2024-2025學年高二年級上冊期末復(fù)習：空間向量與立體幾何 八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（含答案）

2024高二上學期期末復(fù)習第一章八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

4空間向量的線性運算

1.（2023上?河南南陽?高二?？茧A段練習）求但+23-3弓+3義（|石一/+|丹一0-23+可為（）

A.2五H—b-2cB.2dH—b—2c

22

C.2d—b—2cD.2d—b—2c

22

2.（2023上?吉林?高二統(tǒng)考期末）空間四邊形A5CD,連接AC,BD.M,G分別是5C,的中點，則說+

工炭+3而等于（）

22

A.ADB.GAC.AGD.MG

3.(2023上?高二課時練習)化簡下列算式：

(l)3(2a—b—4c)—4(a—2b+3c)；

(2)01-[OB-(AB-AC)].

4.（2022.高二課時練習）如圖所示，在三棱柱ABC-中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖

中標出化簡得到的向量.

4

⑴方+西；

⑵前+方+2麗；

(3)—AA-^———AC—CB.

題型2卜空間向量數(shù)量積的計算。|

1.（2023下?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谀┤鐖D，在四面體力BCD中，Z.BAC=60°,/BAD=

^CAD=45°,AD=魚，ABAC=3.則就?麗=（）

A.—B.-C.-D.3V2

222

2.（2023下?河北石家莊?高一?？计谀┱拿骟w的棱長為2,MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2

個點之間的線段稱為球的弦），P為正四面體表面上的動點，當弦MN最長時，兩?前的最大值為（）

1413

A.-B.-C.-D.-

3344

3.（2023上?遼寧遼陽?高二校聯(lián)考期末）如圖，在底面為矩形的四棱錐及A3C。中,ZE，底面=48,

G為棱3E的中點.

E

F

G

D

/A

BL

(1)證明：4G1平面BCE

(2)若AB=4,AD=6,ED=3EF,求而?CF.

4.(2023上?內(nèi)蒙古?高二?？茧A段練習)《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉席.如

圖，在鱉liP-ABC中，PA_L平面PBC,BC_L平面P4B,D為PC的中點，~BE=2EA.

(1)設(shè)PA=a,PB=b,BC=c,用2,b,下表示DE；

⑵若|同|=\PB\=[BC\=1,求前■~DE.

用空間基底表示向量。|

1.(2023上?廣西貴港?高二統(tǒng)考期末)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于

底面的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐P—71BCD是陽馬，PAL^ABCD,且而=3前，若荏=2而=

b.AP=c,則麗=()

p

「3Tl3T1一

B.-a+-D——c

443

2T1T1T

D.-a——h+-c

444

2.（2023上?山東荷澤?高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體4BCD-4/16%中，P為4/與的交點,

若1M=a,DC=b,DD1=c,貝!JCP=（）

Cl-*711TTA17INI->

C.—CL—bH—cD.—a+b—c

2222

3.（2023上?全國?高二階段練習）如圖所示，在平行六面體力BCD-4BO中，AB=a,AD=b,AA;=c,

尸是C4的中點，M是C?的中點，N是的中點，用基底何方,現(xiàn)表示以下向量：

⑴》；

⑵病;

(3)AN.

4.（2023?高二課時練習）如圖，已知平行六面體ABCD-

（1）若G為△ABC的重心，ArM—3MG,設(shè)4B=五,4。=力1=冷用向量五，瓦［表示向量4M；

（2）若平行六面體ABC。-A/2/Gn各棱長相等且A3,平面8CGS,E為CD中點，ACiHBDi^O,求證:

OE_L平面ABC/。/.

題型41由空間向量基本定理求參數(shù)

1.（2023上?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱480—4/16中，M,N分別是和&G的中點,

z的值分別為（

11

D.1,/1

c.T一廠52

2.（2023下?甘肅蘭州?高二蘭州一中?？计谀┮阎匦?BCD,P為平面2BCD外一點，P41平面2BCD,

點M,N滿足麗=/麗，麗=|麗.若麗=%樂+?前+zQ,則x+y+z=（）

A.-1B.1C.—D.—

22

3.（2023上?海南?？?高二?？茧A段練習）如圖所示，平行六面體ABCD-a/iGA中，E,尸分別在8/和

上，BE=|FBV。尸=|。％

(1)求證：A,E,F四點共面；

(2)若麗=xAB+yAD+zAA[,求久+y+z的值.

4.（2023上?高二課時練習）如圖，已知正方體力BCD-A'B'C'D',E,F分別是上底面4'C'和側(cè)面CD'的中心,

求下列各式中x,y的值:

(l)XC7=x(AB+BC+CC7)；

(2)AE=弁+xAB+yAD；

(3)XF=AD+xAB+yA^.

空間向量運算的坐標表示

1.（2023上?廣東汕尾?高二統(tǒng)考期末）已知空間向量日=（2,-1,2）1=（1,一2,1），貝!12之一3=（）

A.(4,-2,4)B.(2,-1,2)C.(3,0,3)D.(1,-2,1)

2.(2023上?北京懷柔?高二統(tǒng)考期末)若點4(1,2,3),點B(4,-1,0),且左=2而，則點C的坐標為()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

C.D.(工工；)

\222/\2227

3.(2022.高二課時練習)分別求滿足下列條件的向量;e：

(1)2(-151)+44=(2,14,-2)；

(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x.

4.(2022.高二課時練習)如圖，在空間直角坐標系中有長方體ABC。AB=1,BC=2,AA'=

3.求:

(1)向量布，BD7,布的坐標；

(2)律+2麗布+而7-2后的坐標.

題型64空間向量數(shù)量積運算的坐標表示

1.(2023上?北京石景山?高二統(tǒng)考期末)若2=(2,3,2)石=(1,2,2),，=(―1,2,2),貝UQ—司-8的值為()

A.-1B.0C.1D.2

2.(2023上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知向量d=(1,1/),b=(一2,2,3),若(2/一B)不=1,貝h=()

A.-3B.3C.-1D.6

3.(2023?高二課時練習)已知向量出b,，滿足21+3=(0,—5,10),c=(1,-2,-2),且五?。=4,求3?己

._>TT

4.(2022上?新疆巴音郭楞?高二?？茧A段練習)已知向量a=(4,2,-4),b=(2,-1,1),c=(-1,5,1),求:

->T

(l)2a-3Z?；

(2)a?b；

T—T

(3)a?(bc).

題型7N利用空間向量證明線、面間的平行關(guān)系

1.（2023上?高二課時練習）如圖所示，在正方體力BCD-A/iCiDi中，棱長為a,M,N分別為4B和AC

上的點，&M=4N=亨，則與平面BBiGC的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.垂直D.在平面BBiGC內(nèi)

2.（2022上?江西?高二統(tǒng)考階段練習）如圖，在長方體4BCD-中，AB=BC=244「當中=

九41P時，有。止〃平面BDG，則實數(shù)4的值為（）

A.1B.2C.3D.-

2

3.（2023下?高二課時練習）如圖，己知P是正方形ABCD所在平面外一點，M,N分別是24,8。上一點，且

PM:MA=BN:ND=1:2,求證：MN||平面PBC.

4.（2023上?高二課時練習）在正方體ZBCD-6￡?i中，若。i為41c1中點，。2為AC中點.

求證：

（1汨。1〃4。2；

（2）8。"/平面4。。1；

（3）平面4C%〃平面B&Q

利用空間向量證明線、面間的垂直關(guān)系

1.（2023?內(nèi)蒙古包頭?一模）如圖，在正方體力BCD—4/1GD1中，E,凡M分別為所在棱的中點，P為下底

面的中心，則下列結(jié)論中正確的是（）

①平面EFG1平面441G

②MP1A±D

③MP1C±D

④EF〃平面AD/i

A.①②B.①②④C.②③④D.①④

2.（2022上?上海嘉定?高二?？计谥校┰谡襟wABCD-AiBiGA中，Q為441上一動點，則下列各選項正

確的是（）

A.存在點Q使得BQ與平面BiCD垂直B.存在點Q使得DQ與平面/CD垂直

C.存在點Q使得BiQ與平面/CD垂直D.存在點Q使得DiQ與平面BiCD垂直

3.（2023上?天津?高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面力BCD是正方形，PA1底面ZBCD,

⑴求證：AE1PD-,

（2）求證：平面PBD_L平面P4C.

4.(2023上?高二課時練習)如圖所示，己知平行六面體ABC。-A/iGA的底面為正方形，。】,。分別為

上、下底面的中心，且&在底面力BCD上的射影是0.

(1)求證：平面O]DC1平面4BCD；

(2)若點分另!]在棱44i，BC上，S.AE=2EAr,問點F在何處時，EFLAD?

2024年高二上學期期末復(fù)習第一章八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）

【人教A版（2019）］

空間向量的線性運算。|

1.（2023上?河南南陽?高二?？茧A段練習）求但+23-3弓+3義（|石一/+|丹一0-23+可為（）

A.2五H—b-2cB.2dH—b—2c

22

C.2d—b—2cD.2d—b—2c

22

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)乘運算以及加減運算的性質(zhì)，求解即可得出答案.

【解答過程】原式=2+3x|a-a+23—3x13+23—3m+3x|o—不=2a+|h-2c.

故選：B.

2.（2023上?吉林?高二統(tǒng)考期末）空間四邊形4BCQ,連接AC,BD.M,G分別是8C,。的中點，則荏+

工阮+工麗等于（）

22

A.ADB.GAC.AGD.MG

【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合思想和空間向量加法法則化簡即可.

【解答過程】VM,G分別是BC,CD的中點，.?彳前=前，^BD=~MG.

-->1---?1--->--->---->---->---->----?---?

AXS+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.

22

故選：C.

3.（2023上?高二課時練習）化簡下列算式：

（l）3（2a—b-4c）—4（a—2b+3c）；

⑵旅一畫一（國一硝］.

【解題思路】（1）根據(jù)向量數(shù)乘運算即可求得答案；

（2）根據(jù)向量的線性運算，即可求得答案.

【解答過程】(1)3(2a-b-4c)-4(a-2b+3c)=6a-36h12c-4d+8b-12c

=2d+Sb—24c.

(2)OA-[OB-(AB-Xt)]=OA-OB+AB-AC

=OA-~OB+AB-AC

^BA+AB+CA^CA.

4.(2022?高二課時練習)如圖所示，在三棱柱4BC-21B1C1中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖

中標出化簡得到的向量.

4___________Bl

(1)CB+BX；

⑵J?+而+稱村；

⑶［近-|取-AC-CB.

【解題思路】(1)(2)(3)利用空間向量的加減法的運算法則和幾何意義化簡.

【解答過程】(1)解：無+兩=兩.

4___________

B

(2)解：因為M是BBi的中點，所以說=［兩，又標=兩,

所以尼+CB+=AB+JM=AM.

(3)解：-AC-CB

=|(AAi+西)-(AC+CB)=AA1-AB=西

40i

題型2一空間向量數(shù)量積的計算。|

1.(2023下?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谀?如圖，在四面體力BCD中，Z.BAC=60°,Z.BAD=

ZCXD=45°,AD=近,AB=AC3.則就?麗=()

ABc

-T-i-1D-3迎

【解題思路】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.

【解答過程】BC-BD（AC-AB）■（AD-AB）

^AC-AD-AB-AD-AC-AB+AB2

=\AC\\AD\cos^CAD-\AB\\AD\cos^BAD-\AC\\AB\COSABAC+|AB|2

l立r-V21

=3xv2x——3xv2x——3x3x—4-9

_9

-2,

故選：c.

2.（2023下?河北石家莊?高一?？计谀┱拿骟w的棱長為2,MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2

個點之間的線段稱為球的弦），P為正四面體表面上的動點，當弦MN最長時，西?前的最大值為（）

1413

A.-B.-C.-D.-

3344

【解題思路】設(shè)正四面體48CD的內(nèi)切球球心為0,G為ABCD的中心，E為CD的中點，連接4G,BE,貝4。在

4G上，連接BO,根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當MN為內(nèi)切球的直徑時，MN最長，化簡西?麗=

（PO+OM）-（PO+而）可求得其最大值.

【解答過程】設(shè)正四面體力BCD的內(nèi)切球球心為0,G為△BCD的中心，E為CD的中點，連接4G,BE,貝。。在

4G上，連接B。，貝必。=。8

因為正四面體的棱長為2,所以BG=|BE=|x曰、2=等，

所以4G=W1B2-8G2=手,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,則

（AG—r）2=r2+BG2,（竽一7）=/+（竽），解得丁=彳，

2

當MN為內(nèi)切球的直徑時，MN最長，此時血+而=6,而港而=一（彳）=

PM-PN（P0+OM）-（P0+ON）

=PO2+PO-（OM+ON）+OM-ON

=PO2-

6

因為p為正四面體表面上的動點，所以當P為正四體的頂點時，I而I最長，I而I的最大值為蜉-彳=苧，

2

所以尸M.尸N的最大值為（f）~6=3f

故選：B.

A

3.(2023上?遼寧遼陽?高二校聯(lián)考期末)如圖,在底面為矩形的四棱錐E-ABCD中,AE，底面ABCD,AE=AB,

G為棱BE的中點.

(1)證明：4G_L平面BCE

⑵若4B=4,AD=6,ED=3而，求而?CF.

【解題思路】(1)根據(jù)已知，利用線面垂直的判定定理可得BC1平面ABE,從而得到BC14G,利用等腰

三角形的中線性質(zhì)得到4G1BE,然后利用線面垂直的判定定理證明4G1平面BCE；

(2)以A為坐標原點，樂的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.求出前，擊的坐標，

利用空間向量數(shù)量積的坐標表示即得解.

【解答過程】(1)證明：因為力E1底面43CD,所以4E1BC,

又力B1BC,ABCiAE=A,4B,4Eu平面ABE,所以BC1平面ABE,

則BC1AG.

因為G為棱BE的中點，AE^AB,所以4G1BE,

又BCCBE=B,BC,BEBCE.

所以4G，平面BCE.

(2)以A為坐標原點，說的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

依題意可得4(0,0,0),C(4,6,0),G(2,0,2),F(0,2,0.

因為而=(2,0,2),CF=

所以4G,CF=2X(-4)+0X(-4)+2X—=——

4.(2023上?內(nèi)蒙古?高二?？茧A段練習)《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉如

圖，在鱉席P-ABC中，P4_L平面P8C,BC_L平面PAB,。為PC的中點，前=2筋.

(1)設(shè)q=2,PB=b,BC=c,用23，不表示方夙

⑵若|可|=\PB\=|SC|=1,求前■DE.

【解題思路】(1)連接BD,PE,利用空間向量的線性運算，準確化簡、運算，即可求解;

(2)根據(jù)題意，利用空間向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算公式，準確計算，即可求解.

【解答過程】⑴解：如圖所示，連接BD,PE,可得屁=朋-麗=瓦？+荏-麗-麗，

因為。為PC的中點，則麗=2瓦^

所以荏/荏=!而4或，前E前+：阮=-|而+］阮,

所以反=屈一麗=可+荏一方-麗=E?+(|PB-PB-(-|P5+|BC)

=-PA--PB--BC=-2af——1b7*——IcT.

362362

(2)解：因為左=Q+而+炭=-同+而+南,

所以前-DE=(-PA+~PB+BCy(|P1--PB

=一|市/而2/阮2+|同.麗+3刀.阮_|而,而,

因為P41平面P8C,BC_L平面PAB,且PB,8Cu平面PBC,PBu平面P4B,

所以PA1PB,PA1BC,PB1BC,

又因為|港|=\PB\=\BC\=1,

所以-|郎-萬2-迪2+|亞麗+浮瓦-|麗瓦=

所以左.尻=一/

題型3用空間基底表示向量

1.（2023上?廣西貴港?高二統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于

底面的四棱錐稱為陽馬.已知四棱錐P—4BCD是陽馬，PAABCD,且質(zhì)=3正，若荏=之而=

b,AP=c,則歷=（）

「3-?3宕1-

B.-a+-D——c

443

2T1T1-?

D.-a——b+-c

444

【解題思路】結(jié)合已知條件，根據(jù)空間向量的線性運算法則求解即可.

【解答過程】因為而=3前，所以而=三而=三（前-而）=三元-三?.

44',44

因為前=荏+而=旨+點所以或=三2+三石一三江

444

因為荏=族+而=三五+三3+3*

444

所以反=版一同=三益一23+工,.

444

故選：D.

2.（2023上?山東荷澤?高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體4BCD-&B1GD1中，P為力。I與的交點,

若。A=a,DC=b,DD］=c,則CP=()

AA.一1a-+?byH—ic-BD.-IaT—bt——Ifc

2222

Cc.-1a-—brH.—icCD.——1a+,br——IcT

2222

【解題思路】根據(jù)空間向量的加法，減法，數(shù)乘向量運算的定義求解即可.

［解答過程】方=而+而=-DC+|西=-DC+|(病+西)^^DA-DC+［西=|a-b+|c.

故選：C.

3.(2023上?全國?高二階段練習)如圖所示，在平行六面體2BCD-4BO中，AB=a,AD=b,AA7=c,

尸是C4的中點，M是的中點，N是CD的中點，用基底位,3,碼表示以下向量：

⑴衲

(2)AM；

⑶麗.

【解題思路】(1)(2)(3)連接AC,AD',AC,根據(jù)在平行六面體中各向量對應(yīng)線段與屈，AD,Z不對應(yīng)

線段位置關(guān)系，用荏，AD,%不表示出各向量即可.

【解答過程】(1)連接AC,AD',AC,

布="樂+而)=|(AB+AD+A47)=1a+|h+|c；

(2)ZM=|(ZC+AD7)=1(XB+2Xfl+A47)=ia+K+|c；

(3)AN=^AC+AD')=j[(AB+AD+44)+(AD+AA')]

=[須+2AD+2而)=^d+b+c.

4.(2023?高二課時練習)如圖，已知平行六面體48CA-A/B/GD/.

（1）若G為△ABC的重心，ArM=3MG,設(shè)48=五,4。==冷用向量五,b,0表示向量&M；

（2）若平行六面體ABCD-各棱長相等且A3,平面8CGS，E為CD中點，ACQBDi，求證:

OE_L平面ABCW

【解題思路】（1）利用向量加法的三角形法則及重心的性質(zhì)，將正用基底表示，再在三角形A/AG中，將

用基底表示；

（2）連接C/E,AE,由已知證明△C/EA為等腰三角形，從而OELAG，同理可證明。最后由線

面垂直的判定定理證明結(jié)論.

【解答過程】（1）依題意，不而=：砧=［（羽+庶），

：G為△A3C的重心，

：.AG=1x^（AB+AC）=-（AB+AC）,

又：尼=荏+而，

：.A^M=|［中+1（XB+AB+AD）］

=3羽+9荏+5而

（2）連接C/E,AE,

,/平行六面體ABCD-AiBiCiDi各棱長相等且平面BCCiBi.

：.CiE=AE,

.?.△GEA為等腰三角形，

為AG的中點，

：.OELACi.

同理可證OE_LBDL

VACIQBDI^O,

―平面ABC/。/.

題型4、由空間向量基本定理求參數(shù)

1.（2023上?貴州貴陽?高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱4BC-&B1C1中，M,N分別是BB】和&Q的中點,

y,z的值分別為（）

CT，/-巳D.1,/1

2

【解題思路】根據(jù)題意用空間基底向量表示向量，結(jié)合空間向量的線性運算求解.

【解答過程】由題意可得：MN=MB[++C^N^|Z47+（AC-AB）-|XC--AB++^AA1,

故x=-l,y=-,z=

故選：A.

2.（2023下?甘肅蘭州?高二蘭州一中?？计谀┮阎匦?BCD,P為平面4BCD外一點，P21平面力BCD,

點M,N滿足麗=微而，PN=|PD.若麗=xZF+y前+zQ,則x+y+z=（）

11

A.-1B.1C.--D.-

22

【解題思路】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】BC

因為兩=工而，=-~PD,

23

所以而=麗—兩=|RD-|pc=|(AD-AP)-I(^4C-AP)

=I(40-AP)-I(AB+^40-AP)=-jAB+AD-iAP,

因為而=%荏+y前+Z?,所以x=-1,y=:，Z=-*,

所以x+y+z=-1.

故選：C.

3.(2023上?海南?？?高二?？茧A段練習)如圖所示，平行六面體4BCD-4/iGDi中，E,F分別在8/和

心。上，BE=：BB「DF=jODi.

(1)求證：A,E,G，F(xiàn)四點共面；

(2)若加=xAB+yAD+zAA1,求X+y+z的值.

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量基本定理即可證明；

(2)把｛荏，而，可｝作為一組基底，結(jié)合向量的線性運算即可求解.

【解答過程】(1)證明：?宿=屈+而+磯=屈+而+(再+|初

=AB+|Z4^+AD+|祐=(南+硝+(而+而)=族+殖

E,C1；F四點共面.

(2)-：EF^AF-~AE^~AD+^F-(AB+B￡)

=40+-ZB-BB]=-AB+AD+-AA,

31313r1

.*.%=—1,y=1,z=I，

..%4-y+z=-.

4.(2023上?高二課時練習)如圖，已知正方體48CD—E,F分別是上底面4C，和側(cè)面C?的中心,

求下列各式中居y的值：

⑴布=x(AB+BC+CC7)；

⑵族=44'+xAB+yAD；

(3)4F=/ID++yAA'.

【解題思路】(1)(2)(3)根據(jù)空間向量線性運算法則，利用基底表示出所求向量，由此可得結(jié)果.

【解答過程】(1)布=四+而+而=屈+阮+赤，故x=1；

(2)荏=[(疝+布)=|4Xr+|(Z4r+AB+XP)=A^+jXB+lAD,故尤=y=}

⑶都=|AD+|Zr=|AD+1(A47+AB+AD)=+^AB+AD,故x=y=[.

A'D'

4空間向量運算的坐標表示

1.(2023上?廣東汕尾?高二統(tǒng)考期末)已知空間向量2=(2,-1,2),3=(1,-2,1)，貝眨之一3=()

A.(4,-2,4)B.(2,-1,2)C.(3,0,3)D.(1,-2,1)

【解題思路】利用空間向量坐標的線性運算法則得到答案.

【解答過程】2左一石=(4,-2,4)-(1,-2,1)=(3,0,3).

故選：C.

2.(2023上?北京懷柔?高二統(tǒng)考期末)若點4(1,2,3),點灰4,一1,0),且旅=2方，則點C的坐標為()

A.(3,0,1)B.(2,1,2)

C.D.(-，-，^)

\2227\2227

【解題思路】設(shè)C(x,y,z),根據(jù)前=2方列方程組即可求解.

【解答過程】設(shè)y,z),貝！Ji4c=(%—1,y—2,z—3)fCB=(4—x,—1—y,—z),

(%-1=2(4-%)(x=3

因為尼=2而，所以｛y-2=2(—1-y),解得y=0.

(z-3=2(—z)(z=1

故點C的坐標為(3,0,1).

故選:A.

3.(2022.高二課時練習)分別求滿足下列條件的向量認

(1)2(-1,5,1)+?=(2,14,-2)；

(2)(3,7,1)+2x=(6,10,4)-x.

【解題思路】(1)利用向量的坐標運算即可求解.

(2)利用向量的坐標運算即可求解.

【解答過程】(1)因為2(—1,5,1)+4￡=(2,14,—2),所以4元=(4,4,一4),

所以￡=(1,1,一1).

(2)因為(3,7,1)+21=(6,10,4)一三,所以3￡=(3,3,3),

所以￡=(1,1,1).

4.(2022?高二課時練習)如圖，在空間直角坐標系中有長方體2BCD-4nO,AB=1,BC=2,AA'=

3.求：

(1)向量布，~BD>,訪的坐標；

(2)XC7+25D7,布+麗7―2彷的坐標.

【解題思路】(1)先寫出點的坐標，進而可得向量的坐標；

(2)利用向量的坐標運算加法和減法即可.

【解答過程】(1)由已知2(0,0,0),C'(l,2,3),B(l,0,0),?(0,2,3),

貝U布=(1,2,3),RD7=(-1,2,3),AD7=(0,2,3)

(2)AC7+2昉=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),

AC'+JD'-2AD'=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0).

空間向量數(shù)量積運算的坐標表示。|

1.(2023上?北京石景山?高二統(tǒng)考期末)若N=(2,3,2)工=(1,2,2),/=(-1,2,2),貝一司?而勺值為()

A.-1B.0C.1D.2

【解題思路】直接利用數(shù)量積的坐標運算即可求得.

【解答過程】因為2=(2,3,2)1=(1,2,2),3=(—1,2,2),

所以—b),c=(1,1,0),(—1,2,2)=—1+2+0=1.

故選：C.

2.(2023上?廣東深圳?高二統(tǒng)考期末)已知向量,=(1,1,x),b=(-2,2,3),若(22一均不=1,則久=()

A.-3B.3C.-1D.6

【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標運算可得22-3=(4,0,2%-3),結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標表示計算即

可求解.

【解答過程】由題意知，21-3=(4,0,2久一3)

由(2a—b),b=1,得4x(—2)+0x2+(2.x-3)x3=1,

解得x=3.

故選：B.

3.(2023?高二課時練習)已知向量出b,蹣足2五+3=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),且還1=4,求3?A

【解題思路】將B=(0,-5,10)-2江代入石■c,再利用空間向量數(shù)量積的坐標運算計算即可.

【解答過程】由已知

b-c=((0,-5,10)-2a)?c=(0,-5,10)-(1,-2,-2)-2a-c=10-20-2X4=-18.

._>T_>

4.(2022上?新疆巴音郭楞?高二?？茧A段練習)已知向量a=(4,2,-4),b=(2,—1,1),c=(-1,5,1),求:

T—

(l)2a-3b；

(2)a?b；

TTT

(3)a-(b+c).

【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的坐標的線性運算即可求解,

（2）（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算即可求解,

->—

【解答過程】(1)由a=(4,2,-4),b=(2,-1,1),

M2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,-1,1)=(2,7,-11)；

——

(2)Q,b=(12,-4)-(2,-1,1)=8—2—4=2；

(3)a-(h+c)=a-Z?+a-c=2—4+10-4=4.

題型，利用空間向量證明線、面間的平行關(guān)系

1.（2023上?高二課時練習）如圖所示，在正方體4BCD—2/164中，棱長為a,M,N分別為和AC

上的點，力i"=4N=?，則MN與平面BBiGC的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.垂直D.MN在平面BBiGC內(nèi)

【解題思路】以點Q為坐標原點，分別以C/ICDLGC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

寫出各點坐標，求出平面BBiGC的一個法向量，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得線面平行.

【解答過程】以點G為坐標原點，分別以GBi，GDi，GC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間

直角坐標系，

因為&M=4N=凈，則M（a冷，力N得晉,a）,而=（一或0冷）,

又因為GA，平面B/C1C,則由）=（0,a,0）為平面B/GC的一個法向量,

可得麗?Z^=-]xO+Oxa+￡xO=O,可知而1QD；,

且MNC平面881clC,所以MN與平面8B1QC的位置關(guān)系是平行.

故選：B.

2.（2022上?江西?高二統(tǒng)考階段練習）如圖，在長方體4BCD-中，AB=BC=24&,當中=

4中時，有。止〃平面BDG，則實數(shù)2的值為（）

A.1B.2C.3D.-

2

【解題思路】根據(jù)題意可知，以a點為坐標原點，43,4）,44所在直線分別為%軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系，利用共線定理和線面平行的向量解法可確定實數(shù)％的值.

【解答過程】如下圖所示:

X

以4點為坐標原點，4B,40,441所在直線分別為無軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系；設(shè)441=1,

則41(0,0,1),B(2,0,0)((2,2,0),6(2,2,1),。(0,2,0),2(0,2,1),設(shè)P(x,y,z)

即砧=(2,2,—1),不=(x,y,z—l),

由碇=2中得碇=(2,2,-1)==(Ax,Ay,Az-A)

即％==[,z=1-j所以P（1,”一：）

AA.AA.A.A

則印=（怒—2,一手

設(shè)平面BDG的一個法向量為沅=（%i，為,Zi）,

BC[=（0,2,1）,FD=（-2,2,0）,所以[J5=2%+4=°

令％=1,則＞=l,z1=-2；所以沅=（1,1,-2）

由。1P〃平面BDQ可知，沅?于=0,即J-2=0.

A

所以4=3.

故選：C.

3.（2023下?高二課時練習）如圖，已知P是正方形ABCD所在平面外一點，M,N分別是PA,BD上一點，且

PM:MA=BN:ND=1:2,求證：MN||平面PBC.

【解題思路】根據(jù)向量的線性運算及向量共線定理，利用線面平行的判定定理即可求解.

【解答過程】由題意知而=而+麗+麗=一：西+而+1麗=-1（Bl-BP）+PB+|（R4+BC）

33

在BC上取點E,使屁=［就，于是麗=：（而一前）=|兩，

所以MN||PE.

因為PEu平面PBC,MNC平面PBC,

所以MN||平面PBC.

4.（2023上?高二課時練習）在正方體A8CD中，若。1為A1C1中點，02為"中點.

求證:

⑴BO1〃必。2；

（2）BOi〃平面AC%；

（3）平面力C%〃平面

【解題思路】（1）以D為坐標原點，市，比，西的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標系，求出國），瓦石的坐標，利用西7/。1。2,即可證明；

（2）求出平面ACP的法向量元，及直線的方向向量而■從而得到元1兩，即可證明；

（3）可以利用4G〃平面4C5,及BO"/平面AC%,利用面面平行的判定定理證明，也可以求出兩個平面

的法向量，利用法向量平行來證明面面平行.

【解答過程】（1）以。為坐標原點，瓦I瓦，西的方向分別為無軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標系，設(shè)正方體的棱長為1.

依題意知：B(1,1,O),￡>i(0,0,1),02(|,|,0),

.函=(一"1),瓦瓦“3-I),

BO^=-￡)]。2，

西〃。1。2,即BOJ/DQ.

(2)設(shè)平面ACD/的法向量為元=Q,y,z),

：4(100),C(0,l,0),%=(0,0,1),

：.AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1),

由已包=0可得，尸+y：3即昨

(n-ADr=0I-%+z=0Iz—

令％=1,則y=l,z=1,.\n=(1,1,1),

__.--------?

又B。1=(一初―5,1),

**?云,BO】=——x1+(——)xl+lxl=0,**?H_LB0],

又B。"平面"人???8。1〃平面ZCOi.

(3)證法一??Fi(1,0,1),Ci(0,1,1),

=(-1,1,0),又前=(-110),

=AC,'?AC//ArC1,

又ZCu平面/皿，ZQC平面/皿，

???/iCi〃平面ZCOi，

又由(2)知BO"/平面ZCDi，而4GC8。］=?！?/p>

且&Ciu平面841的，BO】u平面BZiCi，

???平面AC。1〃平面84的.

證法二設(shè)平面BAiQ的法向量為五=(%,y,z),

u-AC=0—%+y=0.(y=x

則rr即

--%—-y+z=0*Iz=X

u?BO1=022)

令久=1,得y=l,z=1,*.u=(1,1,1),

由(2)知平面ACS的一個法向量記=(1,1,1),

?一?~-?//—>

..n=u,..n//u,

J平面平面