2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)-第4節(jié)-復(fù)數(shù)

第4節(jié)復(fù)數(shù)A級(jí)(基礎(chǔ)應(yīng)用練)1．(2022?四川宜賓市三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(－3＋2i)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C解析：∵z＝(－3＋2i)i＝－3i＋2i2＝－2－3i，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－3)，位于第三象限．故選C.2．(2022?山東濟(jì)南聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，eq\o(OZ,\s\up6(→))與實(shí)軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z為()A．1＋eq\r(3)i B．2C．(1，－eq\r(3)) D．－1＋eq\r(3)i答案：D解析：設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則x＝|z|cos120°＝2×(－eq\f(1,2))＝－1，y＝|z|sin120°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－1，eq\r(3))，∴z＝－1＋eq\r(3)i，故選D.3．(2022?福建三明一中高三月考)復(fù)數(shù)z滿足|z－2|＝1，則|z|的最大值為()A．1 B．eq\r(2)C．3 D．eq\r(3)答案：C解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，∵|z－2|＝1，∴復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(x，y)在以A(2，0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)Z位于點(diǎn)B(3，0)處時(shí)，點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離最大，最大值為3.故選C.4．(2022?重慶高三三模)若復(fù)數(shù)z滿足|z－1＋i|＝|1－2i|，其中i為虛數(shù)單位，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)滿足方程()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝eq\r(5)B．(x－1)2＋(y＋1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－1)2＝eq\r(5)D．(x＋1)2＋(y－1)2＝5答案：B解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1＋i|＝|1－2i|，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故選B.5．(2022?安徽省安慶市二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1＋i3)z＝2，則下列判斷正確的是()A．z的虛部為i B．|z|＝2C．z?eq\o(z,\s\up1(－))＝2 D．z2＝2答案：C解析：z＝eq\f(2,1＋i3)＝eq\f(2,1－i)＝1＋i，其虛部為1，A錯(cuò)誤；|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，B錯(cuò)誤；z?eq\o(z,\s\up1(－))＝(1＋i)(1－i)＝2，C正確；z2＝(1＋i)2＝2i≠2，D錯(cuò)誤．故選C.6．(2022?四川石室一模)若復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)?z＝1－i5，則其共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up1(－))的模為()A．1 B．－1C.eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)答案：A解析：∵i5＝(i2)2?i＝i?(－1)2＝i，z＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(（1－i）2,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(1－2i－1,2)＝－i，∴eq\o(z,\s\up1(－))＝i，|eq\o(z,\s\up1(－))|＝1，故選A.7．已知復(fù)數(shù)z滿足i＝eq\f(1－2z,z－7)，則|z|＝()A．2 B．eq\r(5)C．2eq\r(2) D．eq\r(10)答案：D解析：由i＝eq\f(1－2z,z－7)，得zi－7i＝1－2z，即z＝eq\f(1＋7i,2＋i)，z＝eq\f(1＋7i,2＋i)＝eq\f(（1＋7i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(9＋13i,5)＝eq\f(9,5)＋eq\f(13i,5)，所以|z|＝eq\r(（\f(9,5)）2＋（\f(13,5)）2)＝eq\r(10).故選D.8．(2022?黑龍江高三期末)復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部是________．答案：eq\f(3,5)解析：∵z＝eq\f(1＋i,1－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋2i）,（1－2i）（1＋2i）)＝eq\f(－1＋3i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，因此復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(3,5).9．(2022?重慶高三三模)設(shè)m∈R，i為虛數(shù)單位，且eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)是實(shí)數(shù)，則m的值為_(kāi)_______．答案：－1解析：eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)＝eq\f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＋(1＋mi)＝eq\f(2（1＋i）,2)＋(1＋mi)＝2＋(1＋m)i.又eq\f(2,1－i)＋(1＋mi)是實(shí)數(shù)，所以1＋m＝0，所以m＝－1.10．(2022?浙江高三模擬)若復(fù)數(shù)z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i為純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)m＝________，|2－2i＋z|＝________．答案：2eq\r(5)解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m2－3m＋2＋(m2－1)i為純虛數(shù)，且m為實(shí)數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋2＝0,m2－1≠0))，解得m＝2，此時(shí)z＝3i，|2－2i＋z|＝|2－2i＋3i|＝|2＋i|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).B級(jí)(綜合創(chuàng)新練)11．(多選題)(2022?四川高三二模)設(shè)z是復(fù)數(shù)，若z(1－i)＝|－i|(i是虛數(shù)單位)，則下列說(shuō)法正確的是()A．z的虛部為eq\f(i,2) B．z＝eq\f(1＋i,2)C．|z|＝1 D．z＋eq\o(z,\s\up1(－))＝1答案：BD解析：依題意z(1－i)＝|－i|＝1，z＝eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(1＋i,2)，所以B正確；z的虛部為eq\f(1,2)，所以A錯(cuò)誤；|z|＝eq\r(（\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，所以C錯(cuò)誤；z＋eq\o(z,\s\up1(－))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，所以D正確．故選BD.12．(多選題)已知復(fù)數(shù)z＝1＋cos2θ＋isin2θ(－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,2))(其中i為虛數(shù)單位)，下列說(shuō)法正確的是()A．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在第二象限B．z可能為實(shí)數(shù)C．|z|＝2cosθD.eq\f(1,z)的實(shí)部為eq\f(1,2)答案：BCD解析：因?yàn)椋璭q\f(π,2)<θ<eq\f(π,2)，所以－π<2θ<π，所以－1<cos2θ≤1，所以0<1＋cos2θ≤2，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)sin2θ＝0，θ＝0∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，故B選項(xiàng)正確；|z|＝eq\r(（1＋cos2θ）2＋（sin2θ）2)＝eq\r(2＋2cos2θ)＝2cosθ，故C選項(xiàng)正確；eq\f(1,z)＝eq\f(1,1＋cos2θ＋isin2θ)＝eq\f(1＋cos2θ－isin2θ,（1＋cos2θ＋isin2θ）（1＋cos2θ－isin2θ）)＝eq\f(1＋cos2θ－isin2θ,2＋2cos2θ)，eq\f(1,z)的實(shí)部是eq\f(1＋cos2θ,2＋2cos2θ)＝eq\f(1,2)，故D選項(xiàng)正確．故選BCD.13．歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉提出的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，則|eiθ－2i|的最小值等于________答案：1解析：由題意知|eiθ－2i|＝|cosθ＋(sinθ－2)i|＝eq\r(cos2θ＋（sinθ－2）2)＝eq\r(5－4sinθ)，當(dāng)sinθ＝1時(shí)，|eiθ－2i|取得最小值1.14．(2022?重慶高三三模)已知復(fù)數(shù)z1，z2，則以下四個(gè)說(shuō)法正確的是________．①eq\o(z1?z2,\s\up2(－))＝eq\o(z1,\s\up2(－))?eq\o(z2,\s\up2(－))；②若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)；③|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|；④若z1，z2(z1≠z2)是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的虛根，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)．答案：①③④解析：對(duì)于①中，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1?z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i，所以eq\o(z1?z2,\s\up2(－))＝ac－bd－(ad＋bc)i，又eq\o(z1,\s\up2(－))?eq\o(z2,\s\up2(－))＝(a－bi)(c－di)＝ac－bd－(ad＋bc)i，所以eq\o(z1?z2,\s\up2(－))＝eq\o(z1,\s\up2(－))?eq\o(z2,\s\up2(－))，所以①正確；對(duì)于②中，取z1＝eq\r(2)i，z2＝1＋i，滿足|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝－2，zeq\o\al(2,2)＝2i，所以zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則|z1＋z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd，(|z1|＋|z2|)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2eq\r(（a2＋b2）（c2＋d2）)，又(ac＋bd)2＝a2c2＋b2d2＋2abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd，當(dāng)且僅當(dāng)a2d2＝b2c2時(shí)，等號(hào)成立，所以|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，所以③正確；對(duì)于④中，利用實(shí)系數(shù)的一元二次方程的虛根成對(duì)的原理，即可得到④正確．15．已知復(fù)數(shù)z1＝i，z2＝eq\f(2i,1＋i)，則|z1＋z2|＝________，z1＋zeq\o\al(2,1)＋…＋zeq\o\al(20,1)＝________．答案：eq\r(5)0解析：因?yàn)閦