2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)教案新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE6-第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解等比中項(xiàng)的概念．(易錯點(diǎn))2.駕馭等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用．(重點(diǎn))3.嫻熟駕馭等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用．(難點(diǎn)、易錯點(diǎn))1.通過等比數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培育邏輯推理的素養(yǎng).2.通過等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在等差數(shù)列{an}中，通項(xiàng)公式可推廣為an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特殊地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.問題：在等比數(shù)列中有無類似的性質(zhì)？1．等比中項(xiàng)定義假如x，G，y是等比數(shù)列，那么稱G為x與y的等比中項(xiàng)關(guān)系式G2＝xy結(jié)論在等比數(shù)列中，中間每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)思索：G是x與y的等比中項(xiàng)的充要條件為G2＝xy嗎？[提示]不是．若G是x與y的等比中項(xiàng)，則G2＝xy，反之不成立．2．等比數(shù)列的性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，則as·at＝ap·aq.(1)特殊地，當(dāng)2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)時，ap·aq＝aeq\o\al(2,s).(2)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….拓展：(1)“子數(shù)列”性質(zhì)對于無窮等比數(shù)列{an}，若將其前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak＋1，公比為q；若取出全部的k的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak，公比為qk.(2)兩個等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列{an}，{bn}均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列{can}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也為等比數(shù)列．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨意兩個實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)． ()(2)在等比數(shù)列{an}中，a2·a8＝a10. ()(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列． ()(4)若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，且公比相同，則{an}是等比數(shù)列． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a3＝eq\f(1,9)，則a5等于()A．±eq\f(1,81)B．－eq\f(1,81)C.eq\f(1,81)D．±eq\f(1,2)C[在等比數(shù)列中，aeq\o\al(2,3)＝a1·a5，所以a5＝eq\f(a\o\al(2,3),a1)＝eq\f(1,81).]3．(教材P34練習(xí)AT3改編)等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32C[∵{an}是等比數(shù)列，∴a2·a6＝aeq\o\al(2,4)＝16.]4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a25[∵{an}是等比數(shù)列，∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7等比中項(xiàng)的應(yīng)用【例1】(1)假如－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9(2)在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________.(1)B(2)eq\f(13,16)[(1)因?yàn)閎2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同號．所以ac＝b2＝9.(2)由題意知a3是a1和a9的等比中項(xiàng)，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq\f(13d,16d)＝eq\f(13,16).]由等比中項(xiàng)的定義可知：eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab).這表明只有同號的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個，它們互為相反數(shù).反之，若G2＝ab，則eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即a，G，b成等比數(shù)列.所以a，G，b成等比數(shù)列?G2＝abab≠0.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項(xiàng)．[解]設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42.))∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述兩式相除，得q(1－q)＝eq\f(1,4)?q＝eq\f(1,2).∴a1＝eq\f(42,q－q4)＝eq\f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96.若G是a5，a7的等比中項(xiàng)，則應(yīng)有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq\o\al(2,1)q10＝962·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9.∴a5，a7的等比中項(xiàng)是±3.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a(2)在2和8之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于________．(1)6(2)64[(1)∵a2a4＋2a3a5＋∴aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.(2)設(shè)a1＝2，a5＝8，∴a3＝eq\r(a1a5)＝4，∴a2·a3·a4＝aeq\o\al(2,3)·a3＝aeq\o\al(3,3)＝43＝64.]在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，經(jīng)常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算.若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩.通過本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換，會起到化繁為簡的效果.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在等比數(shù)列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10[解]因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a5a6＝a4a聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8.))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))時，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))時，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.即a1＋a10的值為－7.等比數(shù)列的設(shè)法與求解[探究問題]1．類比等差數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的設(shè)法，想一想：等比數(shù)列中的相鄰三項(xiàng)如何設(shè)運(yùn)算更便利？[提示]可設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．2．假如四個數(shù)成等比數(shù)列，如何設(shè)更便利運(yùn)算？[提示]可設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq，aq2或eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3(q≠0)．【例3】有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，其次個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．[解]法一：設(shè)四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9.,d＝－6.))所以，當(dāng)a＝4，d＝4時，所求四個數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時，所求四個數(shù)為15,9,3,1.故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.法二：設(shè)四個數(shù)依次為eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).))當(dāng)a＝8，q＝2時，所求四個數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝3，q＝eq\f(1,3)時，所求四個數(shù)為15,9,3,1.故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.合理地設(shè)出所求數(shù)中的三個數(shù)，依據(jù)題意再表示出另一個數(shù)是解決這類問題的關(guān)鍵，一般地，三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq；三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a－d，a，a＋d.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．三個數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，假如第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2，則這三個數(shù)成等差數(shù)列，求這三個數(shù)．[解]設(shè)三個數(shù)依次為eq\f(a,q)，a，aq，∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴這三個數(shù)為4,8,16或16,8,4.1．在數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,n)＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比數(shù)列的必要不充分條件．2．等比數(shù)列的常用性質(zhì)：(1)假如m＋n＝k＋l，則有aman＝akal；(2)假如m＋n＝2k，am·an＝aeq\o\al(2,k)；(3)若m，n，p成等差數(shù)列，am，an，ap成等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列{an}中，每隔k項(xiàng)(k∈N＋)取出一項(xiàng)，按原來的依次排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列；(5)假如{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比數(shù)列，且公比分別為eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|；(6)等比數(shù)列的項(xiàng)的對稱性：在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….3．依據(jù)等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的性質(zhì)巧設(shè)等比數(shù)列中的項(xiàng)：當(dāng)三個數(shù)成等比數(shù)列且知這三個數(shù)的積時，一般將這三個數(shù)設(shè)為eq\f(a,q)，a，aq；當(dāng)有五個數(shù)成等比數(shù)列時，常設(shè)為eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2.1．對隨意等比數(shù)列{an}，下列說法肯定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列D[因?yàn)閍eq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列．]2．等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項(xiàng)為()A．±4B．4C．±eq\f(1,4)D.eq\f(1,4)A[a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16，∴a4與a8的等比中項(xiàng)為±eq\r(16)＝±4.]3．在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋7[∵a6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＝41.又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＋2a4a8＝41＋