2024-2025學年廣東省汕頭市澄海區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省汕頭市澄海區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|?2<x<2}，N={?1,0,1,2,3}，則M∩N=(

)A.{?1,0,1} B.{?1,0,1,2} C.{?1,0} D.{0,1}2.若z?3i=3+i，則|z|=(

)A.3 B.13 C.5 D.3.等軸雙曲線C的中心在原點，且一個焦點為(?2,0)，則它的實軸長為(

)A.2 B.2 C.4 D.4.已知直線l的一個方向向量為m=(2,1,?4)，平面α的一個法向量為n=(3,2,t)，若l/?/α，則t=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.已知f(x)=lnx,x≥1ex,x<1，則f(x)<1A.(?∞,0)∪[1，e) B.(?∞,0)∪[1，+∞)

C.(0,e) D.(0,1)6.已知雙曲線x2a2?y2=1(a>0)的漸近線與圓A.3 B.33 C.17.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則AE?AF的值為(

)A.1 B.12 C.14 8.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在兩點M，N關于直線x?y?1=0對稱A.(5,4) B.(4,3) C.(3,2) D.(2,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知空間中四點A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，D(1,1,1)，則(

)A.|AB|=3 B.AC⊥BD C.AB10.已知圓O1：x2+(y?1)2=4A.點A在圓外

B.點A(2,0)是直線2x+my?4=0上的定點

C.已知點B(1,0)，則過點B作圓的最短弦長為22

D.過點A作圓O1：x2+(y?1)11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1棱長為2，點M為CCA.AM在AB方向上的投影向量的長度為2

B.滿足MP/?/平面BDA1的點P的軌跡長度為2

C.滿足BP⊥AM的點P的軌跡長度為22

D.以點B為球心，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若tanα=14，tan(α+β)=13，則13.寫出一個與直線l1：x=?4，l2：x=2，l3：y=214.已知拋物線C：y2=4x，則C的焦點坐標為______；若過C上一動點P作圓M：(x?4)2+y2=r2(r>0)的兩條切線，切點分別為A，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

直線l經(jīng)過兩直線l1：3x+4y?6=0和l2：2x+y+1=0的交點．

(1)若直線l與直線3x+y?1=0平行，求直線l的方程；

(2)若直線l與直線l2垂直，求直線l16.(本小題15分)

文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值及樣本成績的第75百分位數(shù)；

(2)求樣本成績的眾數(shù)和平均數(shù)；

(3)已知落在[50,60)的平均成績是54，方差是7，落在[60,70)的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績合并后的平均數(shù)z?和方差s2．17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD是正三角形，側面PAD⊥面ABCD，M是PD的中點．

(1)求證：AM⊥平面PCD；

(2)求BM與平面PCD所成角的正弦值．18.(本小題17分)

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosC+ccosB=33atanC．

(1)求角C；

(2)若b=4a，△ABC的面積為419.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點(2,3)，一條漸近線方程為3x?y=0．

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)若點P為雙曲線左支上一點，A(t,0)(t>0)，求|PA|的最小值；

(3)過點F(2,0)的直線與雙曲線參考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.A

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ABC

11.AD

12.11313.(x+1)2+(y+114.(1,0)

315.解：(1)由題意聯(lián)立2x+y+1=03x+4y?6=0，解得x=?2y=3，

即直線l過點(?2,3)，

設與直線3x+y?1=0平行的直線l的方程為3x+y+c=0，c≠?1，

將點(?2,3)代入可得3×(?2)+3+c=0，解得c=3，

所以直線l的方程為：3x+y+3=0；

(2)由直線l2：2x+y+1=0，由題意設直線l的方程為x?2y+m=0，

將點(?2,3)代入可得：?2?2×3+m=0，可得m=8，

即直線l的方程為x?2y+8=0，

令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=?8，

即直線l在x，y軸上的交點分別為(?8,0)，(0,4)，

所以|AB|=64+16=45，又|OA|=8，|OB|=416.解：(1)根據(jù)題意可得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.030；

因為前四組的頻率和為0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，

前五組的頻率和為0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9，

顯然第75百分位數(shù)在(80,90)內，

所以第75百分位數(shù)為80+0.75?0.650.025=84；

(2)由70+802=75，得樣本成績的眾數(shù)為75；

成績落在[40,70)內的頻率為0.05+0.1+0.2=0.35，

成績落在[40,80)內的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，

故中位數(shù)在[70,80)內，由70+0.5?0.350.65?0.35×10=75，得樣本成績的中位數(shù)為75，

由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74．

得樣本成績的平均數(shù)為74；

(3)由頻率分布直方圖知，成績在[50,60)的市民人數(shù)為100×0.1=10，

成績在[60,70)的市民人數(shù)為100×0.2=20，

17.解：(1)證明：由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD⊥AD，CD?平面ABCD，

可知CD⊥面PAD，AM?平面PAD，

所以CD⊥AM，因為△PAD為正三角形，M為中點，可得AM⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，

所以AM⊥平面PCD；

(2)取AD的中點為O，連接PO，側面PAD是正三角形，則PO⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，

可知PO⊥平面ABCD，

設BC中點為N，連接ON，以O為坐標原點，以OA，ON，OP所在直線為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則D(?1,0,0)，P(0,0,3)，C(?1,2,0)，M(?12,0,32)，

DC=(0,2,0)，DP=(1,0,3)，BM=(?32,?2,32)

設平面PCD的法向量為n=(x,y,z)，

則n?DC=2y=0n?18.解：(1)因為bcosC+ccosB=33atanC，

所以sinBcosC+sinCcosB=33sinAtanC，

所以sin(B+C)=33sinAtanC，

因為A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，

所以sinA=33sinAtanC，

因為A∈(0,π)，所以sinA≠0，

所以tanC=3，

因為C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)因為12absinC=43，所以ab=16，

又b=4a，所以a=2，b=8，

所以c2=a2+b2?2abcosC=4+64?2×2×8×1219.解：(1)因為雙曲線C過點(2,3)，一條漸近線方程為3x?y