初中數(shù)學自主招生難度講義-9年級專題18圓的對稱性

專題18 圓的對稱性閱讀與思考圓是一個對稱圖形．首先，圓是一個軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓的對稱軸有無數(shù)條；同時，圓又是一個中心對稱圖形，圓心就是對稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性．由圓的對稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧之間的關系定理及推論．這些性質(zhì)在計算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面有廣泛的應有．一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用．熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論．我國戰(zhàn)國時期科學家墨翟在《墨經(jīng)》中寫道：“圓，一中間長也．”古代的美索不達米亞人最先開始制造圓輪．日、月、果實、圓木、車輪，人類認識圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了深深的烙?。}與求解【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB，AC的長分別為和，則∠BAC度數(shù)為_______．（黑龍江省中考試題）解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關系．由于對稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時，若把對稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問題的解決．【例2】如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧，，．如果+=，那么AB+CD與EF的大小關系是（ ）AABCDEFA．AB+CD=EF B．AB+CD>EF C．AB+CD<EF D．AB+CD與EF的大小關系不能確定（江蘇省競賽試題）解題思路：將弧與弦的關系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考．【例3】⑴如圖1，已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，⊙O過A，D，E三點，求⊙O的半徑．⑵如圖2，若多邊形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC組成，AB=AC=BD=2，⊙O過A，D，E三點，問⊙O的半徑是否改變？（《時代學習報》數(shù)學文化節(jié)試題）AAABCODEDECBO圖1圖2解題思路：對于⑴，給出不同解法；對于⑵，⊙的半徑不改變，解法類似⑴．等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個完美的圖形能合成一個從形式到結(jié)果依然完美的圖形．三個完美圖形的不同組合可生成新的問題，同學們可參照刻意練習．【例4】如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為的中點，DE⊥AB于E．求證：BD2-AD2=ABAC．（天津市競賽試題）解題思路：從化簡待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明．AABCDE圓是最簡單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關知識和方法．同樣，圓也為解決直線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等或不等關系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關問題的重要技巧．【例5】在△ABC中，M是AB上一點，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是線段AC上的一個動點，⊙O是過P，M，C三點的圓，過P作PD∥AB交⊙O于點D．⑴求證：M是AB的中點；⑵求PD的長．（江蘇省競賽試題）解題思路：對于⑴，運用配方法求出AM，BM，CM的長，由線段長確定直線位置關系；對于⑵，促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化．AAPCDBMO【例6】已知AD是⊙O的直徑，AB，AC是弦，且AB=AC．AABCO圖1DDAOEGFCBBACDOEPF圖2圖3⑴如圖1，求證：直徑AD平分∠BAC；⑵如圖2，若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，F(xiàn)是的中點，G是的中點，⊙O的半徑為1，求弦FG的長；⑶如圖3，在⑵中若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點E，P為劣弧上一動點，連結(jié)PA，PB，PD，PF，求證：的定值．（武漢市調(diào)考試題）解題思路：對于⑶，先證明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，這是解題的基礎，由此可導出下列解題突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，構(gòu)建直角三角形；②構(gòu)造PA+PF，PB+PD相關線段；③取的中點M，連結(jié)PM，聯(lián)想常規(guī)命題；等等．本例實質(zhì)是借用了下列問題：⑴如圖1，PA+PB=PH；⑵如圖2，PA+PB=PH；⑶進一步，如圖3，若∠APB=α，PH平分∠APB，則PA+PB=2PHcos為定值．圖1A圖1A600300300PHBPABH600圖2PABH圖3能力訓練A級1．圓的半徑為5cm，其內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和8cm，則梯形的面積為_______cm2．2．如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長是40cm，高CD是5cm，原輪片的直徑是________cm．APAPBC（第4題圖）如圖，已知CD為半圓的直徑，AB⊥CD于B．設∠AOB=α，則tan=_________．（黑龍江省中考試題）4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=，BC=1，若BC=1，若以C為圓心，CB的長為半徑的圓交AB于P，則AP=___________.（江蘇省宿遷市中考試題）5．如圖，AB是半圓O的直徑，點P從點O出發(fā)，沿OA——BO的路徑運動一周.設OP長為s，運動時間為t，則下列圖形能大致地刻畫s與t之間的關系是（）tstsOAtsOBtsOCtsOD（太原市中考試題）6．如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，AB=10cm，CD=6cm，那么AC的長為（ ）A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm（第8題圖）（第7題圖）A（第8題圖）（第7題圖）ABOCDAECDFBABCDFEP（第6題圖）7．如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B兩點到直線CD的距離之和為（ ）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm8．如圖，半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點P，連結(jié)OP．若OP=1，求AB2+CD2的值．（黑龍江省競賽試題）9．如圖，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點B作BN⊥AM于N，其延長線交⊙O于點C，弦CD交AM于點E．⑴如果CD⊥AB，求證：EN=NM；⑵如果弦CD交AB于點F，且CD=AB，求證：CE2=EF?ED；⑶如果弦CD，AB的延長線交于點F，且CD=AB，那么⑵的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（重慶市中考試題）AABCDOEFM（第9題圖）10．如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABMC中，AB>AC，M是的中點，MH⊥AB于點H．求證：BH=（AB-AC）．（河南省競賽試題）AAHBMC（第10題圖）11．⑴如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G．求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的．⑵如圖2，若∠DOE保持角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．12．如圖，正方形ABCD的頂點A，D和正方形JKLM的頂點K，L在一個以5為半徑的⊙O上，點J，M在線段BC上．若正方形ABCD的邊長為6，求正方形JKLM的邊長．（上海市競賽試題）AADCBNOJMKL（第12題圖）B級1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，過A，B兩點作CD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．若AB=10，AE=3，BF=5，則EC=__________．OOAECDFBABCDEA′ABCDPO（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）2．如圖，把正三角形ABC的外接圓對折，使點A落在的中點A′上，若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長為________．（寧波市中考試題）3．如圖，已知⊙O的半徑為R，C，D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，的度數(shù)為960，的度數(shù)為360．動點P在AB上，則CP+PD的最小值為__________．（陜西省競賽試題）4．如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（ ）A． B． C． D．5．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓圓周上一點，M是的中點，MN⊥AB于N，則有（ ）A．MN=AC B．MN=AC C．MN=AC D．MN=AC（武漢市選拔賽試題）CADCADOBEGFNACBDOP（第7題圖）（第6題圖）6．已知，AB為⊙O的直徑，D為的中點，DE⊥AB于點E，且DE=3．求AC的長度．7．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的⊙O；對角線AC是直徑，對角線AC和BD的交點為P，AB=BD，且PC=0.6，求四邊形ABCD的周長．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8．如圖，已知點A，B，C，D順次在⊙O上，，BM⊥AC于M．求證：AM=DC+CM．（江蘇省競賽試題）AABCDOM（第8題圖）9．如圖，在直角坐體系中，點B，C在x軸的負半軸上，點A在y軸的負半軸上，以AC為直徑的圓與AB的延長線交于點D，，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程的兩個根．⑴求點D的坐標；⑵若點P在直徑AC上，且AP=AC，判斷點(－2，10)是否在過D，P兩點的直線上，并說明理由．（河南省中考試題）AAxyODCBP（第9題圖）10．⑴如圖1，已知PA，PB為⊙O的弦，C是劣弧的中點，直線CD⊥PA于點E，求證：AE=PE+PB．⑵如圖2，已知PA，PB為⊙O的弦，C是優(yōu)弧的中點，直線CD⊥PA于點E，問：AE，PE與PB之間存在怎樣的等量關系？寫出并證明你的結(jié)論．AA圖1CPBDEOA圖2CPBDEO11．如圖，已知弦CD垂直于⊙O的直徑AB于L，弦AE平分半徑OC于H．求證：弦DE平分弦BC于M．(全俄奧林匹克競賽試題)AACOLEBDMH（第11題圖）12．如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，且AD=DC+CB，過D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．AACMNODB（第12題圖）

專題18圓的對稱性例115°或75°提示：分AB、AC在圓心O同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論．例2B例3(1)解法一：如圖，將正方形BDEC上的等邊△ABC向下平移，使其底邊與DE重合，得等邊△ODE．∵A、B、C的對應點是O、D、E，∴OD＝AB，OE＝AC，AO＝BD．∵等邊△ABC和正方形BDEC的邊長都是2，∴AB＝BD＝AC＝2，∴OD＝OA＝OE＝2．∵A、D、E三點確定一圓，O到A、D、E三點的距離相等．∴O點為圓心，OA為半徑，∴該圓的半徑為2．解法二：如圖，將△ABC平移到△ODE位置，并作AF⊥BC，垂足為F，延長交DE于H．∵△ABC為等邊三角形，∴AF垂直平分BC，∵四邊形BDEC為正方形，∴AH垂直平分正方形邊DE．又∵DE是圓的弦，∴AH必過圓心，記圓心為O點，并設⊙O的半徑為r．在Rt△ABF中，∵∠BAF＝30°，∴AF＝AB·cos30°＝2×＝，∴OH＝AF＋FH－OA＝＋2－r．在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴()2＋12＝r2，解得r＝2．(2)⊙O的半徑不變，因為AB＝AC＝BD＝2，此題求法和(1)一樣，⊙O的半徑為2．例4提示：BD2－AD2＝(BE2＋ED2)－(AE2＋ED2)＝(BE＋AE)(BE－AE)＝AB(BE－AE)，只需要證明AC＝BE－AE即可．在BA上截取BF＝AC．連DF可證明△DBF≌△DCA，則DF＝AD，AE＝EF．例5(1)由條件，得(AM－1)2＋(BM－1)2＋(CM－1)2＝0，∴AM＝BM＝CM＝1．因此，M是AB中點，且∠ACB＝90°．(2)由(1)知，∠A＝∠PCM，又PD∥AB，∴∠A＝∠CPD，∠PCM＝∠CPD，因此，，于是有DP＝CM＝1．例6(1)連結(jié)BD、CD，∵AD是直徑，所以∠ABD＝∠ACD＝90°，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．(2)連結(jié)OB、OC，則OA⊥BC，又AE＝OE，得AB＝BO＝OA＝OC，△AOB，△AOC都為等邊三角形，連結(jié)OG，則∠GOF＝90°，F(xiàn)G＝．(3)取的中點M，過M作MS⊥PA于S，MT⊥PF于T，連AM，F(xiàn)M．∠BPM＝∠DPM＝30°，∠APM＝∠FPM＝60°，則MS＝MT，MA＝MF，Rt△ASM≌Rt△FTM，Rt△PMS≌Rt△PMF．∴PS＝PM．∴PA＋PF＝2PS＝2PT＝PM．同理可證：PB＋PD＝．∴為定值．A級1．49或72.853．14． 5．C6．D7．D8．過O點作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OD，OA，則AE＝BE，CF＝DF，∵OE2＝AO2－AE2＝(4)，OF2＝OD2－FD2＝4CD2，∴OE2＋OF2＝(4)＋(4)＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4＋4＝1，故AB2＋CD2＝28．得x1＝－3(舍去)，x2＝EQ\F(7,5)，∴正方形JKLM的邊長為EQ\F(14,5).B級1.2EQ\r(,6)－3提示:作OM⊥CD于M，則EC＝EQ\F(1,2)(EF－CD).2.EQ\F(10,3)3.EQ\r(,3)R提示:設D'是D點關于直徑AB對稱的點，連結(jié)CD'交AB于P，則P點使CP＋PD最小，∠COD'＝120°，CP＋PD＝CP＋PD'＝CD'＝EQ\r(,3)R.4.D提示：如圖：，得EQ\B\lc\{(\a\al(a2＋12＝r2,(2－a)2＋(EQ\F(1,2))2＝r2))，解得a＝EQ\F(13,16)，r＝EQ\F(5EQ\r(,17),16)5.A提示:連結(jié)OM，則OM⊥AC.6.解法一:連結(jié)OD交AC于點F，∵D為EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),AC)的中點，∴AC⊥OD，AF＝CF.又DE⊥AB，∴∠DEO＝∠AFO.∴△ODE≌△OAF.∴AF＝DE.∵DE＝3∴AC＝6.解法二:延長DE交⊙O于點G，易證EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),AC)＝2EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),AD)＝EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),AD)＋EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),AG)＝EQ\o\ac(EQ\s\up8(⌒),DG)，則DG＝AC＝2DE＝6.7.連結(jié)BO并延長交AD于H，因AB＝BD，故BH⊥AD，又∠ADC＝90°，則BH∥CD，從而△OPB∽△CPD，得EQ\F(CD,BO)＝EQ\F(CP,PO)，即EQ\F(CD,1.5)＝EQ\F(0.6,1.5－0.6)，解得CD＝1.于是AD＝EQ\r(,AC2－CD2)＝2EQ\r(,2)，又OH＝EQ\F(1,2)CD＝EQ\F(1,2)，則AB＝EQ\r(,AH2＋BH2)＝EQ\r(,2＋4)＝EQ\r(,6)，BC＝EQ