2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何（含解析）文

單元檢測(cè)（八）立體幾何

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.設(shè)a,0是兩個(gè)不同的平面，則的充要條件是（）

A.平面a內(nèi)任意一條直線與平面6垂直

B.平面a,8都垂直于同一條直線

C.平面a,8都垂直于同一平面

D.平面a內(nèi)存在一條直線與平面8垂直

2.經(jīng)過(guò)一個(gè)圓柱體上底面圓的一條直徑作兩個(gè)平面分別與下底面圓相切，則圓柱體在

這兩個(gè)平面以下的部分就構(gòu)成一個(gè)正劈錐體（如圖），現(xiàn)將此幾何體水平放置，從如圖所示的

方向觀察該幾何體（正視方向所在的直線平行于所作兩個(gè)平面的交線），則其正視圖、側(cè)視圖、

俯視圖的形狀分別為（）

A.梯形、長(zhǎng)方形、圓

B.三角形、長(zhǎng)方形、圓

C.梯形、梯形、圓

D.三角形、梯形、圓

3.[2021?內(nèi)蒙古高三二模]設(shè)1、m、n表示不同的直線，a、6、丫表示不同的平面，

給出下列四個(gè)命題：

①若m〃l,且mj_a,則lj_a；

②若aJ_0,m〃a,n±8,則m±n；

③若l〃a,且m〃a,貝l〃m；

④若m±n,m_La,n〃B,則aJ_B.

則正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

4.[2022?河北唐山模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為

（）

1

俯視圖

A.2mB.3C.A/TOD.2事

5.［2022?四川瀘州檢測(cè)］在正方體ABCD—ARCR中，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.AC與Bf是相交直線且垂直

B.AC與AJ是異面直線且垂直

C.BD|與BC是相交直線且垂直

D.AC與B［是異面直線且垂直

6.［2022?湖北名師聯(lián)考］如圖，正方體ABCD—AFfp中，點(diǎn)E,F分別是AB,AR的

中點(diǎn)，0為正方形ABCD的中心，則（）

1111

A.直線EF,A0是異面直線

B.直線EF,BB1是相交直線

C.直線EF與BQ所成的角為30°

D.直線EF,BB所成角的余弦值為中

1J

7.［2022?云南昆明模擬］如圖①，已知PABC是直角梯形，AB〃PC,AB±BC,D在線段

PC±,AD,PC.如圖②，將APAD沿AD折起，使平面PAD,平面ABCD,連接PB,PC,設(shè)PB

的中點(diǎn)為N.對(duì)于圖②，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

2

A.平面PAB_L平面PBC

B.BC_L平面PDC

C.PD±AC

D.PB=2AN

8.[2022?懷仁市一模]在矩形ABCD中，BC=4,M為BC的中點(diǎn)，將4ABM和4DCM分

別沿AM,DM翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合于點(diǎn)P,若/APD=150°,則三棱錐M—PAD的外接球

的表面積為（）

A.12JtB.34JtC.68JiD.126n

9.[2021?陜西二模]劉徽《九章算術(shù)注》記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其

一為陽(yáng)馬，一為鱉席，陽(yáng)馬居二，鱉瑞居一，不易之率也”.意思是：把一長(zhǎng)方體沿對(duì)角面

一分為二，這相同的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對(duì)的棱剖開成兩塊,大的叫陽(yáng)馬，

小的叫鱉腌，兩者體積之比為定值2：1,這一結(jié)論今稱劉徽原理.如圖是一個(gè)陽(yáng)馬的三視

圖，則其外接球的體積為（）

A.4兀B.3兀

C.^3JiD.喙n

10.[2022?洛陽(yáng)市高三年級(jí)統(tǒng)一考試]已知直三棱柱ABC—ARQ中，ZABC=120°,

AB=2,BC=CC=1,則異面直線AB|與BQ所成的角的正弦值為（）

A-f-f

C-雪》.平

11.[2022?江門市模擬]如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2,ZABC=90°,DA=DC

=木,現(xiàn)沿對(duì)角線AC折起，使得平面DAC,平面ABC,此時(shí)點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球面上，

3

則該球的體積是（）

,9?872

A.一兀B.-31—兀

23

27

C.—JiD.12兀

12.[2022?廣東深圳調(diào)研]在三棱錐P—ABC中，平面PBC，平面ABC,ZACB=90°,

BC=PC=2.若AC=PB,則三棱錐P—ABC體積的最大值為（）

16m32\/3

口27°。27

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

13.[2022?四川綿陽(yáng)檢測(cè)]如圖，正八面體的棱長(zhǎng)為2,則該正八面體的體積為

AB

14.如圖，四棱臺(tái)ABCD—ABCD的底面是正方形，DD，底面ABCD,DD=AB=2AB,

11111111

則直線A4與BC所成角的余弦值為.

15.[2022?黑龍江齊齊哈爾市模擬]三棱錐P—ABC中，PA,底面ABC,PA=3,在底面

ABC中，AB=2,ZC=60°,則三棱錐P—ABC的外接球的體積等于.

16.[2021?陜西高三二模]將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)

論：①AB,CD所成的角為60。；②4ADC為等邊三角形；③ACLBD；④AB與平面BCD所成

角60。.其中真命題是.（請(qǐng)將你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上）

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

4

17.（本小題滿分10分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA，底面ABCD.

⑴求證：平面PAC，平面PBD；

（2）若E為棱BC的中點(diǎn)，在棱PA上求一點(diǎn)F,使BF〃平面PDE.

18.（本小題滿分12分）

如圖，四邊形ABEF為正方形，AD〃BC,AD±DC,AD=2DC=2BC,

5

E

(1)求證：點(diǎn)D不在平面CEF內(nèi):

⑵若平面ABCDJ_平面ABEF,且AD=2,求點(diǎn)D到平面CEF的距離.

19.(本小題滿分12分)

JT

如圖，圓臺(tái)叩的上底面半徑為1,下底面半徑為2,ZOBB=y,AA,BB|為圓臺(tái)的母

線，平面AAOCU平面BBOO,M為BB的中點(diǎn)，P為AM上的任意一點(diǎn).

11111

(1)證明：BB^OP；

(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐B-OPB的體積.

6

20.（本小題滿分12分）

JT

[2021?四川攀枝花統(tǒng)考]如圖，已知三棱柱ABC—ARQ的所有棱長(zhǎng)均為2,ZBBA=y.

(1)證明：BCX^mABC；

⑵若平面ABBA，平面ABC,M為A￡的中點(diǎn)，求四棱錐耳一AC[M的體積.

7

21.(本小題滿分12分)

[2022?安徽示范高中聯(lián)考]圖①是矩形ABCD,AB=2,BC=1,M為CD的中點(diǎn)，將△AMD

沿AM翻折，得至IJ四棱錐D—ABCM,如圖②.

⑴若點(diǎn)N為BD的中點(diǎn)，求證：CN〃平面DAM；

(2)若ADLBM,求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

22.(本小題滿分12分)

[2022?福建福州質(zhì)檢]如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形,PA,底面ABCD,

PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直，請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若AB=3,F為線段BC的三等分點(diǎn)，求多面體PAEFCD的體積.

8

單元檢測(cè)（八）立體幾何

1.答案：D

解析：若a，B,則平面a內(nèi)存在直線與平面8不垂直，選項(xiàng)A不正確；若平面a,

B都垂直于同一條直線，則平面a與B平行，選項(xiàng)B不正確；若平面a,B都垂直于同

一平面，則平面a,B可以平行，也可以相交，選項(xiàng)C不正確；若平面a內(nèi)存在一條直線

與平面B垂直，則根據(jù)面面垂直的判定定理，可知若則由面面垂直的性

質(zhì)定理知，平面a內(nèi)垂直于兩個(gè)平面的交線的直線一定垂直于平面6,故選項(xiàng)D正確.

2.

9

正視方向

答案：B

解析：由題意知，正劈錐體的模型如圖所示，按照題圖的視角觀察，其正視圖的形狀為

三角形，側(cè)視圖的形狀為長(zhǎng)方形，俯視圖的形狀為圓.

3.答案：D

解析：①根據(jù)“垂直于同一平面的兩條直線互相平行”知，若m〃l,且a,則a

正確；故①正確，

②若aJ_B,m〃a,n_LB,則m_Ln錯(cuò)誤，當(dāng)m〃n時(shí)，也滿足前面條件；故②錯(cuò)誤，

③若l〃a,且m〃a,則l〃m不一定正確，有可能相交，也有可能異面；故③錯(cuò)誤,

④若nan,m±a,n〃6,則不一定成立，有可能平行.故④錯(cuò)誤，

故正確的個(gè)數(shù)為1.

4.答案：B

解析：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，根據(jù)三視圖，截取四棱錐P—ABCD如圖所示.

根據(jù)三視圖可得，AB=1,PD=2,AD=2.

根據(jù)立體圖形可知，最長(zhǎng)邊為PB.

連接DB,在RtZSADB中，根據(jù)勾股定理得

DB2=AD2+AB?=22+12=5,

在Rt^PDB中，根據(jù)勾股定理得PBz=PDz+DBz=4+5=9,

所以PB=3.

故該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為3.

5.答案：D

解析：

10

連接AB「則AABf為等邊三角形，則AC與BC是相交直線且所成角為60°,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)锳p〃Bf,所以AC與AJ是異面直線且所成角為60°,故B錯(cuò)誤；

連接CD「因?yàn)锽C_L平面CDD￡,所以BCJ_CD」所以B?與BC所成角為銳角，故C錯(cuò)

誤；

連接BD,BD,因?yàn)锳C±BD,AC±DD,且BDnDD=D,所以AC_L平面BDDB,則AC±BD,

則AC與B?是異面直線且垂直，故D正確.

6.答案：C

解析：易知四邊形AE0F為平行四邊形，所以直線EF,A0相交，直線EF,BB1是異面直

線，直線EF,BB|所成角的余弦值為平，選項(xiàng)C正確.

7.答案：A

解析：由AB〃PC,AB±BC,AD±PC,

得AD〃BC.

VAD±PD,AD±DC,PDnDC=D,.*.AD±^?PDC.

又AD〃BC,；.BCJ_平面PDC,；.B正確.

平面PAD_L平面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,PD±AD,AB±AD,Z.PD_L平面ABCD,

AB_L平面PAD.：ACu平面ABCD,APDXAC,；.C正確.

由AB,平面PAD,得ABLPA,.?.△PAB是直角三角形.又PB的中點(diǎn)為N,.?.PB=2AN,

/.D正確.

8.答案：C

解析：由題意可知，MP±PA,MP±PD.

且PAAPD=P,PAu平面PAD,PDu平面PAD,所以MP_L平面PAD.

AD

設(shè)4ADP的外接圓的半徑為r,則由正弦定理可得一^5=2匕

smZArD

11

4

即.=2r,所以r=4.

sml50

設(shè)三棱錐M—PAD的外接球的半徑為R,則(2R)2=PMZ+(2r)2,

即(2R)2=4+64=68,所以R2=17,

所以外接球的表面積為4兀R2=68兀.

9.答案：D

解析：根據(jù)幾何體的三視圖知，該“陽(yáng)馬”是底面對(duì)角線長(zhǎng)為鏡的正方形，一條長(zhǎng)為1

的側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，將該四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球與四棱錐的外接球相

同，球直徑等于長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)，即2R=\j(9)2+1=嫡,R=*,

4/3

球體積為V=-JtRs=-A^-JT.

10.

答案：C

解析：如圖，將題中的直三棱柱補(bǔ)形成一個(gè)直四棱柱ABCD-ABCD^連接AD,易知

BC^AD,所以/Bp1是直線AB|與BQ所成的角或者其補(bǔ)角.連接BR,在△ABR中，AB：

='22+12=4,AD]='12+12=W，BR=#22+12—2X2X1XCOS60。=5,AD?+BJ=

5=A&,ADLBD,sin/BAD=^=型=".因此，異面直線AB與BC所成的角的正弦

111111AB】45511

值為^故選C.

5

11.答案：A

12

D

H

A

解析：如圖，取AC的中點(diǎn)E,連接DE,BE,

因?yàn)锳D=CD,所以DELAC,

因?yàn)槠矫鍰ACJ_平面ABC,平面DACn平面ABC=AC,DEu平面DAC,

所以DE,平面ABC,

因?yàn)镹ABC=90°,所以棱錐外接球的球心。在直線DE上，

因?yàn)锳B=BC=2,NABC=90。,DA=DC=

所以BE=AE=CE="=/,DE=^/AD2-AE2=2,

設(shè)0E=x,貝?。?D=2-x,0B=yBE2+0E2=,X2+2,

所以2—X=、JX2+2,解得x=1,

13

所以外接球的半徑為r=2-x=2--=",

,4兀n4兀39兀

外接球的體積為丫=獲一=亍*(|)3=(

12.答案：D

解析：如圖，取PB中點(diǎn)M,連接CM.

?.?平面PBC,平面ABC,平面PBCC平面ABC=BC,ACu平面ABC,AC±BC,；.AC，平面

PBC.

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離h=AC=2x.

VPC=BC=2,PB=2x(0<x<2),M為PB的中點(diǎn),

ACMXPB,CM=^/4T?,

,=1xi---2x2\l4—X2

(x、4一X2)X2x=-0----.

A-PBC3

13

設(shè)t=[4—X2(0<t<2>貝!jx2=4—t2.

2t(4—12)8t—2t3

-(0<t<2).

A-PBC-33

8t—2t38-6t2

對(duì)丫=「^,0<t<2求導(dǎo)，得y，

3

13.答案：￥

解析：正八面體可看成由上、下兩個(gè)相同的正四棱錐組成的，由棱長(zhǎng)為2,可得每個(gè)正

四棱錐的斜高為。^三=地，高為后力=木,則該正八面體的體積為比等名X2=

85

3'

14.答案：￥

解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為E,連接ED」則易知BE〃CR,BE=CR,.?.四邊形EBCR是平行

四邊形,四〃￡%為直線A1與BQ所成的角...?四邊形ABCD是正方形,；.BA，AD,

：DD_L底面ABCD,ABAXDD,又ADnDD=D,，BA_L平面AADD,ABAXAD,ZkAED是直

1111111

角三角形.設(shè)DD]=AB=2A]B]=2a,貝!JAD=^AD2+DDj=(2a)2+(2a)2=2y[2a,EDl

=+AE2=(2隹a)2+32=3a,.*.cosZADE=黑=

1

15.答案：留風(fēng)

解析：設(shè)G為AABC外接圓圓心，。為三棱錐P—ABC外接球球心，

則OG_L平面ABC,作OM_LPA,垂足為M

由正弦定理可知4ABC外接圓直徑:

14

ACAB24^3人八2m

2r_7^=----，.*.AG=-

=2AG=-sTinZBCAn33

sin-

,.,PAI平面ABC,OG_L平面ABC,AP//OG

又OM_LPA,AG±PA,,??OM〃AG

???四邊形OMAG為矩形，??.OG=AM

設(shè)0G=x,OP=OA=R

r（

43

IX2+-=R2Ix=2

在RtZiOMP和RtZXOGA中，由勾股定理可得：］,解得：|.—

I（3-x）|=R卜=隼

2+J26

三棱錐P—ABC外接球體積：V=,"R3=色罩n.

16.答案：①②③

解析：在①中：???將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，得到四面體A—BCD,

設(shè)AB=BC=CD=AD=2,

取BD中點(diǎn)0,AC中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)F,連結(jié)AO,CO,OF,0E,EF,

貝ij0A=0C=W，且OA±OC,,?.0E=；AC=L

由三角形中位線定理得OF=：CD=1,EF=|AB=L且OF〃CD,EF〃AB,

.?./EFO是AB,CD所成的角，

.?.OF=EF=OE=1,1?△EFO是等邊三角形，??.NEF0=60。,

???AB,CD所成的角為60°,故①正確；

在②中：V0\=0C=yf2,且OA_LOC,AC=<2+2=2,

AC=CD=AD=2,

???△ADC為等邊三角形，故②正確；

在③中：?.?AB=BC=CD=AD,。是BD中點(diǎn)，

AA0±BD,CO±BD,又A0nC0=0,.江口上面人。。

???ACu面AOC,AAC±BD,故③正確；

15

在④中：?.》一BD—C是直二面角，AOXBD,

AOJ_平面BDC,/.ZABO是AB與平面BCD所成角，

VAO=BO,ZAB0=45°,

；.AB與平面BCD所成角為45°,故④錯(cuò)誤.

17.解析：(1)證明：因?yàn)镻A,底面ABCD,BDu平面ABCD,所以PALBD；又底面ABCD

為正方形，所以BD^AC,ACnPA=A,所以BD,平面PAC,又BDu平面PBD,所以平面PAC,

平面PBD,得證.

(2)如圖所示，取PA的中點(diǎn)Q,PD的中點(diǎn)H,連接BQ、QH、HE,

所以會(huì)有QH〃AD,QH=|AD,又BE〃AD,BE=|AD,

所以QH〃BE且QH=BE,

所以四邊形BQHE為平行四邊形，

所以BQ〃EH,BQC面PDE,EHu面PDE,

所以BQ〃平面PDE,

所以Q點(diǎn)，即為我們要找的F點(diǎn).

18.解析：

(1)證明：(反證法)假設(shè)點(diǎn)D在平面CEF內(nèi).

設(shè)C,D,E,F四點(diǎn)確定的平面為a.因?yàn)樗倪呅蜛BEF為正方形，所以EF〃AB.因?yàn)槠?/p>

面ABCD與平面ABEF不重合，所以EFC平面ABCD,又ABu平面ABCD,所以EF〃平面ABCD.

因?yàn)镋Fu平面a,平面ac平面ABCD=CD,所以EF〃CD；所以AB〃CD.AB,CD為直角梯

形ABCD的兩腰，不可能平行，故假設(shè)不成立.點(diǎn)D不在平面CEF內(nèi).

16

E

(2)取AD中點(diǎn)H,連接HF,HC,由AD=2BC,所以AH=BC,且AH〃BC,所以AHCB為

平行四邊形，且HC=AB,

：AB〃EF,且AB=EF,AC,H,E,F共面,

CHD

S.=；X1Xl=g,FA=W，F(xiàn)H=4,CH=yj2fCF=\jFP^-\-Ch=yj7f

FH2+CH2-CF21

所以cosNCHF=

2FH?CH

?%=加?CHsin/CHF答.由憶廣仁皿得可1^『,?

,=膽5

故D到平面CEF的距離是變.

19.

解析：（1）證明：取0B中點(diǎn)N,連接NBjOB1，OM,

因?yàn)閳A臺(tái)Q0的下底面半徑為2,上底面半徑為1,ON=NB=1,

JI

所以BJLOB,又因?yàn)镹0BB]=§,所以△OB]B為正三角形,

于是BB=BO=OB=2.

11

因?yàn)镸為BB中點(diǎn)，所以BBL0M,

11

因?yàn)槠矫嫫矫鍮B90,00X0A,

所以ACU平面BB￡O,BB|U平面BBQO,

所以O(shè)ALBBj

又因?yàn)镺ACOM=O,所以BBJ平面OAM,又因?yàn)镺Pu平面OAM,

所以BBJOP.

⑵連接PB,當(dāng)點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)時(shí)，△OBBj的面積為:X2X2X*=，iVB10PB

17

=VP-OBB=|VA-OBB=|X|XSAOBB1XA0=^

，三棱錐B—OPB的體積為岬.

1o

20.解析：（1）證明：如圖，取AB中點(diǎn)D,連接BD,CD.

JI

???三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2,ZBBA=y,

AABC和aABB］都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且BCXBC,

；.BD_LAB,CD±AB.

1

BD,CDu平面々CD,BDnCD=D,

；.AB_L平面BCD.VBCc平面BCD,AABXBC.

VAB,BQu平面ABQ,ABnBC=B,.?.Bf平面ABC「

(2)?.?平面ABBJJ平面ABC,且兩平面的交線為AB,

由(1)知BDJ_AB,平面ABC.

11

方法一VB-ACCM=3VB-AAM=3VA-ABM=3x|sAABM-BD=^AM-BM?BD=i

iiiiii3iii2ii12

方法二VB—ACCM=VABC—ABC—VB—ABC—VA—ABM=VABC—ABC——ABC=

‘iiiiiiiiiii2i

VABC-ABC-?x|vABC-ABC=^VABC-ABC=1s.BD=1x^X22X\/3=t.

iii23iii2iii2AABCi24v2

21.解析：(1)證明：如圖，取AD中點(diǎn)P,連接MP,NP.

由N,P分別為BD,AD的中點(diǎn),得NP〃AB且NP=；AB.

又MC〃AB且MC=^AB,所以MC〃NP且MC=NP,所以四邊形MCNP為平行四邊形.

所以CN〃MP且CNC平面DAM,MPu平面DAM,所以CN〃平面DAM

(2)如圖，由AM=斕，BM=$,AB=2,可得AB2=AMz+BM2,

18

所以AM±BM.

D

又BM_LAD,ADGAM=A,所以BM_L平面ADM.

又BMc平面ABCM,

所以平面ADM,平面ABCM

取AM的中點(diǎn)E,連接DE.

因?yàn)锳D=DM=L