第2講高二學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽直線與圓專題訓(xùn)練

第2講直線與圓

【題型目耒】

模塊一：易錯(cuò)試題精選

模塊二：培優(yōu)試題精選

模塊三：全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選

【典型例題】

模塊一：易錯(cuò)試題精選

1.過(guò)圓F+y2=64上的動(dòng)點(diǎn)作圓C:/+y2=i6的兩條切線，兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段稱為切點(diǎn)弦，則圓C不

在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為()

A.4完B.67tC.8冗D.12%

【答案】A

【分析】求出切點(diǎn)弦的方程后可求不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積.

設(shè)圓f+,2=64的動(dòng)點(diǎn)為p(見(jiàn)〃)，過(guò)尸作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A8,

則過(guò)P,A3的圓是以尸。直徑的圓，該圓的方程為：乩?6)+可丁一〃)=0.

fx2+y2=16

由、八可得48的直線方程為：mx+ny=16.

x(x-m)+y(y-H)=O

原點(diǎn)到直線皿+〃，=16的距離為-j=^===-^==2,

故圓C不在任何切點(diǎn)弦上的點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為4兀，

故選：A.

2.設(shè)〃昨R,過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+s=。和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線m帆+3=0交于點(diǎn)P*,y),則阿卜|陽(yáng)

的最大值是()

A.4B.10C.5D.V10

【答案】C

【分析】由題意可知兩條動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)40.0)、8(1,3),且始終垂直，有E4_LM,利用勾股定理求出IABI，

再利用基本不等式求得答案.

【詳解】由題意可知，動(dòng)直線工+機(jī)＞=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)40.0),

動(dòng)直線如一)，一加+3=0即m*-1)-y+3=0,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)3(1,3),

因?yàn)閘x帆-mxl=O,所以動(dòng)直線x+=0和動(dòng)直線的一丁-帆+3=0始終垂直，

產(chǎn)又是兩條直線的交點(diǎn)，

則有R4J_P8,.JPA|2+|P5|2=|AB|2=10,

故|P4Hp8區(qū)叫5里^=5(當(dāng)且僅當(dāng)1PAi=|尸8=6時(shí)取"="),

2

故選：C.

3.過(guò)點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+1=0B.;v+y-3=0C.y=2x或;v+y-3=0D.y=2c或K-y+l=0

【答案】D

【分析】考慮直線是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.

【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，其斜率為咨=2,故直線方程為y=2x；

1—0

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為±+上=1,代入點(diǎn)(1,2)可得工+2=1,解得〃=—1,故直線方程

a-aa-a

為x?y+l=0.

綜上，可知所求直線方程為y=2x或x-y+l=0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線

方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.

4.設(shè)圓/+丁_24-2尸2=0的圓心為C,直線/過(guò)點(diǎn)(0,3),且與圓。交于4,8兩點(diǎn)，若|A8|=2石，

則直線/的方程為()

A.3x+4y-12=0B.3x+4y-12=0或44+2y+l=0

C.x=0D.D或3x+4y-12=0

【答案】D

【分析】先利用圓的一般方程得到標(biāo)準(zhǔn)方程，得到對(duì)應(yīng)的圓心和半徑，然后分直線/的斜率不存在和存在進(jìn)

行求解直線的方程即可得到答案

【詳解】解：由V+y2-2x-2y-2=0可得(x-l)2+(y-l)2=4,則圓心C的坐標(biāo)為(I1)，半徑為2,

當(dāng)直線/的斜率不存在，即直線/的方程為x=0時(shí)，代入圓的方程得丁―2y-2=0,解得y=l+JJ,

此時(shí)|4砌=1+石一(1一石)=2石，符合題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=h+3即"一y+3=0,

因?yàn)閨A8|=26，所以圓心C到直線/的距離為隹.詆2=1,

|01+3|,3

則而聲也解得攵=一"

故此時(shí)直線I的方程為廣-。+3,即3x+4y-12=0,

4

故選：D

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心，且與直線，我+y-2〃?=0(mwR)相切的所有圓中，半徑最

大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.X'+(y-l)2=5B.x2+(y+l)2=5

C.x2+(y-l)2=4D.x2+(y-l)2=l

【答案】A

【分析】先求得動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(20)，再由已知得到圓心到頂點(diǎn)的距離為最大半徑，由圓心，半徑可確定滿

足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：直線nu+y-2〃?=0(，〃cR).變形可得用a-2)+y=0,

所以該動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(2,0),

則以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線mx+y-2,〃=0(/〃eR)相切的所有圓中，圓心到定點(diǎn)的距離為最大半徑，

所以半徑r的最大值為g=75，

則半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為定點(diǎn)*+(y-l)2=5.

故選：A

6.直線xsina+V5y-b=0(a,beR)的傾斜角的取值范圍是()

【答案】C

【分析】先利用正弦函數(shù)的有界性求出斜率的范圍，由斜率的范圍求出傾斜角的范圍.

【詳解】易得斜率必存在，設(shè)xsina

由xsina+\/3y-b=0可得斜率k=--^42=tan6,

因?yàn)閍eR,所以sinae[T[],

所以一直瞥x/3Q

gptan0G-

3'3T5T

所以公咤朝

故選：c

7.己知圓。：（工一3）2+（5-4）2=1和兩點(diǎn)4一加,0）,6（九0）,（加>0）.若圓。上存在點(diǎn)尸，使得NA尸8=90。,

則加的最小值為（）

A.7D.6C.5D.4

【答案】D

【分析】由NAPB=90。，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以AB為白:徑的網(wǎng)。，又點(diǎn)尸在圓C上，故點(diǎn)尸是圓。與圓C的

交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交.由兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)關(guān)系，從而求出機(jī)的取值范

圍，進(jìn)而找到機(jī)的最小值.

解：ZAP8=90。，.,.點(diǎn)P的軌跡是以A8為直徑的圓O,

又點(diǎn)P在圓C上，故點(diǎn)尸是圓。與圓C的交點(diǎn),

因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即帆-1歸仔不Wm+1,

解得：4</w<6.

???力的最小值為4.

故選：D.

［點(diǎn).晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想，確定點(diǎn)尸的軌跡

是以48為直徑的圓0與圓C有交點(diǎn)，從而可求出4?〃766,考查了學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的解題

思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.若直線=與曲線y=47F有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是（）

A.伊-2應(yīng)<b<2&}B.{ti2<b<2yf2}

C.{跖,〃<2&}D.{b\b=±2}

【答案】C

【分析】求出直線與曲線相切時(shí)實(shí)數(shù)b的道，再結(jié)合圖象，即可得到答案；

【詳解】化簡(jiǎn)方Iy=j4-x2可得—+何=4（”0）.

方程W+y2=4（yN0）對(duì)應(yīng)的曲線為以（0,0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸上方的部分（含點(diǎn)（2,0）,（-2,0））；

當(dāng)直線y=x+b與半圓相切時(shí)，2哇,b>0,

所以6=2&，

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)（—2,0）時(shí)，b=2,

所以實(shí)數(shù)6的取值范圍為［2,2&）,

9.平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸（2,4）,圓O：X2+/=4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)尸與圓。相切的直線方程為3x-4y+10=0

B.過(guò)點(diǎn)尸的直線與圓。相切于M,N,則直線MN的方程為x+2y-4=0

C.過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相切于M,N,則|PM=3

D.過(guò)點(diǎn)尸的直線,〃與圓O相交于48兩點(diǎn)，若/408=90。，則直線用的方程為“—'+2=0或7%—3，-10=0

【答案】D

【分析】首先求出過(guò)點(diǎn)P的切線方程，注意分斜率存在和不存在兩種情況討論，即可判斷A,再利用勾股定

理求出切線長(zhǎng)，即可判斷C,M,N在以(1,2)為圓心，以|0"為直徑的圓上，兩圓方程作差即可求出直線

的方程，由此判斷B,由圓心到直線的距離求出直線斜率，即可求出直線方程，進(jìn)而求解D.

【詳解】對(duì)「A：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，則直線/的方程為x=2,圓心。到宜線，的距離d=2=r,所以

爹是過(guò)點(diǎn)尸的圓的切線,

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線乙的方程為y—4=-x—2),即去一)，一2&+4=0,

1—22+413

圓心。到直線/的距離d==2解得&卞此時(shí)直線/的方程為31小。町

VF+T

???過(guò)點(diǎn)尸的圓的切線方程為x=2或版-4)，+10=0,故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B;M,N在以(1,2)為圓心，以|。以為直徑的圓。-1)2+()，-2)2=5,

直線MN為圓O:/+y2=4與圓。_])2+”_2)2=5的公共弦，

兩圓方程相減得：x+2)，-2=0,即直線MN的方程為工+25，-2=0,故8雄工.

對(duì)于C；|。夕|=萬(wàn)，不=2石，：\PM\=y/\OPf-22=4,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D：過(guò)點(diǎn)尸的直線胴與圓。相交于A,B兩點(diǎn),若NAO5=90。，貝iJ|AB|=2垃，

「?圓心到直線的距離4=&,

顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為廣4=2(x-2),即米-y-24+4=0,

?"=%+；=&,解得攵=1或7,

VK+1

二直線方程為工-尹2=0或7x-y-10=0,故D正確，

故選：D

10.在平面直角坐標(biāo)系直為中，已知A,8為圓V+y2=9上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)且Q4J.P8,則M卻的最

大值為()

A.3-x/2B.3+V2C.4-V2D.4+&

【答案】D

【分析】令c*,y)為中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形性質(zhì)，圓中弦長(zhǎng)、弦心距、半徑的幾何關(guān)系求得。軌跡為圓，

求定點(diǎn)戶到所得圓上點(diǎn)距離的最大值，結(jié)合|A回=2|「。|即可求結(jié)果.

【詳解】由必_LP8,要使|AB|最大只需尸到A3中點(diǎn)C距離最大，

又|PC|=|4。|=|8。|且|0。|2+|人。|2=|0。|2+|/>。|2=9,

令C(ay)，則/+/+(x-1)2+(曠-1)2=9,整理得(“-3)2+。,一；)2=4,

所以C軌跡是以g,》為圓心,2為半徑的圓,又(1-y+(1_}2<4,即尸在圓內(nèi),

故I尸C|111ax=2+4，而|AB|=|AC|+|BQ=2|PC|,故|A81a=4+夜-

y,、

一

B/+/=9

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓、直角三角形的性質(zhì)求A3中點(diǎn)C的軌跡，再求定點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值即可.

11.已知點(diǎn)尸是圓M"2+y2_8x_6y+21=0上的動(dòng)點(diǎn)，直線/：2x+3y-6=0與工軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，

當(dāng)NP4B最小時(shí)，|PA|二()

A.底B.2x/2C.x/10D.加

【答案】A

【分析】求出圓心、半徑，根據(jù)直線與圓的位置可知，當(dāng)S3最小時(shí)，24與圓M相切，最后用勾股定理

求|PA|即可

【詳解】圓“：/+9一版―6y+21=0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(工一4『+('—3)2=4,故圓心為"(4,3),半徑為2,

宜線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)4(3,0),點(diǎn)8(0,2),如下圖所示:

則當(dāng)NE4B最小時(shí)，R4與圓M相切，連接MP,,可知PM_LPA,\AM\=7(3-4)2+(0-3)2=屈=2,

由勾股定理可得=二",

故選：A

12.若直線，：為7-2=0與曲線C：Ji_(y_1)2=x_i有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

C.-2gMMD.(*)

【答案】A

【分析】確定直線/：匕-y-2=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2),確定曲線。：3-(丁-1)2=4一1表示以點(diǎn)(1,(為圓心,1

為、K徑，且位于宜.線x=l右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)(1,2),(1,0).由H線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論(需要求出切

線的斜率)

【詳解】直線，:依-y-2=0恒過(guò)定點(diǎn)(0,-2),曲線C：Jl_(y_l)2=x—l表示以點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑,

且位于直線％=1右側(cè)的半圓，包括點(diǎn)。,2),(1,0).

如圖，當(dāng)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，/與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)女=2,直線記為4：

當(dāng)/與半圓相切時(shí)，由~^生=1,得％=:，切線記為兒

U+i3

4

由圖可知當(dāng)時(shí)，/與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，

故選：A.

13.已知圓C:(x+l)2+()，-4)2=m(m>0)和兩點(diǎn)A(-2,0),8(1,0),若圓C上存在點(diǎn)P,使得|%|二20四,

則機(jī)的取值范圍是()

A.[8,64]B.[9,64J

C.[8,49]D.19,49J

【答案】D

【分析】設(shè)尸的坐標(biāo)為(x,y),由|網(wǎng)=2|P4可得P的軌跡為(x-2『+y2=4,又因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓C上，所以

兩圓有公共點(diǎn)，從而求解即可.

【詳解】解：設(shè)P的坐標(biāo)為(為y),因?yàn)镮網(wǎng)=2|尸網(wǎng),A(-2,0),B(l,o),

所以歷了萬(wàn)=2而U"，化簡(jiǎn)得2p+y2=4,

又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C:(x+1)2+(y-4)2=加(加>0)上，

所以圓(x—2)2+丁=4與圓C有公共點(diǎn)，

所以|Vw-2|<J(2+iy+4之<4in+2且0,

解得9KmW49,

故選：D.

14.(多選題)已知直線/：工+丁-2=0與圓。:/+),2=4交于48兩點(diǎn),點(diǎn)“為圓。上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)"(—2,—2),

記M到/的距離為d,則()

A.\AB\=272B.d的最大值為2&

C._ABN是等腰三角形D.|MN|+d的最小值為3五

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)垂徑定理以及弦長(zhǎng)公式，可得答案；

對(duì)于B,根據(jù)題意作圖，結(jié)合圓上點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，可得答案；

對(duì)于C,求弦的中垂線的直線方程，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得答案；

對(duì)于D,由題意，作圖，根據(jù)線段組合，求得答案.

【詳解】對(duì)于A,由圓。:爐+丁=4,可得。(0,0),半徑為2,

點(diǎn)C到直線/的距離為卓==0,則|明=2"^1=2應(yīng)，故A正確;

點(diǎn)。為弦A3的中點(diǎn)，宜線CQJ_AB,則41ax=MD=2+2>/5,故B錯(cuò)誤:

易知A(ZO),8(0,2),則直線48的斜率附=分=-1,

由CZ)_LAB,則直線C。的斜率勺笫=一/-=1,由O(U),

則直線8的方程為y-1=1?(x1),則尸刀,

即點(diǎn)N(-2-2)在直線CD上，8為AB的中垂線，，一是等腰三角形,

故C正確;

對(duì)于D,由題意，可作圖:

則〃=吹，顯然d+|Myv|=|ME|+|M7V閆叫，則眼。|==3&,

ViTT

故D正確:

故選：ACD.

15.（多選題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.截距相等的直線都可以用方程2+；=1表示

ab

B.方程x+my-2=0（meR）能表示平行「軸的直線

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（U）,傾斜角為。的直線方程為y-l=tane（x-l）

D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)/?（』,％）,月。2，月）的直線方程（丹-凹）。-百）-*2f）（y-y）=。

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)截距式方程的適用條件，可得答案；

對(duì)于B,平行于y軸的直線，斜率不存在.令m=o,可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程的使用條件，可得答案；

對(duì)于D,根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等進(jìn)行討論，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)直線的截距不為零時(shí)，可用方程二+5=1,當(dāng)截距都是零時(shí)，不可用，故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,當(dāng)m=0時(shí)，方程為X-2=0,此時(shí)所表示的直線與y軸平行，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)6=90時(shí)，tan。不存在，此時(shí)直線方程為x=l,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)％，天時(shí)，由斜率公式，可得三?=乎三，可整理為（y2-y）（x-%）-（w-%）（y-y）=°；

當(dāng)石=修時(shí)，方程（以一乂）（%-%）-（七一4）（丁一乂）=0可整理為x=M；故D正確.

故選：BD.

16.（多選題）已知點(diǎn)40,2）,僅1,1）,且點(diǎn)尸在圓C：*-2）2+），2=4上，C為圓心，則下列結(jié)論正確的是

A.I如1-1尸砌的最大值為上

B,以4c為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：x-y=O

C.當(dāng)NE4A最大時(shí)，△R4B的面積為0

D.APAA的面積的最大值為0

【答案】ABD

【分析】依題意畫出圖象，判斷在圓內(nèi)，當(dāng)P為射線BC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，I尸川-|依|取得最大值|明，

即可判斷A：求出以AC為直徑的圓再兩圓方程作差，即可求出公共弦所在直線方程，即可判斷B,當(dāng)AP與

圓。相切時(shí)，4AB最大,求出三角形的面積，即可判斷C,求出直線A8的方程，可得C在A8上，即可

得到P到A8的距離最大值，再求出|4回，即可判斷D.

【詳解】解：圓C*-2)2+丫2=4的圓心為。(2,0),半徑；《=2,又3(1,1),則(l—2)2+F=2<4,所以點(diǎn)8

在圓內(nèi)，

所以當(dāng)尸為射線與圓C的交點(diǎn)時(shí)，1戶人1-1尸例取得最大值|A8|=0,故A正確；

因?yàn)?點(diǎn)恰好是A、C的中點(diǎn)，且卜。=亞壽=2五,所以以AC為直徑的惻的方程為(x-l)2+(y-l)2=2,

所以以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為(x-2)2+y2-[(x_i)2+(y_[)2]=4_2,

整理得力->=0,故B正確；

當(dāng)?shù)呐c圓C相切時(shí)，4AB最大,此時(shí)5小依=3*2*1=1,故C錯(cuò)誤，

直線A3的方程為y=-x+2,又|陰=’(0_1)2+(2_1)2=后,且。(2,0)在直線A8上,

所以P到48的距離最大值為r=2,

所以（S.）a=3卜用，=：x2x0=夜，故D正確;

故選：ABD

17.（多選題）已知直線/：QX+與-，=（）與圓c：x2+y2=r2,點(diǎn)4（。力），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】ABD

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：???點(diǎn)A在圓C上，??./+〃=/,

???圓心c（o,o）到直線/的距離為d=怛"產(chǎn)"[1=/"

yja2+b2^a2+b2

???直線與圓C相切，故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：'?,點(diǎn)A在圓C內(nèi)，.,./+從＜/，

/、-Oxa+Ox。-/r2

???圓心C（O,O）到直線/的距離為d=J~，-！=7丁二＞r,

\la2+b2\Ja2+b2

工直線與圓C相離，故B選項(xiàng)正確：

對(duì)于選項(xiàng)C：???點(diǎn)A在圓C外，???/+〃＞，，

???圓心C（O,O）到直線/的距離為d==-H—＜r,

\Ja2+b2\la2+b2

???直線與圓C相交，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：??,點(diǎn)A在直線/上，???儲(chǔ)+〃=產(chǎn)，

.、|0xa+0x/?-r2||r2|

???圓心C（O,O）到直線/的距離為d=J~「=11=r,

yja2+b2\Ja2+b2

，直線與圓C相切，故D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

18.（多選題）若直線4：3x+y=4,/2:x-y=O,g:2x-3〃少=4不能構(gòu)成三角形，則機(jī)的取值為（）

【答案】ABD

【分析】分4〃，3，/2〃/3，，3過(guò)4與/2的交點(diǎn)三種情況討論即可.

【詳解】因?yàn)橹本€4：3x+y=4,Z2:x-y=O,&：2工-3%，=4不能構(gòu)成三角形,

所以存在4/〃3，/2〃/3,4過(guò)乙與4的交點(diǎn)三種情況，

3142

當(dāng)4/“3時(shí)，有7二=一工了，解得〃，=一;;;

2-3tn49

當(dāng)卜此時(shí)，有卜二-工。，解得〃2

2-3m43

3x+y=4x=]o

當(dāng)4過(guò)4與4的交點(diǎn)，則聯(lián)立〈，解得〈，，代入兒W2xl-3,nxl=4,解得切=一]；

x-y=0[y=13

222

綜上：加=一§或m=§或機(jī)=一§.

故選：ABD.

19.（多選題）已知圓M:（x+2）2+y2=2,直線/:/+），-2=0,點(diǎn)P在直線/上運(yùn)動(dòng)，直線PAM分別于圓

M切于點(diǎn)A8.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.四邊形PA用8的面積最小值為2石

B.|網(wǎng)最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為卡

C.|胡|最短時(shí)，弦A8直線方程為x+y-l=0

31_

D.直線AB過(guò)定點(diǎn)

2'2

【答案】ABD

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)切線長(zhǎng)與圓心到定點(diǎn)距離d和半徑「之間關(guān)系，即切線長(zhǎng)

=廬下可知當(dāng)尸時(shí)，|尸山最小，可確定四邊形面積最小值，同時(shí)利用面積橋可求得,由此可知

AB正確；設(shè)尸（外,兒），可知A3方程為：（%+2）（x+2）+%y=2,由P"_L/可求得尸點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得48

方程，知C正確；將%=2-%代入AB方程，根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求法可知D正確.

【詳解】由圓的方程知：圓心”（一2,0）,半徑,=0,

對(duì)于AB,四邊形RW8的面積S=25“=2x；|B4|"=

則當(dāng)|PA|最短時(shí)，四邊形RAM的面積最小，

點(diǎn)M到直線，的距離d12+[N=2&,.]/訓(xùn)=Jd2f2=R,

J21niin

此時(shí)5mhi=26,A正確；

又2.=#川"=#M.小隊(duì).?.此時(shí)1陰=曰黑=何B正確；

2

對(duì)于C,設(shè)A(x“J,8(3％),尸卜“J,

則過(guò)A作圓的切線，切線方程為：(%+2)(x+2)+yy=2；過(guò)B作圓的切線，切線方程為：

(毛+2)(x+2)+%y=2,

又p為兩切線交點(diǎn),..￡*：妒吸丁"一；

[(占+2)(%+2)+)2%=2

則A5兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程：5+2)(%+2)+%)，=2,即AB方程為：5+2)(笨+2)+%產(chǎn)2：

當(dāng)|必最小時(shí)，PM_U,...直線PM方程為：y=x+2,

由1on得：+即尸°，2，

x+y-2=0[y=2

」.A8方程為：2(x+2)+2>'=2,即x+y+l=O,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由C知：A8方程為：(%+2)(x+2)+為y=2；

又%+為-2=0,即％=2-司，

」.A5方程可整理為：(x—y+2)%+2x+2)，+2=0,

3

“7+2=。得.*=.5

由/.A8過(guò)定點(diǎn)D正確.

2x+2y+2=0y=’

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過(guò)圓(x+a)2+(y+O)2=，上?點(diǎn)(天,%)作圓的切線，則切線方程為:

(Xo+〃)(x+a)+(%+b)(y+b)=/；過(guò)圓(x+a)?+(y+b)2=戶外一點(diǎn)伍,%)作圓的兩條切線，切點(diǎn)弦所在

直線方程為：(%+a)(x+4)+(%+b)(y+b)=r2.

20.(多選題)已知直線/:x-⑺+l=0(meR),圓C:。一心2+(>一2"1)2=1(丘R),則下列選項(xiàng)中正確

的是：)

A.圓心C的軌跡方程為y=2x—1

B.欠=-g時(shí)，直線/被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為白

C.若直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)為定值，則機(jī)=；

D.〃?=1時(shí)，若直線/與圓相切，則攵=近

【答案】BC

【分析】首先表示出圓心坐標(biāo)，即可判斷A,再求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，由弦長(zhǎng)公式判斷B,求出圓心到直線

的距離，當(dāng)距離為定值時(shí)，弦長(zhǎng)也為定值，即可判斷C,求出圓心到直線的距離，即可判斷D；

【詳解】解：圓。：。一女)2+(尸24-1)2=1(讓1<)的圓心坐標(biāo)為?；?4+1),

所以圓心C的軌跡方程為y=2x+l,故A錯(cuò)誤；

直線/:x-叼+l=0(mwR),令解得產(chǎn)=],即直線/恒過(guò)點(diǎn)M(-LO),

-y=u[y=u

當(dāng)—g時(shí)圓C：(x+g)2+y2=l,圓心為半徑r=i,又陷=_1_(_￡|=；,

所以直線/被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為26=75,故B正確；

對(duì)于C：若直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為定值，則圓心到直線的距離d=巴〃產(chǎn)討)臼=此2”一?刊為

4+1Vl2+m2

定值,

所以1一26=0,解得機(jī)=5，故C正確;

_\k-(2kl)^\_\\

對(duì)「D：當(dāng)加=1時(shí)直線/：x-y+l=o,圓心到直線的距離d+k

"+(-1)2上

當(dāng)網(wǎng)=近時(shí)dwi,此時(shí)直線與圓不相切，故D錯(cuò)誤;

故選：BC

21.（多選題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線2（m+l）x+（〃?-3）y+7—5〃2=0必過(guò)定點(diǎn)（1,3）

B.過(guò)點(diǎn)P（2,l）作圓/+丁=5的切線，切線方程為2x+y—5=0

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l/），傾斜角為。的直線方程為y-l=tan0（x-1）

D.直線2x-）-l=。在x軸上的截距為女，在y軸上的截距為1

【答案】AB

【分析】根據(jù)直線系的方程求解頂點(diǎn)即可判斷A；結(jié)合點(diǎn)在圓上求解切線判斷B；分夕和。=［討論判

斷C；直接求解直線在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，2（w+l）x+（/?i-3）y+7-5/n=（2x-3y+7）+wi（2A+y-5）=0,

故直線2（m+l）x+（6一3）y+7—5帆=0過(guò)2x-3y+7=0與2x+y-5=0的交點(diǎn)，

所以，聯(lián)立《二：；、）。得"=10=3,即直線2（機(jī)+l）x+（加一3）y+7—56:0必過(guò)定點(diǎn)（1,3）,故正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，點(diǎn)?（2,1）在丁+）,2=5上，圓心為（0,0）,所以切線的斜率為k=-2,所以切線方程為

y-l=-2（x-2）,即2%+>-5=0,故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（U）,傾斜角時(shí)，直線方程為yT=tanO（Al）,當(dāng)0=］時(shí)，直線方程為x=l,

故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，令x=0得丁=-1,令y=0得”=；,所以直線2x-y-1=0在x軸上的截距為g在y軸上的

截距為T,故錯(cuò)誤.

故選：AB

22.（多選題）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A8的

距離之比為定值4/lHl）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱

PA1

阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系工作中，人（-2,0）,8（4,0）,點(diǎn)/＞滿足,=彳.設(shè)點(diǎn)。的軌跡為。，下列結(jié)論正確的

roZ

是（）

A.C的方程為（x+4『+y2=9

B.在3軸上存在異于A8的兩定點(diǎn)DE,使得償=:

\PE\2

C.當(dāng)A脫尸三點(diǎn)不共線時(shí)，射線P0是ZAP8的平分線

D.在C上存在點(diǎn)M,使得|用。=2|加4|

【答案】BC

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（即力，由言=g可求出C的方程，即可判斷A；設(shè)。（〃?,0）,E（〃,o）,將需二g轉(zhuǎn)化為

代數(shù)形式，由點(diǎn)尸的軌跡為Y+y2+8x=o即可求出m,〃的值，即可判斷選項(xiàng)B；由周=g=爆

可得PO

是NAP5的平分線即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)M（x,），），由|知。=2|腸1|可得的方程，然后與C的方程聯(lián)立求

解可判斷D.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（天?。?，則由得二g可得gif衛(wèi)=g，化簡(jiǎn)可得（x+4）2+y2=16,故A錯(cuò)誤；

假設(shè)在％軸上存在異于A,8的兩定點(diǎn)。，E,使得黑=:，

\PE\2

設(shè)。（喝0）,上（〃,0）,由償■二:可得|啊=2|尸必

11L-J乙

BP+,2_2^x-m）2+y2化簡(jiǎn)可得：3AT+3y2—（8/n—2n）x+4w2—n2=0,

由點(diǎn)尸的軌跡為f+）/+8人=0可得8帆-2〃二一24,4m2-n2=0.

解得：m=-6f〃=—12或/n=—2,n=4（舍去），即存在￡）（-6,0）,E（-12,0）,

\PD\1

即存在點(diǎn)。,E，使得而商=不，故選項(xiàng)BiE確；

附2

OA1PA\

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)A,B,尸三點(diǎn)不共線時(shí)，由0=彳=/，可得P。是NAP8的平分線，故選項(xiàng)C正確；

C/o|Zrb\

若存在點(diǎn)M,使得|MO|=2|M4|,可設(shè)M(x,y),則在77=2加+2『+/,

化簡(jiǎn)可得丁+)，2+與工+4=0,與(x+4)2+y2=i6聯(lián)立可得方程組無(wú)解，

故不存在故D錯(cuò)誤.

故選：BC

23.(多選題)圓Qi：/+y2-2x=0和圓。2：爐+卜2+24-4、=0的交點(diǎn)為A,B,則()

A.公共弦4B所在直線的方程為x-y=()

B.線段48中垂線方程為x+y-1=0

C.公共弦A8的長(zhǎng)為也

2

D.P為圓&上一動(dòng)點(diǎn)，則P到直線A8距離的最大值為孝+1

【答案】ABD

【分析】?jī)蓤A方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A的正誤，求出圓0的圓心坐標(biāo)后求出垂直平分線

的方程后可判斷B的正誤，利用垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)后可判斷C的正誤，求出2到直線的距離后可求動(dòng)點(diǎn)到

直線距離的最大值，從而可判斷D的正誤.

22

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閳A。］：/+產(chǎn)-2工=0,Q2:x+y+2x-4y=0t

兩式作差可得公共弦48所在直線的方程為4x-4y=0,即x-y=0,故A正確：

對(duì)于B,圓2：/+丁-2%二0的圓心為(1,0),L=l，

則線段AB中垂線的斜率為T,即線段AB中垂線方程為y-0=-lx(x-l),

整理可得x+y-l=0,故B正確；

,、,卜Q3

對(duì)于C,圓心Q(1,0)到X-y=0的距離為"="+(.=~2，

又圓2的半徑r=l，所以|4回=2『'等、=及，故C不正確；

對(duì)于D,P為圓0上一動(dòng)點(diǎn)，圓心Q(L0)到x-y=0的距離為4=孝，

又圓2的半徑r=l，所以P到直線A8距離的最大值為4+1，故D正確.

故選：ABD.

24.若直線m被兩平行線《：x-y+l=O與/2"-)，+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為2拉，則〃?的傾斜角可以是

①15。，②30。，③45。，④60。，⑤75。.其中正確答案的序號(hào)是(寫出所有正確答案的序號(hào)).

【答案】①⑤

【分析】先求兩平行線間的距離為近，結(jié)合題意直線m被兩平行線所截得的線段的長(zhǎng)為2近得到直線機(jī)

與兩平行線的夾角為30。，再根據(jù)已知直線的傾斜角進(jìn)行求解.

設(shè)直線機(jī)與直線h6分別相交于點(diǎn)8,4,

則A8=2五，

過(guò)點(diǎn)4作直線/垂直于直線4,垂足為C,

則AC=d=&，

則在RtZXABC中，sinZABC=—=^=

AB~2\f2-2'

所以ZA8C=30,

又直線4的傾斜角為45。,

所以直線加的傾斜角為45+30=75或45-30=15.

故答案為：①⑤.

25.在直角坐標(biāo)系中，已知加(2,1)和直線/:x-y=0,試在直線/上找一點(diǎn)P,在x軸上找一點(diǎn)。，使三角

形MPQ的周長(zhǎng)最小，最小值為一.

【答案】屈

【分析】如圖，作關(guān)于直線，:”-y=0的對(duì)稱點(diǎn)N(l,2),作出"(2,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E(2,-1),

則連結(jié)EN,交直線/JF,交”軸則AMP。的周長(zhǎng)的最小值等于|NE|.

【詳解】解：如圖，作出河(2,1)關(guān)于直線/：x-y=O的對(duì)稱點(diǎn)N(l,2),

作出關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)打2-1),

連結(jié)EN,交直線/于P,交工軸于0，

.MP=PN,MQ=QE,

???三角形MPQ的周長(zhǎng)為線段極的長(zhǎng)，

由兩點(diǎn)間線段最短得此時(shí)三角形MPQ的周長(zhǎng)最小，

三角形MP。的周長(zhǎng)最小時(shí)，最小值為：|NE|=J(l-2)2+(2+1尸=M.

故答案為：A/10.

26.寫出與圓O:f+y2=l,圓q：(x-2)2+(y-2)2=l都相切的一個(gè)圓的方程.

【答案】。-2)2+丁=1(答案不唯一)

【分析】根據(jù)對(duì)稱性知，與圓。和圓01都相切的圓。的圓心O1在直線x+y-2=0上，進(jìn)而求得其中?個(gè)

圓的方程，得到答案.

【詳解】由題意，圓O:/+y2=i,圓a：(x—2)2+(y—2)2=l,

可得。(0,0)0(2,2),則四的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

根據(jù)對(duì)稱性知，與圓。和圓。1都相切的圓。'的圓心。'在直線工+)」2=0上，

設(shè)0f(2,0),則圓Ol3—2y+y2=/,

例如當(dāng)r=l,圓O':(x-2)2+y2=],

此時(shí)圓O'與圓。和圓Oi都相切，滿足題意.

故答案為：(x-2)2+丁=1(答案不唯一)

27.在平面直角坐標(biāo)系g中，已知“（3,0）,嗚0）,動(dòng)點(diǎn)。（X，y）滿足\粽QM卜\2,直線/：

|QN|

（2/〃+l）x-（4加-l）y+，〃一l=O（〃zwO）與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡交干4.8兩點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)Q軌跡的對(duì)稱中心為點(diǎn)C

則當(dāng)‘ABC面積最大時(shí)，直線/的方程為

【答案】y=x

【分析】利用需=2,求出點(diǎn)。的軌跡方程，求出直線/過(guò)定點(diǎn)P

,設(shè)々C￡>=6,結(jié)合直線與圓

的位置關(guān)系得到S.c=gx2co/exqcos。，即可求出二ABC面積最大時(shí)，直線/的方程.

+y

=2

【詳解】設(shè)。（怎y）,由題意得T=八二

化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為。1）2+/=1,圓心為C（l,0）,半徑為〃=1.

又由（2機(jī)+1）不一（46-l）y+m-1=0，可得（x+y-l）+m（2x-4y+l）=0.

1

x=—,

x+y-1=0,人,2

則由?2—解得

y

2

所以直線/過(guò)定點(diǎn)?

=六，

因?yàn)?-

所以點(diǎn)PT2在圓C的內(nèi)部.

作直線CD_L/,垂足為。，設(shè)=0弓，

0--

此時(shí)CP_L/,又3=―^-=-1

1--

2

所以直線/的斜率為4=1,

所以直線/的方程為丁二工

故答案為：y=x

28.若圓C(x+iy+()，-2)2=2關(guān)于直線2奴+勿+6=0對(duì)稱，由點(diǎn)P(“力)向圓C作切線，切點(diǎn)為A,則網(wǎng)

的最小值是,

【答案】4

【分析】由題意知圓心C(-l,2)在直線2奴+臥+6=0上，于是有。-5-3=0,即可得P(a,b)在直線

x-y-3=0±,作出圖象，由圖可得當(dāng)CP與直線4-丁-3=0垂直時(shí)，|PA|有最小值，在RiZ\PC4中由勾股

定理求解即可.

【詳解】解：由題意知，直線2奴+緲+6=0過(guò)圓心C(—1,2),即一加+給+6=0,

化簡(jiǎn)得3=0,

所以pg㈤在直線x-y-3=0上，如圖，為使|P4|最小,

只需圓心c(—L2)與直線X-y-3=0上的點(diǎn)、的距離最小,

如圖所示：

故答案為：4.

29.(1)已知兩點(diǎn)43,-3),5(5,1),直線/:y=x,在直線，上求一點(diǎn)產(chǎn)，使+最小.

(2)已知兩點(diǎn)4-3,3),5(5,1),直線/:y=x,在直線，上求一點(diǎn)P,使11%1-1尸訓(xùn)最大.

【答案】(1)尸9仁,9*;(2)0(9,9)

【分析】(1)先取作點(diǎn)A關(guān)于/對(duì)稱點(diǎn)4,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合不等式分析可得|網(wǎng)+歸目=|知1+|四之同回,

運(yùn)算求解；(2)先取作點(diǎn)A關(guān)于/對(duì)稱點(diǎn)A,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合不等式分析可得|附|-|戶圳=儼劃-陛帆4'網(wǎng),

運(yùn)算求解.

【詳解】(1)如圖1：43,-3),8(5,1)位于直線/:y=x的同側(cè)

作點(diǎn)4(3,-3)關(guān)于/對(duì)稱點(diǎn)4，，則4(-3,3),連接A'B交I于P,

?：\PA+\P^=\PA^\P^>\ArB\,則|削十|P同最小值為|A冏

,1-31I,、

直線/VB的斜率⑥8=5—(-3)=一“直線A力的方程：y-3=--(x+3),即x+4y-9=0

x=—9

x+4y-9=0/599

聯(lián)立，得，.即“相?

ffll

(2)如圖2：4-3,3),4(5,1)位于直線/:y=x的異側(cè)

作點(diǎn)4(-3,3)關(guān)于/對(duì)稱點(diǎn)4,則4(3,-3),連接48延長(zhǎng)交/于P，

???惘-阿|=儼刈-附3槨|,即||為一歸身最大值為|48|,

育線4A的斜率心，=上@=2.直線A0的方程：y+3=2(x—3),即2x-y-9=0

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