數(shù)學-吉林省吉林市普通中學2024-2025學年高中畢業(yè)年級第二次調(diào)研測試（吉林二模）試題和答案

吉林地區(qū)普通高中2024-2025學年度高三年級第二次模擬考試說明：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應(yīng)區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。1.命題p:x∈R，x2≥0，則p為A.x∈R，x2＜022.設(shè)全集U=Z，A={-1,0,1}，B={x∈N||x|≤2}，則圖中陰影部分表示的集合是A.{1}B.{-1,2}C.{0,1}3.在ΔABC中，點D為AB的中點，點O為ΔABC的重心，則OA+OB=A.COB.ODC.2COD.2DO4.已知隨機事件A和B，下列表述中錯誤的是A．若B二A，則P(AB)=P(B)B．若B二A，則P(AUB)=P(A)C．若A，B互斥，則P(AB)=1D．若A，B互斥，則P(AUB)=P(A)+P(B)5.已知雙曲線C的右焦點為F(2,0)，點P在雙曲線上且滿足PF丄x軸，若|PF|=3，則雙曲線C的實軸長為A.1B.2C.4D.86.定義：到定點(a,b)的距離為定值d的直線系方程為(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=d(θ∈R)，此方程也是以(a,b)為圓心，d為半徑的圓的切線方程.則當θ變動時，動直線xcos2θ+ysin2θ=2cos2θ(θ∈R)圍成的封閉圖形的面積為A.1B.2C.πD.4π7.已知等差數(shù)列{an}的首項為1，且a3，a5+1，2a6成等比數(shù)列，則數(shù)列{(-1)nan}的前2025項和為A.-1013B.-505C.505D.10138.定義：[x]為不超過x的最大整數(shù)，區(qū)間[a,b]（或(a,b)，[a,b)，(a,b]）的長度記為b-a.若關(guān)于x的不等式k[x]＜ln[x]的解集對應(yīng)區(qū)間的長度為1，則實數(shù)k的取值范圍是A.k＜0B.C.D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。A.在復平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第一象限B.-1+iD.若z是關(guān)于x的方程x2+px+2=0(p10.數(shù)學與音樂有緊密的關(guān)聯(lián)，每個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學模型是函數(shù)y=Asin①x.像我們平時聽到的音樂不只是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音.復合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等，這些音叫諧音，因為振幅較小，我們一般不易單獨聽出來.所以我們聽到的聲音的函數(shù)是y=sinx+sin2x+sin3x+…，記fnsinkx則A.y=f2(x)的最大值為B.y=f3在上單調(diào)遞增C.y=f4(x)的周期為2π,|fn(x)|≤n|x|11.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于任意實數(shù)a,b滿足f(ab)=af(b)+bf(a)，當x＞1時，f(x)＞0，則A.f(1)=0B.f(|x|)=f(x)C.f(x)有3個零點D.若f(x)＞0，則—1＜x＜0或x＞1三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分。12.已知函數(shù)則f.直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓C的離心率為.CE=3AE，側(cè)面SAB內(nèi)一動點P滿足CP=2PE，則點P的軌跡長度為；直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，sin2A-sinAsinB=cos2B-cos2C.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(Ⅱ)若不等式f(x)＞m(x+1)在x∈(-1,+∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.17.（本小題滿分15分）如圖，一個直三棱柱ABC-A1B1C1和一個正四棱錐P-ABB1A1組合而成的幾何體中，(Ⅱ)若平面BB1C1C與平面PBB1夾角的余弦值為，求正四棱錐P-ABB1A1的高.18.（本小題滿分17分）國家設(shè)立國家自然科學基金，用于資助基礎(chǔ)研究，支持人才培養(yǎng)和團隊建設(shè).現(xiàn)對近4年的國家自然科學基金項目支出（以下簡稱項目支出）概況進行統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下表：年份2023年年份序號1234項目支出/百億元(Ⅰ)經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)年份序號與項目支出具有線性相關(guān)關(guān)系.請求出項目支出y關(guān)于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程，并預測2025年的項目支出；(Ⅱ)天元基金是國家自然科學基金中的數(shù)學專項基金之一，為促進甲、乙兩個地區(qū)天元基金申報者的交流，天元基金委員會舉辦了論壇活動.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，甲、乙兩個地區(qū)共有200人參加此次論壇活動，具體數(shù)據(jù)如下表：男生女生合計/人45合計/人(ⅰ)根據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，能否認為申報者所在地區(qū)與性別有關(guān)聯(lián)？(ⅱ)為了解此次論壇活動的滿意度（滿意度評分滿分為10分現(xiàn)采用按男、女樣本量比例分配的分層隨機抽樣，從上述200人中抽取40人進行訪談，其中男生樣本的滿意度平均數(shù)為9分，方差為7.19，女生樣本的滿意度平均數(shù)為7分，方差為6.79，由這些數(shù)據(jù)，請求出總樣本的滿意度的平均數(shù)和方差，并對全體參加此次論壇活動的天元基金申報者的滿意度的平均數(shù)和方差作出估計.ΛΛa=y-bxα0.0250.001xα2.7063.8415.0246.63519.（本小題滿分17分）已知An(xn,yn)(n=1,2,3...)在拋物線x2=2py(p＞0)上，其中A1(1,1)，An關(guān)于y軸的對稱點為Bn，記直線BnAn+1的斜率為kn，k1=2且kn+1=2kn.(Ⅰ)證明數(shù)列{xn+1-xn}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{xn}的通項公式；(Ⅲ)記an=log2(xn+1)，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)r，k，使ar1=2Tk+16成立？若存在，求出r，k的值；若不存在，請說明理由.命題校對：高三數(shù)學核心組吉林地區(qū)普通高中2024—2025學年度高三年級第二次模擬考試數(shù)學學科參考答案一、單選題：本大題共8題，每小題5分，共40分。12345678CBACBCAD8.教學提示:原不等式的解集對應(yīng)區(qū)間的長度為1，:不等式k<的正整數(shù)解有且只有一個.易知f(x)=在(0,e)上單調(diào)遞增，(e,+∞)上單調(diào)遞減，又:f(3)=，f(2)=f(4)=，ln2ln3二、多選題：本大題共3題，每小題6分，共18分。9ACBCDACD10.教學提示D.易證sinx≤x.:ifn(x)=sinx+sin2x+…+sinnx11.教學提示（法一）已知f(ab)=af(b)+bf(a)，令a=1,b=x，則f(一x)=f(x)，B選項不正確；令a=x,b=，則f(1)=xf()+f(x)=0，:當x>1時，0<<1，:f(x)>0，:f()<0，即當0<x<1時，f(x)<0.又:f(x)是奇函數(shù)，:當一1<x<0時，f(x)>0；當x<一1時，f(x)<0.:f(0)=f(1)=f(一1)=0，:C選項正確，D選項正確.（法二）當x=0時，f(x)=0.即f(x)=xlogc|x|(c>0且c≠1).又:當x>1時，f(x)>0，:c>1，即f(x)=xlogc|x|(c>1).綜上f(x)={:易得ACD選項正確，B選項錯誤.lxlogc|x|,x≠0.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。 14.教學提示（法一）由CP=2PE得，點P軌跡是以A為球心，1為半徑的球面，又:點P在平面SAB內(nèi)，:點P在以A為圓心，1為半徑，為圓心角的圓弧上，因此點P的軌跡長度為.建系如圖，設(shè)P(cosθ,0,sinθ)(θ∈[0,])AB.CP AB.CPABCP2·(cosθ1)2+3+sin2θ52cosθ.ABCP36故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為[0,].4（法二）設(shè)直線CP與直線AB所成角為θ,根據(jù)三余弦定理可知，cosθ=cosθ1cosθ2=，易知P從點M運動至N處，tanθ1逐漸減小，則cosθ1逐漸增大，由圖可知，P從點M運動至N處cosθ2逐漸增大，則P在點M處時，cosθ取得最小值，此時cosθ=0，則P在點N處時，cosθ取得最大值，此時cosθ=cosθ1cosθ2=×=， 故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為[0,].四、解答題：本大題共5小題，共77分。2AsinAsinB=cos2Bcos2C=(1sin2B)(1sin2C)=sin2Csin2B，得sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB.由正弦定理得a2+b2—c2=ab.···················································································2分i6)23ab，解得ab=1. 即ΔABC的面積S為.·························································································6分在ΔABC中，SΔABC=SΔACD+SΔBCD由CD=，得ab=a+b=(a+b)，所以ab=(a+b 所以a+b的最小值為.·······················································································13分xf’(x)=xe.····································································································4分:f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—∞,—1)，(—1,0).·····························································7分xx:x+1>0:m<e.································9分2當x>1時，g(x)>0，g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.······················································13分則g(x)min=g(1)=，:m<，即m的取值范圍是(—∞,17.【解析】【此處也可直接證明：正四棱錐P—ABB1A1中，A1B1丄AA1.】又:A1B1丄A1C1，AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1平面ACC1A1，:A1B1丄平面ACC1A1.····························································································5分又:A1B1平面PA1B1，:平面PA1B1丄平面ACC1A1.·················································································7分(Ⅱ)（法一）以A為原點，AA1，CA，AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,2),B1(2,0,2),C(0,—2,0).設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h，則P(1,h,1)，設(shè)平面BB1C1C的一個法向量為n1=(x1,y1,z1).取z1設(shè)平面PBB1的一個法向量為n2=(x2,y2,z2)，1設(shè)平面BB1C1C與平面PBB1夾角為θ,2102所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分（建系方式二）以A為原點，AC，AA1，AB所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，此時可得平面BB1C1C的一個法向量為n1=(1,0,1)，（法二）取BB1中點M,CC1中點N，連接PM，MN.:正四棱錐P—ABB1A1，:PB=PB1，:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四邊形BB1C1C是矩形，:M，N分別為BB1，CC1的中點，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:∠PMN或其補角即為平面BB1C1C與平面PBB1的夾角，設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h,則PM=hh2·······················································11分:A1B1丄A1C1且A1B1=A1C1=2, :B1C1=MN=2·2.作PH⊥平面AA1C1C，垂足為H，連接NH，在ΔPMN中，由余弦定理得，PN2=PM2+MN2—2PM.MNcos上PMN,22222 所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分（法三）取AA1中點F,BB1中點M,CC1中點N,連接NF、MN、MP、MF,并延長NF、MP交于點Q，取MN中點E,連接EP,EP、MF交于點G.:正四棱錐P—ABB1A1中，PB=PB1:PM⊥BB1.又:直三棱柱ABC—A1B1C1中,四邊形BB1C1C是矩形，:M，N分別為BB1，CC1的中點，:MN//B1C1，:B1C1丄BB1，:MN⊥BB1，:上NMQ或其補角即為平面BB1C1C與平面PBB1的夾角，即cos上NMQ=或.··················································································11分設(shè)正四棱錐P—ABB1A1的高為h，則PG即為四棱錐P—ABB1A1的高，MG2+GP2:MP=.:ΔMFQ中，GP丄MG2+GP2:MP=:GP//FQ，又G為MF的中點，:GP為ΔMFQ的中位線，:FQ=2h.2:MQ=2MP=2 2222 所以正四棱錐P—ABB1A1的高為2或.·····································································15分18.【解析】2Λ所以b=(xix)(yiy) (xix)2295ΛΛΛ所以國家自然科學技術(shù)基金項目支出y關(guān)于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程為y=5.8x+84.·······5分Λ預測2025年的國家自然科學技術(shù)基金項目支出為118.8百億元.·········································6分xi4x422xi4xΛ所以國家自然科學技術(shù)基金項目支出y關(guān)于年份序號x的經(jīng)驗回歸方程為y=5.8x+84.······5分Λ預測2025年的國家自然科學技術(shù)基金項目支出為118.8百億元.·········································6分H0:申報天元基金者的所在地區(qū)與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到2800·2800·依據(jù)小概率值α=0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為申報天元基金者的所在地區(qū)與性 (ⅱ)把男生樣本的滿意度平均數(shù)記為x，方差記為s；女生樣本的滿意度平均數(shù)記為y，方差記為s；總樣本的滿意度平均數(shù)記為z，方差記為s2.根據(jù)男、女樣本量按比例分配的分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，s22]2]19.【解析】(Ⅰ)證明：:點A1(1,1)在拋物線x2=2py(p>0)上，:2p=1，即拋物線方程為x2=y.····························································································1分:An(xn,x),Bn(一xn,x),An+1(xn+1,x+1).22n+1xn.···················································································3分:kn+1=2kn，:xn+2一xn+1=2(xn+1一xn).:{xn+1一xn}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即xn+1一xn=2n.································5分12n12n1(n:x1=1符合上式，:數(shù)列{xn}的通項公式是xn=2n一1.················