希望杯第三屆(1992年)初中一年級第二試題

東莞群英學(xué)校初中數(shù)學(xué)科組古統(tǒng)方整理希望杯第三屆（1992年）初中一年級第二試題一、選擇題（每題1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，則0.80473等于 []A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823．2．若一個數(shù)的立方小于這個數(shù)的相反數(shù)，那么這個數(shù)是 []A．正數(shù)． B．負數(shù)．C．奇數(shù)． D．偶數(shù)．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，則下列關(guān)系式中正確的是 []A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a(chǎn)＞b＞-a＞-b．4．在1992個自然數(shù)：1，2，3，…，1991，1992的每一個數(shù)前面任意添上“+”號或“-”號，則其代數(shù)和一定是 []A．奇數(shù)． B．偶數(shù)．C．負整數(shù)． D．非負整數(shù)．5．某同學(xué)求出1991個有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把這個平均數(shù)和原來的1991個有理數(shù)混在一起，成為1992個有理數(shù)，而忘掉哪個是平均數(shù)了．如果這1992個有理數(shù)的平均數(shù)恰為1992．則原來的1991個有理數(shù)的平均數(shù)是 []A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．6．四個互不相等的正數(shù)a，b，c，d中，a最大,d最小,且,則a+d與b+c的大小關(guān)系是[]A．a(chǎn)+d＜b+c． B．a(chǎn)+d＞b+c．C．a(chǎn)+d=b+c． D．不確定的．7.已知p為偶數(shù),q為奇數(shù),方程組的解是整數(shù),那么[]A.x是奇數(shù)，y是偶數(shù)．B．x是偶數(shù)，y是奇數(shù)．C．x是偶數(shù)，y是偶數(shù)．D．x是奇數(shù)，y是奇數(shù)．8．若x-y=2，x2+y2=4，則x1992+y1992的值是 []A．4． B．19922．C．21992． D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數(shù)，并且3x-2y=1，那么代數(shù)式10x+y可以取到[]不同的值．A．1個． B．2個．C．3個． D．多于3個的．10．某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計如圖15所示．如果每個符號（窗戶形狀）代表一個阿拉伯?dāng)?shù)碼，每橫行三個符號自左至右看成一個三位數(shù)．這四層組成四個三位數(shù)，它們是837，571，206，439．則按照圖15中所示的規(guī)律寫出1992應(yīng)是圖16中的[]二、填空題（每題1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六個有理數(shù),關(guān)且則=_____.2．若三個連續(xù)偶數(shù)的和等于1992．則這三個偶數(shù)中最大的一個與最小的一個的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，a+b,a的形式,又可表示為0,,b,的形式,則a1992+b1993=________.5．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個數(shù)的,又扔掉4個到大海中去,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的,那么這堆核桃至少剩下____個.6．已知不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3．那么a的取值范圍是______．7．a(chǎn)，b，c是三個不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)．已知它們?nèi)我鈨蓚€之和都能被第三個整除．則a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，則a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個10個自然數(shù)填到圖17中10個格子里，每個格子中只填一個數(shù)，使得田字形的4個格子中所填數(shù)字之和都等于p．則p的最大值是______．10．購買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表：與666，所以最大的一個偶數(shù)與最小的一個偶數(shù)的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項表示為含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000-2(-496)=1992．4．由于三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．設(shè)這堆核桃共x個．依題意我們以m表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即目標(biāo)是求m的最小正整數(shù)值．可知，必須20|x即x=20，40，60，80，……m為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下6個．由于x取整數(shù)解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三個整除，應(yīng)有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因為a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個格子中，按田字格4個數(shù)之和均等于p，其總和為3p，其中居中2個格子所填之?dāng)?shù)設(shè)為x與y，則x、y均被加了兩次，所以這3個田字形所填數(shù)的總和為2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必須x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整數(shù)值應(yīng)為28．事實上，如圖19所示可以填入這10個數(shù)使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價分別為x1，x2，x3，x4，x5元．則依題意列得關(guān)系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以購買每種教具各一件共需1000元．三、解答題1．解①（邏輯推理解）我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數(shù)是987654321．但這個數(shù)不是11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，尋求能被11整除的最大的由這九個數(shù)碼組成的九位數(shù)．設(shè)奇位數(shù)字之和為x，偶位數(shù)字之和為y．則x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判別法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y與x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇數(shù)，所以x-y也只能取奇數(shù)值11或33．于是有但所排九位數(shù)偶位數(shù)字和最小為1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應(yīng)該排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位數(shù)字和為25，偶位數(shù)字和為20，所以必須調(diào)整數(shù)字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調(diào)整最后四位數(shù)碼，排成987652413即為所求．解②（觀察計算法）987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數(shù)．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數(shù)字2，多數(shù)字6．于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個數(shù)字組成的九位數(shù)為止．其過程是987654316→987654305→987654294→987654283→987654272→987654261→987654250→987654239→987654228→987654217→987654206→987654195→987654184→……→987652435→987652424→987652413．這其間要減去173次11，最后得出一個恰由九個數(shù)碼組成的九位數(shù)987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學(xué)生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考．2．(1)答：由于428571=3×142857，所以428571是一個“希望數(shù)”．說明：一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個“希望數(shù)”．這實際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對象存在．在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”．而在四位數(shù)中很容易找到實例．如：3105=3×1035，所以3105是個“希望數(shù)”；或：7425=3×2475，所以7425是個“希望數(shù)”；或：857142=3×285714，所以857142是個“希望數(shù)”；以下我們再列舉幾個同學(xué)們舉的例子供參考，如：37124568=3×1237485643721586=3×14573862692307=3×230769461538=3×153846705213=3×2350718579142=3×2859714594712368=3×19823745637421568=3×12473856341172=3×113724．可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數(shù)，事實上用3105是希望數(shù)，可知31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個“希望數(shù)”．因此，“希望數(shù)”有無窮多個．(2)由a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”