2025年岳麓版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年岳麓版高一數(shù)學(xué)上冊月考試卷919考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、下列說法中，正確的是()A.頻率分布直方圖中各小長方形的面積不等于相應(yīng)各組的頻率;B.一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的平方;C.數(shù)據(jù)2，3，4，5的方差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的方差的一半;D.一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大.2、【題文】函數(shù)的反函數(shù)的圖象大致是（）3、【題文】若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于（）A.或B.或C.或D.或4、把函數(shù)y=cos2x+sin2x的圖象向左平移m（其中m＞0）個單位，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是（）A.B.C.D.5、閱讀程序框圖；運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）

A.3B.4C.5D.66、下列函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A.f（x）=g（x）=x-1B.f（u）=g（v）=C.f（x）=1，g（x）=x0D.f（x）=x，g（x）=7、化簡：+-=（）A.B.C.2D.-2評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、等差數(shù)列{an}中，若a2+a4+a5+a6+a8=450，則a2+a8=____．9、的定義域是____．10、【題文】將直線繞著它上面的一點逆時針旋轉(zhuǎn)得直線則直線的方程為____11、【題文】點在直線的左上方，則的取值范圍是____.12、【題文】點到直線的距離是________________.13、用二分法求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，4]上零點的近似解，經(jīng)驗證有f（2）?f（4）＜0．取區(qū)間的中點為x1=3，計算得f（2）?f（x1）＜0，則此時零點x0∈____（填區(qū)間）14、若函數(shù)f（x）=sinx和定義域均是[-π，π]，則它們的圖象上存在______個點關(guān)于y軸對稱．評卷人得分三、證明題(共6題，共12分)15、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個半徑為的圓紙片所覆蓋．17、如圖；過圓O外一點D作圓O的割線DBA，DE與圓O切于點E，交AO的延長線于F，AF交圓O于C，且AD⊥DE．

（1）求證：E為的中點；

（2）若CF=3，DE?EF=，求EF的長．18、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．19、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．評卷人得分四、解答題(共3題，共6分)21、已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，且Sn=（an-1）（n∈N*）．

（1）求a1，a2，a3；

（2）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

22、【題文】已知點和圓．

（Ⅰ）過點的直線被圓所截得的弦長為求直線的方程；

（Ⅱ）若的面積且是圓內(nèi)部第一；二象限的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)。

的點稱為整點），求出點的坐標(biāo)．23、設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+婁脮)(鈭?婁脨<婁脮<0)y=f(x)

圖象的一條對稱軸是直線x=婁脨8

．

(

Ⅰ)

求婁脮

(

Ⅱ)

求函數(shù)y=f(x)

的單調(diào)增區(qū)間．評卷人得分五、作圖題(共1題，共7分)24、如圖A、B兩個村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費用最省，并求出其費用．評卷人得分六、綜合題(共3題，共21分)25、拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），頂點為M點．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）試判斷拋物線上是否存在一點P；使∠POM=90°．若不存在，說明理由；若存在，求出P點的坐標(biāo)．

（3）試判斷拋物線上是否存在一點K，使∠OMK=90°，若不存在，說明理由；若存在，求出K點的坐標(biāo)．26、如圖，拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，D為頂點．

（1）D點坐標(biāo)為（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判斷△BCD的形狀．

（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo)，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．27、如圖，由矩形ABCD的頂點D引一條直線分別交BC及AB的延長線于F，G，連接AF并延長交△BGF的外接圓于H；連接GH，BH．

（1）求證：△DFA∽△HBG；

（2）過A點引圓的切線AE，E為切點，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的長；

（3）在（2）的條件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】試題分析：對于Ａ．頻率分布直方圖中各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，故Ａ錯；對于Ｂ.一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是這組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根，故Ｂ錯；對于Ｃ.數(shù)據(jù)2，3，4，5的方差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的方差的四分之一，故Ｃ錯；對于Ｄ.一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大這是正確的，這正是方差的特性；故選D．考點：頻率分布直方圖、標(biāo)準(zhǔn)差、方差．【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

試題分析：設(shè)直線與曲線相切的切點為利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：

解得或當(dāng)時，直線為軸，與相切，即解得當(dāng)時，直線為與拋物線聯(lián)立，整理得：因為相切，所以解得故選A．

考點：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．求切線方程．【解析】【答案】A4、B【分析】【解答】解：把函數(shù)y=cos2x+sin2x=2sin（2x+）的圖象向左平移m（其中m＞0）個單位，可得y=2sin[2（x+m）+]=2sin（2x+2m+）的圖象；

所得圖象關(guān)于y軸對稱，則2m+=kπ+k∈Z，即m=kπ+故正數(shù)m的最小值是

故選：B．

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用所得圖象關(guān)于y軸對稱求出φ的值，從而求得m的最小值．5、A【分析】【分析】利用循環(huán)體，計算每執(zhí)行一次循環(huán)后a的值，即可得出結(jié)論．那么可知第一次循環(huán)，i=1，a=2；第二次循環(huán)，i=2，a=2×2+1=5；第三次循環(huán)，i=3，a=3×5+1=16；退出循環(huán)，此時輸出的值為3，故答案為A。6、B【分析】解：A；函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}；函數(shù)g（x）的定義域為R，定義域不同，故不是相同函數(shù)；

B；兩函數(shù)三要素相同；故兩函數(shù)相同；

C；函數(shù)f（x）的定義域為R；函數(shù)g（x）的定義域為{x|x≠0}，故兩函數(shù)不同；

D、因為故兩函數(shù)不同．

綜上可得B項正確．

故選：B．

逐項判斷即可．兩個函數(shù)相同則需定義域；值域、對應(yīng)法則都相同．A、定義域不同；B、函數(shù)三要素都相同；C、定義域不同；D、對應(yīng)法則不同．

本題考查函數(shù)的概念和函數(shù)相等的判斷．正確掌握判斷方法是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．【解析】【答案】B7、A【分析】解：+-===．

故選：A．

利用向量加法法則求解．

本題考查向量的化簡求值，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量加法法則的合理運(yùn)用．【解析】【答案】A二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a8=a4+a6=2a5；

代入已知可得（a2+a8）=450；

解得a2+a8=450×=180

故答案為：180

【解析】【答案】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a8=a4+a6=2a5，整體代入可得關(guān)于a2+a8的方程；解之即可．

9、略

【分析】

要使原函數(shù)有意義，則解得：x≤1且x≠-1．

所以原函數(shù)的定義域是（-∞；-1）∪（-1，1]．

故答案為（-∞；-1）∪（-1，1]．

【解析】【答案】求使函數(shù)式中分式部分的分母不等于0；根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0的自變量x的取值集合，然后取交集即可．

10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】【解析】【答案】13、（2，3）【分析】【解答】解：由題意可知：對于函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2；4]上；

有f（2）?f（4）＜0；

利用函數(shù)的零點存在性定理；所以函數(shù)在（2，4）上有零點．

取區(qū)間的中點x1==3；

∵f（2）?f（x1）＜0；

∴利用函數(shù)的零點存在性定理；函數(shù)在（2，3）上有零點．

故答案為：（2；3）．

【分析】方程的實根就是對應(yīng)函數(shù)f（x）的零點，由f（2）?f（x1）＜0知，f（x）零點所在的區(qū)間為（2，x1），進(jìn)而得到答案14、略

【分析】解：在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=sinx和的圖象；

其中x∈[-π；π]，如圖所示；

則f（x）的圖象上存在2個點關(guān)于y軸對稱；分別是（-π，0）和（π，0）與（0，0）；

g（x）的圖象上存在2個點關(guān)于y軸對稱，分別是（-π，-）和（π，-）與（0）．

故答案為：2．

根據(jù)題意，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）=sinx和的圖象；

其中x∈[-π；π]，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．

本題考查了正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．【解析】2三、證明題(共6題，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據(jù)相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據(jù)已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應(yīng)取均分線圈的二點連線段中點作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點R，Q，使R、Q將線圈分成等長兩段，每段各長l．又設(shè)RQ中點為G，M為線圈上任意一點，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個線圈．17、略

【分析】【分析】要證E為中點，可證∠EAD=∠OEA，利用輔助線OE可以證明，求EF的長需要借助相似，得出比例式，之間的關(guān)系可以求出．【解析】【解答】（1）證明：連接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圓O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

?OE∥AD

=＞E為的中點．

（2）解：連CE；則∠AEC=90°，設(shè)圓O的半徑為x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圓O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE?EF=AD?CF

DE?EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC?FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現(xiàn)；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質(zhì)知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)和逆定理可得CF∥BE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．四、解答題(共3題，共6分)21、略

【分析】

∵Sn=（an-1）；

∴S1=（a1-1），∴a1=-

∵S2=（a2-1），∴a2=

∵S3=（a3-1），∴a3=-

（2）證明：∵Sn=（an-1）；

∴Sn-1=（an-1-1）；

兩式相減：an=（an-an-1）；

∴當(dāng)n≥2時，

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

【解析】【答案】（1）利用數(shù)列遞推式；代入計算，可得結(jié)論；

（2）再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

（1）22、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時，弦長為不符合要求.因此可設(shè)直線的斜率為根據(jù)點斜式寫出直線方程求出圓心到直線的距離再由勾股定理得到：解得（Ⅱ）連結(jié)求出圓與軸的兩個交點并連結(jié)得到因此要使那么點必在經(jīng)過點且與直線平行的直線上.結(jié)合點所在象限，可以求出為

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時，弦長為不符合要求；

因此設(shè)直線的斜率為那么直線的方程為：

所以圓心到直線的距離又因為半徑弦長為

所以解得：

所以所求直線方程為：或

（Ⅱ）連結(jié)點滿足

過作直線的平行線．

∵

∴直線的方程分別為：

設(shè)點（且）

∴

解得：

∵且在上對應(yīng)的

∴滿足條件的點存在，共有2個，它們的坐標(biāo)分別為：

考點：直線與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，直線方程.【解析】【答案】（Ⅰ）方程為：或（Ⅱ）23、略

【分析】

(I)

根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱軸方程，得函數(shù)f(x)

圖象的對稱軸方程為2x+?=婁脨2+k婁脨(k隆脢Z).

再將x=婁脨8

代入得到關(guān)于?

的等式，結(jié)合鈭?婁脨<?<0

可得?

的值；

(II)

由(I)

得f(x)=sin(2x鈭?3婁脨4)

由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，建立關(guān)于x

的不等式，解之即可得到y(tǒng)=f(x)

的單調(diào)增區(qū)間．

本題給出三角函數(shù)圖象的一條對稱軸，求函數(shù)的解析式并求單調(diào)增區(qū)間.

著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性以圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．【解析】解：(I)

函數(shù)f(x)=sin(2x+?)

圖象的對稱軸方程為2x+?=婁脨2+k婁脨(k隆脢Z)

．

隆脽

直線x=婁脨8

是函數(shù)圖象的一條對稱軸，隆脿2?婁脨8+?=婁脨2+k婁脨(k隆脢Z)

結(jié)合鈭?婁脨<?<0

取k=鈭?1

得?=鈭?3婁脨4

(II)

由(I)

得函數(shù)解析式為f(x)=sin(2x鈭?3婁脨4)

令鈭?婁脨2+2m婁脨鈮?2x鈭?3婁脨4鈮?婁脨2+2m婁脨(m隆脢Z)

得婁脨8+m婁脨鈮?x鈮?5婁脨8+m婁脨(m隆脢Z)

隆脿

函數(shù)y=f(x)

的單調(diào)增區(qū)間是[婁脨8+m婁脨,5婁脨8+m婁脨](m隆脢Z)

．五、作圖題(共1題，共7分)24、略

【分析】【分析】作點A關(guān)于河CD的對稱點A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時，鋪設(shè)管道的費用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽cA關(guān)于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設(shè)的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關(guān)于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費用為10000元．六、綜合題(共3題，共21分)25、略

【分析】【分析】（1）將A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三點坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，列方程組求a、b；c的值；得出拋物線解析式；

（2）拋物線上存在一點P，使∠POM=90?．設(shè)（a，a2-4a）；過P點作PE⊥y軸，垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F，利用互余關(guān)系證明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）拋物線上必存在一點K，使∠OMK=90?．過頂點M作MN⊥OM，交y軸于點N，在Rt△OMN中，利用互余關(guān)系證明△OFM∽△MFN，利用相似比求N點坐標(biāo)，再求直線MN解析式，將直線MN解析式與拋物線解析式聯(lián)立，可求K點坐標(biāo)．【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，解得；

∴拋物線的解析式為y=x2-4x；

（2）拋物線上存在一點P；使∠POM=90?．

x=-=-=2，y===-4；

∴頂點M的坐標(biāo)為（2；-4）；

設(shè)拋物線上存在一點P，滿足OP⊥OM，其坐標(biāo)為（a，a2-4a）；

過P點作PE⊥y軸；垂足為E；過M點作MF⊥y軸，垂足為F．

則∠POE+∠MOF=90?；∠POE+∠EPO=90?．

∴∠EPO=∠FOM．

∵∠OEP=∠MFO=90?；

∴Rt△OEP∽Rt△MFO．

∴OE：MF=EP：OF．

即（a2-4a）：2=a：4；

解得a1=0（舍去），a2=；

∴P點的坐標(biāo)為（，）；

（3）過頂點M作MN⊥OM；交y軸于點N．則∠FMN+∠OMF=90?．

∵∠MOF+∠OMF=90?；

∴∠MOF=∠FMN．

又∵∠OFM=∠MFN=90?；

∴△OFM∽△MFN．

∴OF：MF=MF：FN．即4：2=2：FN．∴FN=1．

∴點N的坐標(biāo)為（0；-5）．

設(shè)過點M，N的直線的解析式為y=kx+b，則；

解得，∴直線的解析式為y=x-5；

聯(lián)立得x2-x+5=0，解得x1=2，x2=；

∴直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．

另一個交點K的坐標(biāo)為（，-）；

∴拋物線上必存在一點K，使∠OM