八上競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷

八上競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.在下列各數(shù)中，有理數(shù)是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\sqrt[3]{-8}$

D.$-\sqrt{3}$

2.若等式$a^{2}-4a+4=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是$x_{1}$和$x_{2}$，則$x_{1}+x_{2}$的值為（）

A.0

B.4

C.2

D.-2

3.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，則$\cos\alpha$的值為（）

A.$\frac{4}{5}$

B.$-\frac{4}{5}$

C.$\frac{3}{5}$

D.$-\frac{3}{5}$

4.已知$a$，$b$是方程$x^{2}+px+q=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且$a+b=-p$，$ab=q$，則方程$x^{2}+px+q=0$的解為（）

A.$x_{1}=a$，$x_{2}=b$

B.$x_{1}=-a$，$x_{2}=-b$

C.$x_{1}=a$，$x_{2}=-b$

D.$x_{1}=-a$，$x_{2}=b$

5.若等比數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)為$a_{1}$，公比為$q$，則$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$的值為（）

A.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=a_{1}q^{n}$

B.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}$

C.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

D.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=\frac{a_{1}(1-q)}{1-q^{n}}$

6.若等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)為$a_{1}$，公差為$d$，則$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$的值為（）

A.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=na_{1}+d$

B.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=na_{1}+d+1$

C.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=na_{1}+d+n$

D.$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=na_{1}+d+\frac{n(n+1)}{2}d$

7.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z+1|=|z-1|$，則$z$所在的軌跡是（）

A.$y$軸

B.$x$軸

C.第一象限

D.第二象限

8.已知函數(shù)$f(x)=ax^{2}+bx+c$，其中$a$，$b$，$c$是實(shí)數(shù)，且$a>0$，$b>0$，$c>0$，則下列結(jié)論正確的是（）

A.$f(x)$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在$x$軸上方

B.$f(x)$的圖像開口向下，且頂點(diǎn)在$x$軸上方

C.$f(x)$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在$x$軸下方

D.$f(x)$的圖像開口向下，且頂點(diǎn)在$x$軸下方

9.若函數(shù)$f(x)=a(x-1)^{2}+b$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,2)$，則$a$，$b$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=2$

B.$a=2$，$b=1$

C.$a=1$，$b=3$

D.$a=3$，$b=1$

10.若函數(shù)$f(x)=ax^{2}+bx+c$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)為$(1,0)$，$(2,0)$，則$a$，$b$，$c$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=-1$，$c=0$

B.$a=1$，$b=-2$，$c=0$

C.$a=1$，$b=1$，$c=0$

D.$a=1$，$b=2$，$c=0$

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,0)$是第一象限的點(diǎn)。（）

2.所有二次函數(shù)的圖像都是拋物線。（）

3.若$a$，$b$是方程$x^{2}+px+q=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$p^{2}-4q>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（）

4.若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)，則$a+b+c=3b$。（）

5.在直角坐標(biāo)系中，任意兩個(gè)點(diǎn)都可以用直線連接。（）

三、填空題

1.已知等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)$a_{1}=2$，公差$d=3$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}$的值為______。

2.若等比數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)$a_{1}=1$，公比$q=\frac{1}{2}$，則前$5$項(xiàng)的和$S_{5}$的值為______。

3.函數(shù)$f(x)=x^{2}-4x+3$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______和______。

4.復(fù)數(shù)$z=3+4i$的模$|z|$的值為______。

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(2,-3)$關(guān)于$y$軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并舉例說(shuō)明。

2.如何判斷一個(gè)二次函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下？請(qǐng)給出判斷方法。

3.若已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為$3$和$4$，求斜邊的長(zhǎng)度。

4.簡(jiǎn)述復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則，并給出一個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的例子。

5.如何求一個(gè)二次方程的根？請(qǐng)舉例說(shuō)明求解過(guò)程。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列表達(dá)式的值：$(-2)^{3}\times(-5)^{2}\div5$。

2.解下列方程：$2x^{2}-5x+3=0$。

3.求等比數(shù)列$\{a_{n}\}$的前$10$項(xiàng)和，其中$a_{1}=3$，$q=\frac{1}{2}$。

4.已知直角三角形的兩個(gè)銳角分別為$30^\circ$和$60^\circ$，求該三角形的斜邊長(zhǎng)。

5.解下列不等式組：$\begin{cases}x+2y\geq3\\2x-y<1\end{cases}$。

六、案例分析題

1.案例背景：

某學(xué)校為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，決定對(duì)八年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽。競(jìng)賽內(nèi)容包括選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題和計(jì)算題。以下是競(jìng)賽的一部分題目：

選擇題：

（1）如果$a$和$b$是方程$x^{2}-5x+6=0$的兩個(gè)根，那么$a+b$的值是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

填空題：

（2）已知等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_n=3n^2-2n$，則該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$為______。

簡(jiǎn)答題：

（3）請(qǐng)簡(jiǎn)述如何利用勾股定理求解直角三角形的邊長(zhǎng)。

計(jì)算題：

（4）解不等式組$\begin{cases}2x-3y\leq6\\x+4y\geq4\end{cases}$。

案例分析：

請(qǐng)分析上述競(jìng)賽題目在考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和能力方面的優(yōu)缺點(diǎn)。從以下幾個(gè)方面進(jìn)行討論：

-題目是否覆蓋了八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中的主要知識(shí)點(diǎn)。

-題目的難度是否適合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平。

-題目的設(shè)計(jì)是否能夠有效地評(píng)估學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2.案例背景：

某八年級(jí)班級(jí)在準(zhǔn)備數(shù)學(xué)期末考試前，數(shù)學(xué)老師發(fā)現(xiàn)班級(jí)中有一些學(xué)生對(duì)某些數(shù)學(xué)概念理解不夠深入，例如函數(shù)的概念和性質(zhì)。為了幫助學(xué)生更好地掌握這些知識(shí)點(diǎn)，老師設(shè)計(jì)了一個(gè)課堂活動(dòng)。

課堂活動(dòng)包括以下步驟：

-老師首先通過(guò)PPT展示了一些基本的函數(shù)圖像，如線性函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

-然后讓學(xué)生分組討論，每組選擇一個(gè)函數(shù)圖像，分析其性質(zhì)和定義域、值域。

-學(xué)生分組后，每組需要準(zhǔn)備一個(gè)簡(jiǎn)短的報(bào)告，向全班同學(xué)介紹他們所研究的函數(shù)。

-最后，老師對(duì)每個(gè)小組的報(bào)告進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并解答學(xué)生在討論過(guò)程中提出的問(wèn)題。

案例分析：

請(qǐng)分析這個(gè)課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)是否合理，并從以下幾個(gè)方面進(jìn)行討論：

-活動(dòng)是否能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的概念和性質(zhì)。

-活動(dòng)是否鼓勵(lì)學(xué)生之間的合作和交流。

-活動(dòng)是否能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解和應(yīng)用。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

小明家種了$x$棵蘋果樹，每棵樹平均產(chǎn)蘋果$y$個(gè)。今年小明家的蘋果總產(chǎn)量比去年增加了$20\%$。如果去年小明家蘋果的總產(chǎn)量為$1200$個(gè)，求今年小明家蘋果的總產(chǎn)量。

2.應(yīng)用題：

一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為$l$厘米，寬為$w$厘米。如果長(zhǎng)方形的面積是$30$平方厘米，寬比長(zhǎng)少$2$厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

3.應(yīng)用題：

一個(gè)商店正在促銷，每件商品打$8$折。如果小明原計(jì)劃購(gòu)買$10$件商品，每件商品價(jià)格為$100$元，現(xiàn)在他打算只購(gòu)買$8$件商品。求小明現(xiàn)在需要支付的總金額。

4.應(yīng)用題：

一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為$b$厘米，腰長(zhǎng)為$a$厘米。如果三角形的周長(zhǎng)為$P$厘米，求底邊與腰長(zhǎng)的關(guān)系。如果$P=30$厘米，且$a=10$厘米，求底邊$b$的長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C

2.B

3.A

4.D

5.C

6.D

7.A

8.A

9.A

10.D

二、判斷題

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.$a_{10}=2+9\times3=29$

2.$S_{5}=\frac{a_{1}(1-q^{5})}{1-q}=\frac{1(1-(\frac{1}{2})^{5})}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{16}=\frac{47}{16}$

3.交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$和$(3,0)$

4.$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5$

5.對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為$(-2,-3)$

四、簡(jiǎn)答題

1.等差數(shù)列的定義：若一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都相等，則這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列。

等比數(shù)列的定義：若一個(gè)數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都相等，則這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。

舉例：等差數(shù)列$1,4,7,10,\ldots$，等比數(shù)列$2,6,18,54,\ldots$

2.判斷二次函數(shù)圖像開口方向的方法：

如果二次函數(shù)的系數(shù)$a>0$，則圖像開口向上；如果$a<0$，則圖像開口向下。

3.使用勾股定理求解直角三角形邊長(zhǎng)：

勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

舉例：已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為$3$和$4$，求斜邊長(zhǎng)。根據(jù)勾股定理，斜邊長(zhǎng)$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

4.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算規(guī)則：

復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算遵循分配律和交換律，例如：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$。

舉例：計(jì)算$(2+3i)(4-5i)$，得到$8+11i+15i^2=8+11i-15=-7+11i$。

5.求二次方程的根：

使用求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

舉例：解方程$2x^2-5x+3=0$，代入公式得到$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^2-4\times2\times3}}{2\times2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{4}=\frac{5\pm1}{4}$，所以$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。

五、計(jì)算題

1.$(-2)^{3}\times(-5)^{2}\div5=-8\times25\div5=-40$

2.$2x^{2}-5x+3=0$，因式分解得$(2x-3)(x-1)=0$，所以$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。

3.$S_{10}=\frac{a_{1}(1-q^{10})}{1-q}=\frac{3(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-\frac{1}{2}}=6-\frac{3}{1024}=\frac{6144}{1024}$

4.斜邊長(zhǎng)$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

5.解不等式組：

$x+2y\geq3$可以變形為$y\geq\frac{3-x}{2}$

$2x-y<1$可以變形為$y>2x-1$

結(jié)合兩個(gè)不等式，得到解集為$y\geq\frac{3-x}{2}$且$y>2x-1$。

六、案例分析題

1.分析：

-題目覆蓋了八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中的主要知識(shí)點(diǎn)，如方程、數(shù)列、函數(shù)等。

-題目的難度適中，適合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平。

-題目的設(shè)計(jì)能夠有效地評(píng)估學(xué)生的