希望杯第四屆(1993年)初中一年級(jí)第二試試題

東莞群英學(xué)校初中數(shù)學(xué)科組古統(tǒng)方整理希望杯第四屆（1993年）初中一年級(jí)第二試試題選擇題:（每題1分，共10分）1.的值是[]A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909．2．一滴墨水灑在一個(gè)數(shù)軸上，根據(jù)圖24中標(biāo)出的數(shù)值，可以判定墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)是[]A．285． B．286．C．287． D．288．3．a(chǎn)，b都是有理數(shù)，代數(shù)式a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值為正的共有[]A．3個(gè)． B．4個(gè)．C．5個(gè)． D．6個(gè)．4．a(chǎn)，b，c在數(shù)軸上的位置如圖25所示,則下列代數(shù)式中其值為正的一個(gè)是 []A.;B.;C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).5．1993+9319的末位數(shù)字是 []A．2． B．4．C．6． D．8．6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第1993A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．7．n為正整數(shù)，302被n(n+1)除所得商數(shù)q及余數(shù)r都是正值．則r的最大值與最小值的和是 []A．148． B．247．C．93． D．122．8．絕對(duì)值小于100的所有被3除余1的整數(shù)之和等于 []A．0． B．-32．C．33． D．-33．9．x是正數(shù)，<x>表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，如<5.1>=3．即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2，3，5共3個(gè)．那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是[]A．12． B．11．C．10． D．9．10．如圖26是一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形．兩個(gè)陰影圖形都是一對(duì)長(zhǎng)為c的底邊在矩形對(duì)邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為[]A.ab-(a+b)c．B．a(chǎn)b-(a-b)c．C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．二、填空題（每題1分，共10分）1．在1993.4與它的負(fù)倒數(shù)之間共有a個(gè)整數(shù)．在1993.4與它的相反數(shù)之間共有b個(gè)整數(shù),在-與它的絕對(duì)值之間共有c個(gè)整數(shù),則a+b+c=_________.2．設(shè)a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，則(b÷a)÷(c÷d)=______．3．兩個(gè)同樣的大小的正方體形狀的積木．每個(gè)正方形上相對(duì)的兩個(gè)面上寫的數(shù)之和都v等于-1，現(xiàn)將兩個(gè)正方體并列放置．看得見的五個(gè)面上的數(shù)字如圖27所示，則看不見的七個(gè)面上的數(shù)的和等于______．4．計(jì)算:=__________.5.是一個(gè)五位自然數(shù),其中a,b,c,d，e為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且a＜b＜c＜d，則|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．6．連續(xù)的1993個(gè)自然數(shù)之和恰是一個(gè)完全平方數(shù)．則這1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)的最小值是______．7．某次競(jìng)賽滿分為100分，有六個(gè)學(xué)生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他們六個(gè)人的平均分為91分，第六名的得分是65分．則第三名的得分至少是______分．8.計(jì)算:=________.9．若a，b，c，d為非負(fù)整數(shù)．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．則a+b+c+d=______．10．有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)去林中采蘑菇．平均每個(gè)采得蘑菇的個(gè)數(shù)約是一個(gè)十位數(shù)字為3的兩位數(shù),又知甲采的數(shù)量是乙的,乙采的數(shù)量是丙的倍,丁比甲多采了3個(gè)蘑菇,則丁采蘑菇______個(gè).三、解答題（在試卷背面寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共10分）(-6)-15=-21．5．若a＜b＜c＜d≤e時(shí)|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．當(dāng)e=9，a=1時(shí)取最大值為8．若a＜b＜c＜d，且d＞e時(shí)．|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．當(dāng)d=9，a=1，e=0時(shí)，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．6．設(shè)這連續(xù)的1993個(gè)自然數(shù)為x-996，x-995，…，x-1，x，x+1，x+2，…，x+995，x+996．顯然．x-996≥1，即x≥997．這1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和設(shè)為σ．則σ=1993x，要求σ為完全平方數(shù)，而1993又是質(zhì)數(shù)，x的最小值為1993．此時(shí)，1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)x+996=1993+996=2989，即當(dāng)σ為完全平方數(shù)時(shí)，1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)的最小值是2989．7．設(shè)六個(gè)人的成績(jī)依次為x1，x2，x3，x4，x5，x6．則65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481．要使x3最小，必須x1，x2盡可能大，x4，x5盡可能接近x3，所以當(dāng)x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2時(shí)，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481．3x3=481-100-99+3=285．x3=95．答：第三名的得分至少是95分．9．因?yàn)?993是質(zhì)數(shù)，a2+b2與c2+d2都是正整數(shù)，所以a2+b2與c2+d2分別取值1與1993（參見第一試填空第7題解答）．為確定起見；，不妨設(shè)a2+b2=1，c2+d2=1993．(1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993．若c≤31，d≤31，則c2+d2≤2×312=2×961=1922＜1993．所以c，d中至少有一個(gè)大于31．又由于442=1936＜1993，故設(shè)c為c，d中較大的一個(gè)，則32≤c≤44．我們依次取c=44，43，42，41，…，33，32試算如下：其中1933-c2的結(jié)果中，只有144=122為完全平方數(shù)，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55．所以a+b+c+d=1+55=66．一個(gè)近似為首位的是3的兩位整數(shù)．因此，由近似數(shù)的表示有23.5…≤x≤31.5…因x是整數(shù)，x只能從24，25，26，27，28，29，30，31中選?。虼酥荒苡衳=30，即丙采30個(gè)蘑菇．此時(shí)，乙采45個(gè)蘑菇，甲采36個(gè)蘑菇，因此丁采39個(gè)蘑菇．舍五入，約為38是個(gè)十位數(shù)是3的兩位數(shù)．三、解答題1．如圖30已有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余正方形的邊長(zhǎng)依次填在每個(gè)正方形中，它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形對(duì)邊相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z化簡(jiǎn)上述的兩個(gè)方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y．因?yàn)?8與49互質(zhì)，所以x、y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，此時(shí)z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形長(zhǎng)、寬的表達(dá)式11x+3y及8x+8y-3z，得長(zhǎng)、寬分別為593和422．此時(shí)得最小面積值是593×422=250246．2．答：找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)理由如下：如果存在整數(shù)a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．因?yàn)?388是偶數(shù)，則左邊四個(gè)因子中至少有一個(gè)是偶數(shù)．不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù),則a-b+