1.4 角平分線第1課時（同步課件）-2023-2024學年八年級數(shù)學下冊同步課堂（北師大版）

北師大版數(shù)學八年級下冊第1課時第一章三角形的證明4角平分線學習目標1.證明并掌握角平分線的性質(zhì)定理及判定定理;（重點）2.能利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決簡單的實際問題;（難點）3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．復習回顧角平分線的定義OBA從一個角的頂點出發(fā)的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線.幾何語言:C

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知還記得角平分線上的點有什么性質(zhì)嗎?角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.你能證明這一結(jié)論嗎？PAOBCDE已知：如圖，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,求證：PD=PE.PAOBCDE12二、自主合作，探究新知探究一：角平分線的性質(zhì)∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.證明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2二、自主合作，探究新知性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∴PD=PE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.∵OP

是∠AOB的平分線，PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC知識要點二、自主合作，探究新知跟蹤練習1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于點D.若AC=3cm，則AE+DE=

.3cm2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，BE=5，BC=4，則點E到AB的距離是

.3cm例1：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：AB=AC.ABCDEF二、自主合作，探究新知證明:∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴

∠B=∠C.∴AB=AC.典型例題二、自主合作，探究新知探究二：角平分線的判定PAOBCDE角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．想一想：交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.思考：這個結(jié)論正確嗎？逆命題已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.BADOPE二、自主合作，探究新知證明：作射線OP，∴點P在∠AOB

角的平分線上.∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO

中，

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的對應角相等）.二、自主合作，探究新知知識要點判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.PAOBCDE應用條件：（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.例2：如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.二、自主合作，探究新知典型例題

2.如圖所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為A，E，若DA=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，則∠DCE的度數(shù)為(

)A.30°B.40°C.50°D.60°三、即學即練，應用知識1.如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯誤的是()A.PC＝PD

B.∠CPO＝∠DOP

C.∠CPO＝∠DPO

D.OC＝ODBA4.如圖，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，則∠1=_________.3.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE=1，則BC的長為_________.三、即學即練，應用知識30°35.如圖所示，在△ABC中，AD為其角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，△ABC的面積是9cm2，AB=5cm，AC=4cm，求DE的長.三、即學即練，應用知識

6.已知:如圖所示，P是OC上一點,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E,F,G分別是OA,OB上的點,且PF=PG,DF=EG.求證:OC是∠AOB的平分線.三、即學即練，應用知識證明:

∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上一點,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分線.四、課堂小結(jié)一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等過角平分線上一點向兩邊作垂線段角平分線性質(zhì)定理輔助線添加判定定理在一個角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

1.如圖所示，P是∠AOB的平分線上一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，連接CD交OP于點E，下列結(jié)論不一定正確的是 (

)A.PC=PDB.OC=ODC.OP垂直平分CDD.OE=CD五、當堂達標檢測DC3.如圖所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為A，E，若DA=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，則∠DCE的度數(shù)為

.五、當堂達標檢測30°4.如圖所示，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點，PH⊥OB于點H，Q是射線OA上的一個動點.若PH=5，則PQ長的最小值為

.5五、當堂達標檢測5.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求證:AM⊥DM;解:(1)證明:∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.五、當堂達標檢測(2)若BC=8，求點M到AD