初升高數(shù)學(xué)之銜接（ 因式分解）

專題二因式分解

【要點(diǎn)回顧】

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變

形.在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本

技能.

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方

差公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和

分組分解法等等.

1.公式法

常用的乘法公式：

[1]平方差公式：;

[2]完全平方和公式：；

[3]完全平方差公式：一.

[4]（a+b+c）2=

[5]d+加=（立方和公式）

[6]（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過(guò)來(lái)寫,

運(yùn)用上述公式可以進(jìn)行因式分解.

2.分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)

式.而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如，〃a+血?+也+泌既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公

因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.這種利用分組來(lái)因式分解的方

法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.

常見(jiàn)題型：（1）分組后能提取公因式（2）分組后能直接運(yùn)用公式

3.十字相乘法

(1)“2?(p?g)xIpg型的因式分解

這類式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：①二次項(xiàng)系數(shù)是1;②常數(shù)項(xiàng)

是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和.

*.*x2+(p+q)x+pq=x2+px+gx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q),

x2+(p+q)x+pq=(x+〃)(x+q)

運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

(2)一般二次三項(xiàng)式分2+6+c型的因式分解

2

由a}a2x+(g+a2cx)x+c,c2=(a1x+q乂/工+。2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)。分

解成常數(shù)項(xiàng)。分解成qq,把心生”，。2寫成這里按斜線交叉相乘，

再相加，就得到4c2+4G，如果它正好等于雙的一次項(xiàng)系數(shù)方，那么

加+bx+c就可以分解成(平+4)(。2X+。2),其中q,c1位于上一行，生，Q位于下

一行.這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫

做十字相乘法.

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗

試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.

4.其它因式分解的方法

其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添項(xiàng)法

【例題選講】

例1(公式法)分解因式:(1)3?一894；(2)a1-ab6

分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2)中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)

_心，可看著是(Q3)2-"3)2或82)3一(/)3

解：(1)3a3b-81b4=3b(a3-27b3)=3b(a-3b)(a2+3ab+9d2).

(2)a7—ab6=a(a6—b6)=a(a3+/?3)(a3—b3)

=a(a+b)(a2—ab+Z)2)(a-b)(a2+ab+b2)

=a(a+b)(a—b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)

例2(分組分解法)分解因式；(1)ab(c2d2)(a2b2)cd

(2)2x2+4xy+2/-8z2

(1)分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提，需要把括號(hào)打開后重新分組，

然后再分解因式.

解：ab(c2—d2)—(a2-b2)cd=abc2—abd2—a2cd+b2cd=(abc2—

a2cd)+{b2cd—abd2)

=ac(bc-ad)+bd(bc—ad)=(be—ad)(ac+bd)

(2)分析：先將系數(shù)2提出后，得到/+2%y+y2-4z2,其中前三項(xiàng)作為一

組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式.

解：2x2+4xy+2y2-8z2=2(x2+2xy+y2-4z2)=2[(x+y)2—(2z)2]=

2(x+y+2z)(x+y-2z)

例3(十字相乘法)把下列各式因式分解：(1)X2+5X-24

(2)x2—2x—15

(3)x2+xy-6y2(4)(x2+x)2-8(x2+x)+12

解：(1),/—24=(—3)x8,(—3)+8=5x2+5x—24=[x+(-3)](x+8)=(x—3)(x4-8)

(2)???-15=(-5)x3,(-5)+3=-2

/.x2-2x_15=[x+(-5)](x+3)=(x-5)(x+3)

(3)分析：把孫-6)，2看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是-6V，一次

項(xiàng)系數(shù)是y,把-6V分解成3y與-2)，的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項(xiàng)系

數(shù).

解：x2+xy-6y2=x2+yx-62=(x+3y)(x-2y)

(4)由換元思想，只要把爐+x整體看作一個(gè)字母-可不必寫出，只當(dāng)作

分解二次三項(xiàng)式/一8〃+12.

解：(x2+x)~—8(x2+x)+12=(x2+x—6)(x2+x—2)

=(x+3)(x-2)(x+2)(x-1)

例4(十字相乘法)把下列各式因式分解：(1)12X2-5X-2；

(2)5x2I6xy8y2

解：(1)12/-5X-2=(3X-2)(4X+1)

12y

(2)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y)5又團(tuán)

說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困

難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為

負(fù)數(shù)，用減法“湊“，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法“湊“，先“湊“絕

對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào).

例5(拆項(xiàng)法)分解因式丁-3^+4

解：x3—3%2+4=(爐+1)—(3%2—3)=(x4-1)(/—%+1)—3(%+1)(%—

1)

=(%4-l)[(x2—x+1)—3Q—1)]=(%+l)(x2—4x4-4)=(x+l)(x—2)2

【鞏固練習(xí)】

1.把下列各式分解因式：

(1)ab(c2-d2)+cd(a2-b2)(2)x2-^vc+Smn-An2

(3)X4+64(4)V一11/+3k一21

(5)x3-4xy2-2x2y+8/

2.已知a+b=—,。6=2,求代數(shù)式。%+2a&+々加的值.

3

3.現(xiàn)給出三個(gè)多項(xiàng)式，lx2+x-l,-X2+3X+1,-X2-X,請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)

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進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解.

4.已知a+Z?+c=O,求證：a3+a1c-^b2c-abc-^by=0.

【鞏固練習(xí)】答案

1.(l)(hc+ad)(ac-bd);(2)(%-4m+2n)(x-2n);(3)(/-4x4-8)(/+

4%+8);

(4)(%-1)(%-3)(%-7);(5)(%-2y)2(x+2y).

28

2-T;

3.(1x2+%—1)+(1x2+3x+1)=x2+4%=x(x+4)