)得尸(x)=e"-2,由f'(%)<0,
得x<ln2,則f(x)在(-8,ln2)上單調(diào)遞減,A錯誤;
對于B,當a=e時,f(x)=ex—ex,求導(dǎo)得廣(x)=e*—e,由尸(x)<0,得久<1,
由廣(久)>0,得x>l,則/(x)在(一8,1)上遞減,在(1,+8)上遞增,f(x)min=/(I)=0,B正確;
對于C,當a<0時,/(%)=ex—ax,/'(x)=e*—a>0,/(x)在R上為單調(diào)遞增,
又f(0)=l,〃*=£-1<0,則門>)在(-8,0)上一定存在零點,C錯誤;
對于D,當a>0時,/(%)=ex—ax,由尸(%)=ex—a>0,得%>Ina,/'(%)<0,得%<Ina,
則/(%)在(-8/na)上遞減,在(Ina,+8)上遞增,/(%)有唯一的極小值,D正確.
故選:BD.
11.(6分)(23-24高二上?江蘇南通?期末)已知4(0,4),8(-3,0),點P的軌跡方程為次存產(chǎn)不藐運一
+y2—6%+9=4,貝1()
A.點P的軌跡為雙曲線的一支B.直線X+y=0上存在滿足題意的點P
C.滿足|P4|=1的點P共有2個D.AP2B的周長的取值范圍是[14,+8)
【解題思路】由題意可得點P的軌跡方程為J(x+3)2+y2—收一3)2+產(chǎn)=4,設(shè)6(-3,0),F2(3,0),則
iPFil-\PF2\=4<IF/2I,再根據(jù)雙曲線的定義與性質(zhì)逐一判斷即可.
【解答過程】因為點P的軌跡方程為+y2+6x+9—J-2+y2一+9=4,
即+3)2+y2__3)2+y2=4,
設(shè)Fl(―3,0)/2(3,0),
則|PFil-|P&I=4<|F/2],
所以點P的軌跡是以&尸2為焦點,實軸長為4的雙曲線的右支,
所以2a=4,2c—6,故a—2,c—3,b2—5,
22
所以P的軌跡方程為=1(久22),故A正確;
45
聯(lián)立(45,解得%=2v5(%=—2西舍去),
I%+y=0
所以直線久+y=0上存在滿足題意的點P,故B正確;
雙曲線?!猼=1022)的漸近線方程為y=土半x,
452
則點2(0,4)到漸近線y=小的距離d=
所以滿足IP*=《的點P共有0個,故C錯誤;
因為8(-3,0)即左焦點尸2(-3,0),
而|4B|=V9+16=5,\AF2\=V9+16=5,
因為IPFil-IPF2I=4,所以[PF/=\PF2\+4,
所以AP4以的周長為|2B|+\AP\+\PB\=5+\AP\+\PFr\
=5+\AP\+|PF2|+4>9+\AF2\=9+5=14,
當且僅當4P,Fz三點共線時,等號成立,
所以APAB的周長的取值范圍是[14,+8),故D正確.
故選:ABD.
第II卷(非選擇題)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.(5分)(23-24高二上.四川眉山?期末)已知公差不為零的等差數(shù)列{%J滿足as=10,且的,。3,成
等比數(shù)列.設(shè)%為數(shù)列{an}的前n項和,則數(shù)列,}的前幾項和列為士.
【解題思路】設(shè)公差為d,由題意可得(由+2d尸=%(%+8d),&5=。1+4弓=10,解方程求出由,/由
等差數(shù)列的通項公式和前幾項和求出即,Sn,再由裂項相消法求出
【解答過程】設(shè)公差為d,由他2=aia9,得(%+2d尸=的31+8d),
化簡得ci?=ard,因為dW0,%=d,
又因為的=%+4d=10,所以的=d=2
所以an=%+(ri—l)d=2+2(n-1)=2Tl.
所以2=二一=」一=i--,
2
Snn+nn(n+l)nn+1
所以數(shù)歹W2}的前n項和%為:
n22334nn+1n+1n+l
故答案為:
n+1
13.(5分)(23-24高二上?寧夏銀川?期末)若函數(shù)/(%)=ae2x+(a-2)ex一%有兩個零點,貝b的取值范
圍為91).
【解題思路】求導(dǎo),先根據(jù)函數(shù)不能使單調(diào)函數(shù)排除a<0,再當a>0時,求出函數(shù)的極小值,令極小值小
于零即可求出a的取值范圍.
【解答過程】由/(%)=ae2x+(a-2)ex-%得
f'G)=2ae2x+(a-2)ex—1=(aex—l)(2ex+1),
當a40時,/;(%)<0,/(%)在R上單調(diào)遞減,不可能有兩個零點,舍去;
當a>。時,當尸(%)<0時,x<—Ina,當廣(工)>0時,x>—Ina,
即/(%)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減,在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增,
則f(―Ina)=ae-21na+(a-2)e-lna+Ina<0,
整理得Ina—工+1<0,
a
設(shè)g(a)=Ina——+1,則g'(a)=%++>。,
故g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增,又g(a)<0=g(l),
所以0<a<1,
又f(-1)=ae-2+(a-2)e-1+1=―俗?*=a+e*-2)>。,
ezez
所以/(%)在(—L—lna)上有一個零點,
取久°>InQ—1^,
2Xxxxx
則f(%o)=CLG°+(a—2)e°—x0=e°(ae°+a—2)—x0>e°+a—2)—工。
x
=e°—x0>0,
因為In(:—1)>ln1=—Ina,
所以/(%)在blna,ln(|-1))上有一個零點,
即0VaV1時,函數(shù)f(%)=ae2x+(a—2)ex—久有兩個零點.
下面補充證明:ex—%>0,
設(shè)g(%)=ex—%>0,則g'(%)=ex—1,
當久>0時"(%)>0,g(%)單調(diào)遞增,當%<0時“(%)V0,g(%)單調(diào)遞減,
所以9(%)min=g(o)=1>o,
所以e%—%>0.
故答案為:(0,1).
14.(5分)(23-24高二上?北京西城?期末)如圖,在正方體ZBCD—Z/iCiDi中,A8=2*為棱的中
點,產(chǎn)為棱CC1(含端點)上的一個動點.給出下列四個結(jié)論:
①存在符合條件的點F,使得8/〃平面4ED;
②不存在符合條件的點F,使得BF1DE;
③異面直線與EG所成角的余弦值為g;
④三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是[|,21.
其中所有正確結(jié)論的序號是①②④.
【解題思路】利用線面平行的判定定理可知當尸與C點重合時,能滿足當F〃平面&ED,即①正確;建立空
間坐標系,假設(shè)存在符合條件的點F(2,2")并利用垂直的向量表示可得t=4,不滿足題意,即②正確;利用
空間向量可求得異面直線&。與EQ所成角的余弦值為答,即③錯誤;易知44?!甑拿娣e為4&g=3,由
空間向量求出點尸到平面&DE的距離為de[|,2],即可得④正確.
【解答過程】對于①,易知B1C7/4。,^母仁平面4初),41。<=平面4止。,
所以可得BiC〃平面&ED,
又尸為棱CQ(含端點)上的一個動點,當F與C點重合時,能滿足&F〃平面&ED,即①正確;
對于②,以4為坐標原點建立如下圖所示的空間直角坐標系,
則B(2,0,0),0(0,2,0),E(2,0,1),假設(shè)存在符合條件的點F(2,2,t),te[0,2]滿足8尸1DE;
則易知麗=(0,2,t),DE=(2,-2,1),
由BF1DE可得麗?癥=-4+t=0,解得t=4,不滿足題意,舍去;
所以不存在符合條件的點F,使得即②正確;
對于③,易知4(0,0,2),G(2,2,2),可得卡=(0,2,—2),鬲=(0,2,1),
所以cos(硒,=察,
即異面直線4D與EC1所成角的余弦值為察,即③錯誤;
對于④,易知&D=2y[2,ArE=?DE=3,
由余弦定理可得cosNE你=煮氤=魯sin?]。=*
所以Aa/E的面積為S-mE=1X2>/2XV5X=3,
設(shè)平面&DE的一個法向量為元=(x,y,z),
由尻=(2,-2,1),項=(。2—2)可得[吧;2x-2y+z=。,
令y=2,則久=l,z=2,即記=(1,2,2);
又9=(2,0,t),所以點F到平面&DE的距離為d=寄=厘=等,
由te[0,2]可得d=告^e[|,2]
可得三棱錐F-&DE的體積U=況&DE-d=[x3xd=d,
因此可得三棱錐尸-&DE的體積的取值范圍是[|,2],即④正確.
故答案為:①②④.
四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。
15.(13分)(23-24高二下.內(nèi)蒙古赤峰?期末)己知點力&寺為圓C上的一點,圓心C坐標為(1,0),且過
點a的直線1被圓c截得的弦長為舊.
(D求圓c的方程;
(2)求直線[的方程.
【解題思路】(1)根據(jù)題意求出r=£川,從而可求出圓的方程;
(2)根據(jù)已知條件求出圓心C到直線[的距離,然后分直線2的斜率不存在和直線I的斜率存在兩種情況討論
求解即可.
【解答過程】(1)設(shè)圓C的半徑為r,則「=的-1)2+住-o'=1,
則圓C的方程為:(x-l)2+y2=l;
(2)因為圓C的半徑為1,
所以當直線/與圓相交所得的弦長為舊時,圓心C到直線1的距離為J12一('=5
當直線1的斜率不存在時,直線1:久=點此時圓心C到直線/的距離為%滿足題意
當直線Z的斜率存在時,設(shè)直線±y—k(x—|),即2kc—2y+B—k=0①.
12/c+O+V^—之|1V3
則―解得%=-
V(2fc)2+(-2)223
代入①得:%+V3y-2=0
綜上,直線2的方程為x=2或x+V^y-2=0.
16.(15分)(23-24高二上?江西南昌?期末)已知平行四邊形ABC。如圖甲,z£>=60°,DC=2AD=2,
沿AC將△4DC折起,使點。到達點尸位置,且PC1BC,連接P8得二棱錐P-4BC如圖乙.
(2)在線段PC上是否存在點M,使二面角M-AB-C的余弦值為譽,若存在,求出翳的值;若不存在,
請說明理由.
【解題思路】(1)推導(dǎo)出P414C,證明出BC_L平面P4B,可得出P41BC,利用線面垂直的判定定理可
證得結(jié)論成立;
(2)以點4為坐標原點,品、AC,通的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系,設(shè)由=XPC,
其中0V2VL利用空間向量法可得出關(guān)于4的等式,結(jié)合0W4W1求出4的值,即可得出結(jié)論.
【解答過程】(1)證明:翻折前,因為四邊形48CD為平行四邊形,ND=60。,則NB=60。,
因為DC=2AD=2,貝U4B=DC=2,BC=AD=1,
由余弦定理可得AC?=AB2+BC2_2AB,BCCOSLB=4+l-2x2xlx|=3,
所以,AC2+BC2=AB2,貝UBC14C,同理可證力DIAC,
翻折后,則有BC14C,PA].AC,
因為PC18C,ACCtPC=C,AC,PCu平面PAC,
所以,BC_L平面P4C,
因為PAu平面P4C,則PA1BC,
因為力CnBC=C,AC,BCu平面ABC,所以,P41平面ABC,
(2)因為24,平面ABC,BC1AC,以點4為坐標原點,
BC.AC.Q的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系,
則4(0,0,0)、尸(0,0,1)、C(0,V3,0)>5(-1,V3,0),
設(shè)兩=XPC=Z(0,A/3,-1)=(0,V32,-A),其中0W2W1,
則前=AP+PM=(0,0,1)+(0,V3A,-A)=(0,V3A,1-A),AB=(-l,V3,0),
設(shè)平面力BM的法向量為記=(x,y,z),
則(受屈二r+By=。,取廣"1,貝反=百九X=V3(1-A),
(m-AM^gy+(1-2)z=0
所以,in=(73(2-1),2-1,732),
易知平面4BC的一個法向量為元=(0,0,1),
則Icos保㈤|=禺=同黑』=膏,整理可得9於=("1產(chǎn)
因為0SAW1,解得4=工,
4
因此,線段PC上存在點M,使二面角M-48-C的余弦值為魯,且儲=:.
17.(15分)(23-24高二上?河南瀑河?期末)動點M在y軸的右側(cè),"到y(tǒng)軸的距離比它到點(1,0)的距離小1.
(1)求動點M的軌跡E的方程;
⑵已知點尸(2,0),過(1,0)的直線與E交于4B兩點,AP,BP分別與E交于點C,D.
①求證:直線CD過定點;
②求△248與4PCD面積之和的最小值.
【解題思路】(1)利用幾何意義轉(zhuǎn)化為坐標運算,即可得拋物線方程;
(2)①利用直線過x軸上的已知點,與拋物線聯(lián)立方程組的兩個交點縱坐標之積為定值,再假設(shè)直線CD方
程,再利用兩交點縱坐標之積為定值,得到定點坐標;
②求這兩個三角形的面積時,都只需要用到它們的縱坐標,然后都轉(zhuǎn)化到4B兩點的縱坐標上來,再利用韋
達定理把面積轉(zhuǎn)化到關(guān)于系數(shù)巾的函數(shù)上來求解最值即可.
【解答過程】(1)設(shè)動點M的坐標為(x,y),
由動點M在y軸的右側(cè),M到y(tǒng)軸的距離比它到點(1,0)的距離小1,
可得:X--I)2+y2-1,移項平方得:(X+1)2=(X-1)2+y2,
整理得:y2=4x,
所以動點M的軌跡E的方程為y2=4%;
①設(shè)過點F(l,0)的直線為my=x-1,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組,
消x得:y2-4my-4=0,再設(shè)交點坐標401,%),8(>2,'2),則為為=一4,
設(shè)過點P(2,0)的直線4P為ty=x-2,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組,
消x得:y2-4ty-8=0,再設(shè)交點坐標a(%i,yi),。(%3,%),則月乃=一8,
設(shè)過點P(2,0)的直線BP為sy=x-2,與拋物線y2=4x聯(lián)立方程組,
消x得:y2-4sy-8=0,再設(shè)交點坐標B(久2,%),。(/,媽),則,2"=-8,
設(shè)直線CD為ay=x-b,與拋物線y?=4萬聯(lián)立方程組,
消萬得:y2-4ay-46=0,由交點坐標C(>3,y3),D(X4,y4),則y3y4=-4b,
而y3y4="2"=出3=一16,即—46=-16,解得b=4,
所以直線CO為ay=第一4,即直線CO過定點(4,0);
尸28與4尸CD面積之和為:x1,|月一月1+[X2,|、3—yj=—丫21+2,白一
2
=|lyi-y2l(1+16-|^|)=|V16m+16(l+10,
當m=0時,即4B垂直于x軸時,面積之和取到最小值10.
18.(17分)(23-24高二上?浙江溫州?期末)設(shè)函數(shù)/O)=(久—2)eax.
(1)若曲線y=/O)在點(0/(0))處的切線方程為y-3久+b=0,求a,6的值;
(2)若當x>0時,恒有/0)>一萬一2,求實數(shù)。的取值范圍;
(3)設(shè)?N*時,求證:是+舟+…+高看<ln(7i+l)-
【解題思路】(1)求導(dǎo),根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解;
(2)構(gòu)建g(%)=/(%)+%+2,由題意可知:當%>0時,恒有g(shù)(%)>0,且g(0)=0,結(jié)合端點效應(yīng)分析
求解;
(3)由(2)可知:當a<l,x>0時,(%—2)eax+%+2>0,令a=1,t=可得^~7<Int,再令力=匕,
l+tzn
可得<ln(n+1)—Inn,利用累加法分析證明?
nz+(n4-l)z
【解答過程】(1)因為/(%)=(%—2)e”,則尸(%)=
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