2022北京房山高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京房山高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．設(shè)，2，，，0，，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為A．，， B．，， C．，1， D．，2，2．直線的傾斜角為A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角大小等于A． B． C． D．4．若平面，平面的法向量為，1，，則平面的一個(gè)法向量可是A．，0， B．，， C．，2， D．，，5．“”是“方程表示橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不完分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．圓心為且與軸相切的圓的方程為A． B． C． D．7．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為8，到軸的距離為6，則的值為A．1 B．2 C．3 D．48．已知半徑為1的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心到直線的距離的最大值為A．1 B．2 C．3 D．49．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．10．如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則A．直線與直線相交，直線平面 B．直線與直線平行，直線平面 C．直線與直線異面，直線平面 D．直線與直線垂直，直線平面二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，長(zhǎng)方體，若，2，，則的坐標(biāo)為．12．已知二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，則其準(zhǔn)線方程為．13．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為．14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，其中提到的“陽(yáng)馬”是指底面為矩形，有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．在陽(yáng)馬的表面三角形中，直角三角形的個(gè)數(shù)為．15．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別是棱，上的點(diǎn)，如果平面，則與長(zhǎng)度之和為．16．心臟線，也稱心形線，是一個(gè)圓上的固定一點(diǎn)在該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周滾動(dòng)時(shí)所形成的軌跡，因其形狀像心形而得名．心臟線的平面直角坐標(biāo)方程可以表示為，，則關(guān)于這條曲線的下列說(shuō)法：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，曲線上有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③越大，曲線圍成的封閉圖形的面積越大；④與圓始終有兩個(gè)交點(diǎn)．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．（14分）在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求中線所在直線的方程；（Ⅱ）求邊上的高所在直線的方程．18．（14分）已知圓與圓外切．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．19．（14分）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成的角的余弦值．20．（14分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；（Ⅲ）判斷的中點(diǎn)是否在平面上？說(shuō)明理由．21．（14分）已知橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)，，，的距離的和為4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出左、右頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）求證：的面積為定值．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解．【解答】解：，2，，，0，，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，1，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．【分析】由題意先求出直線的斜率，再利用直線的斜率和傾斜角的定義，得出結(jié)論．【解答】解：直線的斜率為，故它的傾斜角為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】取的中點(diǎn)，連接，，，證明，可得即為異面直線與成角的平面角，從而可得答案．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，，，分別為，，，的中點(diǎn)，所以，，所以，故即為異面直線與所成的角，在正方體中，由，，分別為，，的中點(diǎn)，可知，即為等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角大小等于．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成的角，考查學(xué)生的分析能力，屬于中檔題．4．【分析】利用平面與平面垂直，法向量的數(shù)量積為0，推出結(jié)果即可．【解答】解：平面，平面的法向量為，1，，則平面的一個(gè)法向量與的數(shù)量積為0，根據(jù)選項(xiàng)，可知平面的一個(gè)法向量可是，0，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面垂直關(guān)系的應(yīng)用，法向量的數(shù)量積為0，是基礎(chǔ)題．5．【分析】利用橢圓的性質(zhì)求解的范圍，然后判斷充要條件即可．【解答】解：“方程表示橢圓”，可知，解得或；所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．6．【分析】由所求圓與軸相切可得，圓心到軸的距離等于半徑，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出到軸的距離，得到圓的半徑，由圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【解答】解：點(diǎn)到軸的距離為2，所以圓的半徑為2，所以圓心為且與軸相切的圓的方程為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．由圓與軸相切，根據(jù)點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值求出到軸的距離得到圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)拋物線定義即可求得答案．【解答】解：易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，拋物線準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可知，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】設(shè)的坐標(biāo)，由圓的半徑為1，且過(guò)原點(diǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程，再求圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，進(jìn)而求解即可．【解答】解：設(shè)，因?yàn)榘霃綖?，且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡方程為；則該圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，所以，所以，即，故距離的最大值為3．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求點(diǎn)的軌跡方程及直線與圓相交的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．9．【分析】根據(jù)為等邊三角形，可得在△中，，在根據(jù)直角形和橢圓定義可得．【解答】解：連接，由為等邊三角形可知在△中，，，，于是，故曲線的離心率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓的定義的應(yīng)用，屬中檔題．10．【分析】可利用正方體的性質(zhì)以及線面垂直，線面平行的判定及性質(zhì)逐一選項(xiàng)判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，連接，，如圖，在正方體中，，面，所以平面，又面，，所以直線與直線不相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，連接，，如圖，在正方體中，，面，所以面，又面，，所以直線與直線不平行，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，連接，，，在正方體中，，，，所以面，又，所以與平面不垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，連接，，，，，在正方體中，，，，所以面，面，所以，設(shè)，連接，如圖，，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槊妫悦?，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中直線與平面平行，直線與平面垂直的判定，屬于中檔題．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。11．【分析】利用長(zhǎng)方體的特征，結(jié)合已知向量，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：長(zhǎng)方體，若，2，，可知，，則，2，．故答案為：，2，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，向量坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．12．【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得其準(zhǔn)線方程．【解答】解：將拋物線方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式為，由此刻判斷拋物線焦點(diǎn)在軸正半軸，其準(zhǔn)線方程為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到其漸近線方程為：，再根據(jù)雙曲線的離心率得到，得到，得到，然后求出雙曲線的漸近線方程．【解答】解：因?yàn)殡p曲線的方程為：，所以雙曲線的漸近線方程為：，又因?yàn)殡p曲線的離心率為，即，所以，由可得：，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的有關(guān)性質(zhì)并且能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算．14．【分析】利用線面垂直的判定定理求解即可．【解答】解：不妨設(shè)底面，如下圖所示：底面，、平面，，，，，平面，平面，，故、均為直角三角形，同理可知、均為直角三角形．因此，在陽(yáng)馬表面三角形中，直角三角形的個(gè)數(shù)為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)的特征，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．15．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系并設(shè)出，的長(zhǎng)度，然后由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而通過(guò)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案．【解答】解：設(shè)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，1，，，1，，，0，，，0，，則．因?yàn)槠矫?，所以，則，即，的長(zhǎng)度和為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量及其應(yīng)用，空間中距離的計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】根據(jù)曲線的方程結(jié)合圖像分析其性質(zhì)，再逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)曲線方程畫出圖像如圖：由圖可知，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，曲線方程可寫為，令，上述方程可化為，集合圖像可得，由得整數(shù)取值為0，，；當(dāng)時(shí)，或，時(shí)，曲線方程可寫為，解得，此時(shí)不為整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，曲線上有4個(gè)整點(diǎn)分別為，，，，故②正確；由圖像可知曲線圍成的封閉圖形面積隨的增大而增大，故③正確；由圓的方程可知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，且圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以曲線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，故④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程，由方程研究曲線的性質(zhì)，判斷兩曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于中檔題．三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。17．【分析】（Ⅰ）先求出線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式求出中線所在直線的方程．（Ⅱ）先求出的斜率，可得邊上的高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出邊上的高所在直線的方程．【解答】解：（Ⅰ）三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，線段的中點(diǎn)為，求中線所在直線的方程為：，即，（Ⅱ）由于直線的斜率為：，故邊上的高所在直線的斜率為，故邊上的高所在直線的方程為，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查中點(diǎn)公式、斜率公式、兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，再由圓心距等于半徑和列式求解值；（Ⅱ）求出到直線的距離，再由垂徑定理求弦長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）由圓，得，則，半徑，由圓，得，則，半徑．兩圓外切，，即；（Ⅱ）到直線的距離，弦的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．【分析】由底面，可證，又，可證平面，進(jìn)而可證；，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，利用可求．【解答】證明：底面，底面，，四邊形是矩形，，，平面，平面，平面，平面，；解：依題意，，，，，在中，，所以為直角三解形，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，故平面與平面所成的角的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，以及二面角的求法，屬中檔題．20．【分析】（Ⅰ）先判斷出四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判斷定理可得答案；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，分別所在的直線為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再由點(diǎn)到平面的距離的向量公式可得答案；（Ⅲ）由是三角形△的中位線，得出，再由得出可得答案．【解答】（Ⅰ）證明：在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在正方體中，以為原點(diǎn)，分別所在的直線為的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，0，，，0，，，2，，，2，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，，所以，點(diǎn)到平面的距離為．（Ⅲ）解：連接，因?yàn)槭侨切巍鞯闹形痪€，所以，因?yàn)?，所以，所以確定平面，因?yàn)槿c(diǎn)在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)共面，所以的中點(diǎn)在平面上．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的證明，點(diǎn)面距離的計(jì)算，立體幾何中的探索性問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題．21．【分析】（Ⅰ）由所給條件可得，，可得，即可得解；（Ⅱ）首先設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程