2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末沖刺復(fù)習(xí)：解析式確定的八種方法（原卷版）

專題02解析式確定的八種方法

目錄

解題知識(shí)必備.....................................................................1

壓軸題型講練....................................................................3

類型一、根據(jù)平移確定解析式......................................................3

類型二、根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定解析式.................................................4

類型三、設(shè)頂點(diǎn)式確定解析式......................................................4

類型四、設(shè)交點(diǎn)式確定解析式......................................................5

類型五、根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換確定解析式.................................................5

類型六、根據(jù)對(duì)稱變換確定解析式.................................................6

類型七、根據(jù)圖像信息確定解析式.................................................7

類型八、根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定解析式.................................................9

壓軸能力測(cè)評(píng)...................................................................10

“解題知識(shí)必備X

1.二次函數(shù)的平移

(1)平移步驟：

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-4+%，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(〃,左)；

②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到他，。處，具體平移方法如下：

向上/>0)【或向下(左<0)】平移同個(gè)單位

jy=ax^+k

(2)平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上7?值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字"左加右減,

上加下減".

2-解析式的形式

(1)頂點(diǎn)式

y=ax2,

y=ax2+c,

y=a(%一%),

y=a+k.

(2)一般式y(tǒng)=ax2+bX+c

(3)交點(diǎn)式

y=a(x-xl)(x-x2)z其中xl和x2是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

3.對(duì)稱

(1)關(guān)于X軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得至U的解析式是y=-ax2-bx-c；

y=Q(x-/z)2+&關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=-o(x-/i)2-%;

(2)關(guān)于y軸對(duì)稱

y=以2+汝+。關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=以2一法+。；

y+%關(guān)于〉軸對(duì)稱后，得至IJ的解析式是y=。(％+/?)2+上；

(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；

22

y=a(x-h)+k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是J=-4Z(X+/l)-k；

(4)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

>=狽2+云+0關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c---；

2a

y=a(x-獷+Z關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是)，=-°(X-/1)，人.

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此同永遠(yuǎn)不變.求拋物

線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物

線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后

再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

4.旋轉(zhuǎn)

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變

2

y=a(x-h)+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)

??壓軸題型講練??

類型一、根據(jù)平移確定解析式

例.將拋物線》=1-2苫+3先沿水平方向向左平移1個(gè)單位，再沿豎直方向向下平移3個(gè)單位，則得到的

新拋物線的解析式為()

A.y=(x-2)2+3B.y=(x-2)2+5C.y=x2+4D.y=x2-1

【變式訓(xùn)練1】.將拋物線y=(%+l『向下平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，所得到的拋物線

的函數(shù)解析式為()

A.y=X?—2B.y—+2C.y=(%+2)—2D.y=(x+2)+2

【變式訓(xùn)練2】.將二次函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得拋物線的解析式是>=-(尤+2y+l,原函數(shù)

的解析式是()

A.y=-(%+3)2+1B.y=-(x+iy+l

C.y=-(x+2)+2D.y-—(x+2)~

【變式訓(xùn)練3】.將拋物線y=3Y先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度，所得拋物線的解析

式是()

A.y=3(x+l)2+2B.y=3(x-l)2+2

C.y=3(x-2)2+lD.J=3(X-2)2-1

類型二、根據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定解析式

(1)頂點(diǎn)式

頂點(diǎn)在原點(diǎn)y=ax2,

頂點(diǎn)在y軸上y=ax2+c,

頂點(diǎn)在x軸上y=a(x-,

頂點(diǎn)在象限內(nèi)y=a(x-+k.

(2)知道三個(gè)一般的點(diǎn)：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c

(3)知道圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：交點(diǎn)式

y=a(x-xl)(x-x2),其中xl和x2是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

例.拋物線'=依2+法+,經(jīng)過(一1,一22),(0,-8),(2,8)三點(diǎn)，求拋物線的解析式.

【變式訓(xùn)練(1)已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-U),且經(jīng)過點(diǎn)(1,-3),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,2)、(1,0)和(-2,3),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練2].拋物線>=加+法+2經(jīng)過4(-1,0),C(3,0),交>軸于點(diǎn)A求拋物線的解析式.

【變式訓(xùn)練3】.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4),且經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),若點(diǎn)2(。,-2)在該函數(shù)圖象上,

求。的值.

類型三、設(shè)頂點(diǎn)式確定解析式

頂點(diǎn)在原點(diǎn)y=ax2,

頂點(diǎn)在y軸上y=ax2+c,

頂點(diǎn)在x軸上y=a1-力),

頂點(diǎn)在象限內(nèi)y=a(x-〃)+k.

例.已知拋物線丁=加+法+c(awO)過A(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為3(0,3),求a、b、c的值.

【變式訓(xùn)練11設(shè)拋物線過點(diǎn)(0,6),且頂點(diǎn)為求拋物線的解析式.

【變式訓(xùn)練2】.已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為Af(2,-3),且經(jīng)過點(diǎn)N(0,l).求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

【變式訓(xùn)練3工已知拋物線的頂點(diǎn)是。,-3),與y軸交于點(diǎn)(0,-1),求該拋物線的解析式.

類型四、設(shè)交點(diǎn)式確定解析式

知道圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：交點(diǎn)式

y=a(x-xl)(x-x2),其中xl和x2是圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

例.已知二次函數(shù)圖象與X軸交于點(diǎn)(2,0),(-1,0),與y軸交點(diǎn)是(0,-2),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【變式訓(xùn)練1工已知拋物線y=/+Zzx+c與X軸交于A(l,0)、8(3,0),且過點(diǎn)C(0,-3),求拋物線的解析

式.

【變式訓(xùn)練2】.已知拋物線丫=-犬+版+。過點(diǎn)A。,。)，用―3,0),求拋物線的解析式.

【變式訓(xùn)練3】.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+6x+c(axO)與無軸交于4(-2,0),8(6,0),與〉軸

交于點(diǎn)C(0,3),求此拋物線的解析式.

類型五、根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換確定解析式

變換前變換方式變換后口訣

繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號(hào)，h、k均不變

2

y=a(x-h)+k繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y二-a(x+h)2-ka、h、k均變號(hào)

例.在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線y=3f繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，再向右平移1個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單

位長度，所得的拋物線的表達(dá)式為（）

A.y=3（x-l）2-2B.y=3（x+l）2-2

C.y=-3（x-l）2-2D.y=-3（x+l）2-2

【變式訓(xùn)練1】.將拋物線）=犬-2%+1繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后的表達(dá)式是（）

A.y——+2x+1B.y=—%?+2%—1

C.y——x^-2x+1D.y=—x2,—2x—1

【變式訓(xùn)練2】.拋物線y=-3尤2+x+l經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱后，不可能得到的拋物線是（）

11

A.y=——x2+xB.y=-x2-x-1

22

1

C.y-—~x9+2021%-2022D.y--x9+x+l

【變式訓(xùn)練3】.將拋物線y=3尤2+1繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（）

A.y=-3爐+1B.y——3x2—1C.y=§x2+1D.y=-x2^—1

類型六、根據(jù)對(duì)稱變換確定解析式

（1）關(guān)于％軸對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于"由對(duì)稱后，得至I」的解析式是y=-ax2-bx-c；

y=a（x-/z『+左關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=-“（x-/?y-左;

（2）關(guān)于y軸對(duì)稱

y=ad+法+0關(guān)于丫軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=ax2-bx+c；

y=a(x-h)2+k關(guān)于_y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；

(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；

y=a(x-h)2+k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-a[x+h^-k；

(4)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

A2

y=ax+bx+c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx+c----；

la

y=a(x-/z)2+z關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=_a(x-/7『+左.

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此永遠(yuǎn)不變.求拋物

線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物

線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后

再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

例.把函數(shù)y=3/+6x+5的圖象關(guān)于直線y=2對(duì)稱后為函數(shù)()的圖象

A.y=-3廠+6x+5B.y=_3x-~Gx—1

C.y——3x~+6x—5D.y=—3x~—6x—5

【變式訓(xùn)練1工已知二次函數(shù)>=彳2+尿+。的圖象過點(diǎn)A(1,0)且關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則這個(gè)二次函數(shù)

的解析式為.

【變式訓(xùn)練2】.已知二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=-l對(duì)稱，且AB=6,頂點(diǎn)在函數(shù)

y=2x的圖象上，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為.

【變式訓(xùn)練3】.已知二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象過點(diǎn)A(c,0),且關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則這個(gè)二次函數(shù)

的解析式可能是(只要寫出一個(gè)可能的解析式).

類型七、根據(jù)圖像信息確定解析式

例.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-4).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)—5<x<。時(shí)，y的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練1】.如圖，已知二次函數(shù)y=#+1+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(1,0卜5(-2,3).

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)結(jié)合圖象，解答問題：當(dāng)y>3時(shí)，x的取值范圍是.

【變式訓(xùn)練2】.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【變式訓(xùn)練3].如圖，直線丫=日+3分別交x軸，V軸于A3兩點(diǎn)，經(jīng)過A3兩點(diǎn)的拋物線>=-/+汝+。

與x軸的正半軸相交于點(diǎn)C(LO).

⑴求拋物線的解析式；

(2)結(jié)合圖象，直接寫出不等式_/+版+°>"+3的解集.

類型八、根據(jù)數(shù)量關(guān)系確定解析式

例.畫二次函數(shù)y=+6尤的圖像時(shí)，在“列表”的步驟中，小明列出如下表格（不完整）.請(qǐng)補(bǔ)全表格，并

求該二次函數(shù)的解析式.

X-10245

y-5-4--5

【變式訓(xùn)練1】.在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的解析式為>=依2+法+0.

⑴完成表格，并直接寫出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);

【變式訓(xùn)練2】.觀察如圖的表格:

X012

ax21

ax2+bx+c33

（1）求。、b、c的值.并在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；

（2）T^y=ax2+bx+c,求這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練3].二次函數(shù)y=?x2+M+c的自變量x與函數(shù)值>的部分對(duì)應(yīng)值如下所示,相應(yīng)圖象如圖所示,

結(jié)合表格和圖象回答下列問題：

X-3-103

y=ax2+bx+c-7m8m

（1）拋物線y=改2+笈+。的對(duì)稱軸是直線龍=

（2）求二次函數(shù)y=Q%2+"+c的解析式；

（3）當(dāng)方程依2+法+。=左有解時(shí)，求左的取值范圍.

X壓軸能力測(cè)評(píng)??

1.下在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=21的圖像平移后經(jīng)過點(diǎn)（0,-2）和點(diǎn)（2,0）,則所得拋物線對(duì)應(yīng)

的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=2x~—3x—2B.y=2廠+3x—2C.y=2（x-2）+2D.y=2（x+2）—2

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)的二次函數(shù)圖象先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度后，所得的拋物線經(jīng)過

點(diǎn)（0,