人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)-第四章-幾何圖形初步-習(xí)題

第頁(yè)第四章幾何圖形初步4.1幾何圖形4.1.1立體圖形與平面圖形第1課時(shí)認(rèn)識(shí)立體圖形與平面圖形基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)立體圖形1.（麗水中考）下列圖形中，屬于立體圖形的是（C）ABCD2.下列物體中，最接近圓柱的是（C）3.下面幾何體中，既不是柱體，又不是錐體的是（C）4.請(qǐng)寫(xiě)出圖中的立體圖形的名稱(chēng).（1）圓柱；（2）三棱柱；（3）三棱錐；（4）圓錐.5.如圖，把下列物體和與其相似的立體圖形連接起來(lái).解：如圖.知識(shí)點(diǎn)2認(rèn)識(shí)平面圖形6.以下圖形中，不是平面圖形的是（C）A.線段B.角C.圓錐D.圓7.【關(guān)注社會(huì)生活】如圖是交通禁止駛?cè)霕?biāo)志，組成這個(gè)標(biāo)志的幾何圖形有（A）A.圓、長(zhǎng)方形B.圓、線段C.球、長(zhǎng)方形D.球、線段8.如圖所示的是一座房子的平面圖，組成這幅圖的幾何圖形有（C）A.三角形、長(zhǎng)方形B.三角形、正方形、長(zhǎng)方形C.三角形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形D.正方形、長(zhǎng)方形、梯形9.如圖是由平面圖形正方形和半圓構(gòu)成的.10.下圖中包含哪些簡(jiǎn)單的平面圖形？解：圖中包含圓、正方形、長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形.易錯(cuò)點(diǎn)忽視柱體上、下底面“平行且相等”這一條件而致錯(cuò)11.如圖所示的立體圖形中，不是柱體的是（D）中檔題12.下列幾何圖形：①三角形；②長(zhǎng)方形；③正方體；④圓；⑤圓錐；⑥圓柱，其中立體圖形有m個(gè)，平面圖形有n個(gè)，則m－n的值為（D）A.3B.2C.1D.013.如圖，用簡(jiǎn)單的平面圖形畫(huà)出三位攜手同行的小人物，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，圖中三角形有4個(gè)，圓有6個(gè).14.在如圖所示的圖形中，柱體有①②③⑦，錐體有⑤⑥，球體有④.15.指出圖中各物體是由哪些立體圖形組成的.解：（1）由正方體、圓柱、圓錐組成.（2）由圓柱、長(zhǎng)方體、三棱柱組成.（3）由五棱柱、球組成.16.如圖，有7種圖形，請(qǐng)你選用這7種圖形中的若干種（不少于兩種）構(gòu)造一幅畫(huà)，并用一句話(huà)說(shuō)明你的構(gòu)想是什么？舉例：如圖，左框中就是一個(gè)符合要求的圖案，請(qǐng)你在右框中畫(huà)出一個(gè)與這個(gè)不同的圖案，并加以說(shuō)明.一輛汽車(chē)解：答案不唯一，略.綜合題17.【注重動(dòng)手操作】動(dòng)手剪拼：下邊的三幅圖都是不規(guī)則圖形，你能把它們各剪一刀，分成兩部分，然后拼成正方形嗎？試試看.解：如圖.

第2課時(shí)立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1從不同的方向觀察立體圖形1.（紹興中考）如圖的幾何體是由五個(gè)相同的小立方體搭成，它從正面看到的平面圖形是（A）eq\a\vs4\al()ABCD2.有一種圓柱體茶葉筒如圖所示，從正面看得到的平面圖形是（D）3.如圖所示的幾何體，從左面看得到的平面圖形是（B）ABCD4.如圖是小李書(shū)桌上放的一本書(shū)，從上往下看得到的平面圖形是（A）ABCD5.圖中的兩個(gè)圓柱體底面半徑相同而高度不同，關(guān)于從不同的方向看這兩個(gè)圓柱體得到的平面圖形，說(shuō)法正確的是（B）A.從正面看得到的平面圖形相同B.從上面看得到的平面圖形相同C.從左面看得到的平面圖形相同D.從各個(gè)方向看得到的平面圖形都相同6.下列幾何體中，從正面、上面、左面觀察都是相同圖形的是（C）A.圓柱B.三棱柱C.球D.長(zhǎng)方體知識(shí)點(diǎn)2立體圖形的展開(kāi)圖7.如圖所示的立體圖形，它的展開(kāi)圖是（C）ABCD8.（常州中考）下列圖形中，是圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是（B）9.（陜西中考）如圖是一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖，則該幾何體是（C）A.正方體B.長(zhǎng)方體C.三棱柱D.四棱錐10.（無(wú)錫中考）下面每個(gè)圖形都是由6個(gè)邊長(zhǎng)相同的正方形拼成的圖形，其中能折疊成正方體的是（C）中檔題11.（廣安中考）如圖所示的幾何體，從上面看得到的平面圖形是（D）12.（龍東中考）由幾個(gè)相同的小正方體搭成的一個(gè)幾何體如圖所示，從正面看這個(gè)幾何體得到的平面圖形是（A）13.（綿陽(yáng)中考）把圖中的三棱柱展開(kāi)，所得到的展開(kāi)圖是（B）14.（教材P123習(xí)題T10變式）（河南中考）某正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種展開(kāi)圖，那么在原正方體中，與“國(guó)”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（D）A.厲B.害C.了D.我15.（連云港中考）由6個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，比較它從三個(gè)不同方向看到的平面圖形的面積，則（C）A.一樣大B.從正面看到的平面圖形的面積最小C.從左面看到的平面圖形的面積最小D.從上面看到的平面圖形的面積最小16.如圖是由一些相同的小正方體搭成的幾何體從三個(gè)不同方向看到的圖形，搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是4.17.馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形（實(shí)線部分），經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，在圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過(guò)折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子，試問(wèn)共有4種添加方法.綜合題18.如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，每一面上都標(biāo)注了字母（標(biāo)字母的面是外表面），根據(jù)要求回答問(wèn)題：（1）如果D面在長(zhǎng)方體的左面，那么F面在哪里？（2）B面和哪個(gè)面是相對(duì)的面？（3）如果C面在前面，從上面看是D面，那么左面是哪個(gè)面？（4）如果B面在后面，從左面看是D面，那么前面是哪個(gè)面？（5）如果A面在右面，從下面看是F面，那么B面在哪里？解：（1）右面.（2）E面.（3）B面.（4）E面.（5）后面.小專(zhuān)題（十一）正方體的展開(kāi)與折疊——教材P122習(xí)題T7、P123習(xí)題T10的變式與應(yīng)用類(lèi)型1判斷正方體的展開(kāi)圖教材母題：（教材P122習(xí)題T7）如圖，這些圖形都是正方體的展開(kāi)圖嗎？如果不能確定，折一折，試一試.你還能再畫(huà)出一些正方體的展開(kāi)圖嗎？解：第一排第3個(gè)圖不能，其余都能折成正方體.正方體的展開(kāi)圖可總結(jié)為如下圖所示“一四一”“二三一”“三三”“二二二”四種類(lèi)型，共11種情況.1.一四一型2.二三一型3.三三型4.二二二型若小正方形擺成的平面圖形呈“”“”“”型，則不能折成正方體.若出現(xiàn)“”型，則另兩面必須在兩側(cè).1.（長(zhǎng)春中考）下列圖形中，可以是正方體表面展開(kāi)圖的是（D）ABCD2.將如圖所示的圖形剪去一個(gè)小正方形，使余下的部分恰好能折成一個(gè)正方體，應(yīng)剪去（序號(hào)）（D）A.1或2或3B.3或4或5C.4或5或6D.1或2或6類(lèi)型2找正方體的相對(duì)面或相鄰面3.一個(gè)立方體的表面展開(kāi)圖如圖所示，將其折疊成立方體后，“你”字對(duì)面的字是（C）A.中B.考C.順D.利4.如圖，該平面展開(kāi)圖按虛線折疊成正方體后，相對(duì)面上兩個(gè)數(shù)之和為7，則x＋y的值是（C）A.7B.8C.9D.104.1.2點(diǎn)、線、面、體基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)、線、面、體1.面與面相交，形成的是（B）A.點(diǎn)B.線C.面D.體2.下雨時(shí)汽車(chē)的雨刷把玻璃上的雨水刷干凈，這屬于的實(shí)際運(yùn)用是（B）A.點(diǎn)動(dòng)成線B.線動(dòng)成面C.面動(dòng)成體D.都不對(duì)3.下面現(xiàn)象能說(shuō)明“面動(dòng)成體”的是（A）A.旋轉(zhuǎn)一扇門(mén)，門(mén)運(yùn)動(dòng)的痕跡B.扔一塊小石子，小石子在空中飛行的路線C.天空劃過(guò)一道流星D.時(shí)鐘秒針旋轉(zhuǎn)時(shí)掃過(guò)的痕跡4.長(zhǎng)方體有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)；圓柱有3個(gè)面，其中有2個(gè)平面，1個(gè)曲面.5.如圖所示的是一個(gè)棱柱，請(qǐng)問(wèn)：（1）這個(gè)棱柱由幾個(gè)面圍成？各面的交線有幾條？它們是直的還是曲的？（2）這個(gè)棱柱的底面和側(cè)面各是什么形狀？（3）該棱柱有幾個(gè)頂點(diǎn)？解：（1）這個(gè)棱柱由5個(gè)面圍成，各面的交線有9條，它們是直的.（2）棱柱的底面是三角形，側(cè)面是長(zhǎng)方形.（3）有6個(gè)頂點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的立體圖形6.（長(zhǎng)沙中考）將下列如圖的平面圖形繞軸l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（D）7.【易錯(cuò)】現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)為4cm，寬為3cm的長(zhǎng)方形，繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是36πcm3或48πcm3.中檔題8.（教材P120練習(xí)T2變式）將下面平面圖形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可得到如圖所示立體圖形的是（B）ABCD9.如果一個(gè)多面體的一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，那么這個(gè)多面體叫做棱錐.如圖是一個(gè)四棱柱和一個(gè)六棱錐，它們各有12條棱.下列棱柱中和九棱錐的棱數(shù)相等的是（B）A.五棱柱B.六棱柱C.七棱柱D.八棱柱10.下面圖1是正方體木塊，若用不同的方法，把它切去一塊，可以得到如圖2、圖3、圖4、圖5不同形狀的木塊.圖1圖2圖3圖4圖5（1）我們知道，圖1的正方體木塊有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面.請(qǐng)你觀察，將圖2、圖3、圖4、圖5中木塊的頂點(diǎn)數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c填入下表：圖頂點(diǎn)數(shù)a棱數(shù)b面數(shù)c1812626953812648137510157（2）觀察這張表，請(qǐng)你歸納出上述各種木塊的頂點(diǎn)數(shù)a、棱數(shù)b、面數(shù)c之間的數(shù)量關(guān)系，這種數(shù)量關(guān)系是：a＋c－b＝2（用含a，b，c的一個(gè)等式表示）.4.2直線、射線、線段第1課時(shí)直線、射線、線段基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1直線1.下列可近似看作直線的是（D）A.繃緊的琴弦B.探照燈射出的光線C.孫悟空的金箍棒D.太陽(yáng)光線2.下列圖示中，直線表示方法正確的有（D）A.①②③④B.①②C.②④D.①④3.如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（D）A.點(diǎn)P為直線AB外一點(diǎn)B.直線AB不經(jīng)過(guò)點(diǎn)PC.直線AB與直線BA是同一條直線D.點(diǎn)P在直線AB上4.用一個(gè)釘子把一根細(xì)木條釘在木板上，用手撥木條，木條能轉(zhuǎn)動(dòng)，這說(shuō)明經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條直線；用兩個(gè)釘子把細(xì)木條釘在木板上，就能固定細(xì)木條，這說(shuō)明兩點(diǎn)確定一條直線.5.如圖，完成下列填空：（1）直線a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，但不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D；（2）點(diǎn)B在直線b上，在直線a外；（3）點(diǎn)A既在直線a上，又在直線b上.知識(shí)點(diǎn)2射線6.（教材P126練習(xí)T1變式）如圖所示，A，B，C是同一直線上的三點(diǎn)，下面說(shuō)法正確的是（C）A.射線AB與射線BA是同一條射線B.射線AB與射線BC是同一條射線C.射線AB與射線AC是同一條射線D.射線BA與射線BC是同一條射線7.如圖，能用O，A，B，C中的兩個(gè)字母表示的不同射線有7條.知識(shí)點(diǎn)3線段8.下列表示線段的方法中，正確的是（B）A.線段AB.線段ABC.線段abD.線段Ab9.按語(yǔ)句“畫(huà)出線段PQ的延長(zhǎng)線”，畫(huà)圖正確的是（A）10.（柳州中考）如圖，在直線l上有A，B，C三點(diǎn)，則圖中線段共有（C）A.1條B.2條C.3條D.4條11.如圖，直線有多少條？把它們分別表示出來(lái)；線段有多少條？把它們分別表示出來(lái)；射線有多少條？可以表示的射線有多少條？把它們表示出來(lái).解：直線有3條，分別為直線AB，直線AC，直線BC；線段有6條，分別為線段AB，線段AC，線段AD，線段BD，線段CD，線段BC；射線有14條，可以表示的射線有8條，分別為射線AB，射線AC，射線BA，射線BC，射線CA，射線CB，射線DB，射線DC.易錯(cuò)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)的位置不確定，考慮不周全12.平面上有三個(gè)點(diǎn)，可以確定直線的條數(shù)是1條或3條.中檔題13.如圖，對(duì)于直線AB，線段CD，射線EF，其中能相交的是（B）14.下列關(guān)于作圖的語(yǔ)句中，一定正確的是（D）A.畫(huà)直線AB＝10cmB.畫(huà)射線OB＝10cmC.已知A，B，C三點(diǎn)，過(guò)這三點(diǎn)畫(huà)一條直線D.畫(huà)線段OB＝10cm15.延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，下列說(shuō)法中正確的是（B）A.點(diǎn)C在線段AB上B.點(diǎn)C在直線AB上C.點(diǎn)C不在直線AB上D.點(diǎn)C在直線AB的延長(zhǎng)線上16.如圖，下列敘述不正確的是（C）A.點(diǎn)O不在直線AC上B.圖中共有5條線段C.射線AB與射線BC是指同一條射線D.直線AB與直線CA是指同一條直線17.（教材P126練習(xí)T2變式）如圖，已知平面上四點(diǎn)A，B，C，D.（1）畫(huà)直線AB，射線CD；（2）畫(huà)射線AD，連接BC；（3）直線AB與射線CD相交于點(diǎn)E；（4）連接AC，BD相交于點(diǎn)F.解：如圖所示.18.如圖，已知數(shù)軸上的原點(diǎn)為O，點(diǎn)A表示3，點(diǎn)B表示－1，回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸在原點(diǎn)O左邊的部分（包括原點(diǎn)）是一條什么線？怎樣表示？（2）射線OB上的點(diǎn)表示什么數(shù)？（3）數(shù)軸上表示不大于3且不小于－1的數(shù)的部分是什么圖形？怎樣表示？解：（1）是一條射線，表示為射線OB.（2）負(fù)數(shù)和零（非正數(shù)）.（3）線段，表示為線段AB.19.【易錯(cuò)】往返于甲、乙兩地的客車(chē)，中途有三個(gè)站（如圖）.其中每?jī)烧镜钠眱r(jià)不同.問(wèn)：（1）有多少種不同的票價(jià)？（2）要準(zhǔn)備多少種車(chē)票？解：根據(jù)線段的定義：可知圖中的線段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10條.（1）有10種不同的票價(jià).（2）因車(chē)票需要考慮方向性，如“A→C”與“C→A”票價(jià)相同，但方向不同，故需要準(zhǔn)備20種車(chē)票.綜合題20.如圖：（1）試驗(yàn)觀察：如果每過(guò)兩點(diǎn)可以畫(huà)一條直線，那么：第①組最多可以畫(huà)3條直線；第②組最多可以畫(huà)6條直線；第③組最多可以畫(huà)10條直線；（2）探索歸納：如果平面上有n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫(huà)eq\f(n（n－1）,2)條直線；（用含n的式子表示）（3）解決問(wèn)題：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每?jī)扇宋?次手問(wèn)好，那么共握990次手.第2課時(shí)比較線段的長(zhǎng)短基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1用尺規(guī)作一條線段等于已知線段1.尺規(guī)作圖的工具是（D）A.刻度尺和圓規(guī)B.三角尺和圓規(guī)C.直尺和圓規(guī)D.沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)2.已知：線段a，b.求作：線段AB，使得AB＝a＋2b.小明給出了四個(gè)步驟：①在射線AM上畫(huà)線段AP＝a；②則線段AB＝a＋2b；③在射線PM上畫(huà)PQ＝b，QB＝b；④畫(huà)射線AM.你認(rèn)為正確的順序是（B）A.①②③④B.④①③②C.④③①②D.④②①③3.如圖，已知線段a，b，作一條線段使它等于2a＋b.（要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）解：如圖，AC即為所求線段.知識(shí)點(diǎn)2線段的長(zhǎng)短比較及和差4.如圖所示，比較線段a和線段b的長(zhǎng)度，結(jié)果正確的是（B）A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.無(wú)法比較5.七年級(jí)（1）班的同學(xué)想舉行一次拔河比賽，他們想從兩條大繩中挑出一條較長(zhǎng)的繩子，請(qǐng)你為他們選擇一種合適的方法（A）A.把兩條大繩的一端對(duì)齊，然后同一方向上拉直兩條大繩，另一端在外面的即為長(zhǎng)繩B.把兩條繩子接在一起C.把兩條繩子重合，觀察另一端情況D.沒(méi)有辦法挑選6.如圖，在三角形ABC中，比較線段AC和AB長(zhǎng)短的方法可行的有（C）①憑感覺(jué)估計(jì)；②用直尺度量出AB和AC的長(zhǎng)度；③用圓規(guī)將線段AB疊放到線段AC上，觀察點(diǎn)B的位置；④沿點(diǎn)A折疊，使AB和AC重合，觀察點(diǎn)B的位置.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)知識(shí)點(diǎn)3線段的中點(diǎn)及等分點(diǎn)7.如圖，點(diǎn)B在線段AC上，下列式子中：①AB＝eq\f(1,2)AC；②AB＝BC；③AC＝2AB；④AB＋BC＝AC，其中能表示點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)的有（C）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.如圖，點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上，AC＝6，CB＝3，則OC的長(zhǎng)等于（C）A.0.5B.1C.1.5D.29.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)C是線段BD的四等分點(diǎn).若CB＝2，則線段AB的長(zhǎng)為（C）A.6B.10C.14D.1810.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn).（1）若AB＝10，AC＝6，求CD的長(zhǎng)；（2）若AC＝30，BD＝10，求AB的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，所以CD＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)锳B＝10，AC＝6，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4.所以CD＝eq\f(1,2)BC＝2.（2）因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，所以BC＝2BD.因?yàn)锽D＝10，所以BC＝2×10＝20.因?yàn)锳B＝AC＋BC，所以AB＝30＋20＝50.易錯(cuò)點(diǎn)由于點(diǎn)的位置不確定而出現(xiàn)漏解11.已知A，B，C是直線MN上的點(diǎn)，若AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，則BD的長(zhǎng)等于10cm或2cm.中檔題12.已知線段AB＝2cm，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C，使BC＝AB，再延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使BD＝2AB，則線段DC的長(zhǎng)為（C）A.4cmB.5cmC.6cmD.2cm13.【易錯(cuò)】已知點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn).如果AB＝10cm，AC＝8cm，那么線段MN的長(zhǎng)度為（D）A.6cmB.9cmC.3cm或6cmD.1cm或9cm14.如圖，C，D是線段AB上的點(diǎn)，若AB＝8，CD＝2，則圖中以A，C，D，B為端點(diǎn)的所有線段的長(zhǎng)度之和等于（D）A.24B.22C.20D.2615.如圖，點(diǎn)C，D，E都在線段AB上，已知AD＝BC，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則CE＝DE.（填“＞”“＜”或“＝”）16.如圖，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且AC＝4cm，點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，MN＝3cm，求線段CM和AB的長(zhǎng).解：因?yàn)辄c(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，AC＝4cm，所以NC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×4＝2（cm）.因?yàn)镸N＝3cm，所以CM＝MN－NC＝3－2＝1（cm）.所以AM＝AC＋CM＝4＋1＝5（cm）.因?yàn)辄c(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AM＝2×5＝10（cm）.17.如圖，已知線段AB＝20cm，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AC＝3BC，點(diǎn)D是線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB.（1）求線段BC的長(zhǎng)；（2）求線段DC的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)M還是哪些線段的中點(diǎn)？解：（1）因?yàn)锳C＝AB＋BC，AC＝3BC，所以3BC＝AB＋BC，即AB＝2BC.因?yàn)锳B＝20cm，所以BC＝10cm.（2）因?yàn)锳D＝eq\f(1,2)AB，AB＝20cm，所以AD＝10cm.所以DC＝AD＋AB＋BC＝10＋20＋10＝40（cm）.（3）因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，所以AM＝MB＝10cm.所以DM＝20cm，MC＝20cm.所以點(diǎn)M還是線段DC的中點(diǎn).綜合題18.已知線段AB上有兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P將AB分成兩部分，AP∶PB＝2∶3，點(diǎn)Q將AB也分成兩部分，AQ∶QB＝4∶1，且PQ＝3cm.求AP，QB的長(zhǎng).解：畫(huà)出圖形，如圖：設(shè)AP＝2xcm，PB＝3xcm，則AB＝5xcm.因?yàn)锳Q∶QB＝4∶1，所以AQ＝4xcm，QB＝xcm.所以PQ＝PB－QB＝2xcm.因?yàn)镻Q＝3cm，所以2x＝3.所以x＝1.5.所以AP＝3cm，QB＝1.5cm.

第3課時(shí)關(guān)于線段的基本事實(shí)及兩點(diǎn)間的距離基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1關(guān)于線段的基本事實(shí)1.（隨州中考改編）某同學(xué)用剪刀沿直線將一片平整的銀杏葉剪掉一部分（如圖），發(fā)現(xiàn)剩下的銀杏葉的周長(zhǎng)比原銀杏葉的周長(zhǎng)要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是（A）A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.兩點(diǎn)確定一條直線C.直線比曲線短D.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線2.【關(guān)注社會(huì)生活】下面現(xiàn)象，可以用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解釋的是（D）A.平板彈墨線B.建筑工人砌墻C.會(huì)場(chǎng)把茶杯擺直D.彎河道改直3.如圖，A，B是公路l兩旁的兩個(gè)村莊，若兩村要在公路上合修一個(gè)汽車(chē)站P，使它到A，B兩村的距離之和最小，試在l上標(biāo)注出點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由.解：點(diǎn)P的位置如圖所示.作法：連接AB交直線l于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為汽車(chē)站位置.理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)間的距離4.（濱州中考）若數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別表示數(shù)2，－2，則A，B兩點(diǎn)之間的距離可表示為（B）A.2＋（－2）B.2－（－2）C.（－2）＋2D.（－2）－25.如圖，線段AB＝8cm，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C.若線段BC的長(zhǎng)是AB長(zhǎng)的一半，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為（D）A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm中檔題6.（新疆中考）如圖所示，某同學(xué)的家在A處，星期日他到書(shū)店去買(mǎi)書(shū)，想盡快趕到書(shū)店B，請(qǐng)你幫助他選擇一條最近的路線（B）A.A→C→D→BB.A→C→F→BC.A→C→E→F→BD.A→C→M→B7.已知A，B，C為直線l上的三點(diǎn)，線段AB＝9cm，BC＝1cm，那么A，C兩點(diǎn)間的距離是（D）A.8cmB.9cmC.10cmD.8cm或10cm8.如圖，平面上有A，B，C，D四個(gè)村莊，為解決當(dāng)?shù)厝彼畣?wèn)題，政府準(zhǔn)備修建一個(gè)蓄水池，不考慮其他因素，請(qǐng)你畫(huà)出蓄水池P的位置，使它與4個(gè)村莊的距離之和最小.解：連接AC，BD的交點(diǎn)即為P點(diǎn)的位置，如圖.綜合題9.（教材P130習(xí)題T11變式）如圖所示，有一個(gè)圓柱形紙筒，一只蟲(chóng)子在點(diǎn)B處，一只蜘蛛在點(diǎn)A處，蜘蛛沿著紙筒表面準(zhǔn)備偷襲蟲(chóng)子，那么蜘蛛想要最快地捉住蟲(chóng)子，應(yīng)怎樣走？解：如圖所示，蜘蛛沿線段AB爬行，能最快地捉住蟲(chóng)子.小專(zhuān)題（十二）線段的計(jì)算類(lèi)型1中點(diǎn)問(wèn)題（整體思想）【例】如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn).（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，則線段MN的長(zhǎng)為eq\f(15,2)cm；（2）若AC＝acm，CB＝bcm，則線段MN的長(zhǎng)為eq\f(a＋b,2)cm；（3）若AB＝mcm，求線段MN的長(zhǎng)度；（4）若點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，且AB＝ncm，其他條件不變，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？并用一句簡(jiǎn)潔的話(huà)描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.解：（3）因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因?yàn)镸N＝MC＋CN，所以MN＝eq\f(1,2)（AC＋BC）＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.（4）猜想：MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(n,2)cm.結(jié)論：若點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，且點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝eq\f(1,2)AB.【變式1】若MN＝kcm，求線段AB的長(zhǎng).解：因?yàn)辄c(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，所以CM＝eq\f(1,2)AC.因?yàn)辄c(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，所以CN＝eq\f(1,2)BC.所以MN＝CM＋CN＝eq\f(1,2)（AC＋BC）＝eq\f(1,2)AB.所以AB＝2MN＝2kcm.【變式2】若將例題中的“點(diǎn)C在線段AB上”改為“點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變，（3）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.解：MN＝eq\f(m,2)cm成立.當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC.又因?yàn)镸N＝MC－CN，所以MN＝eq\f(1,2)（AC－BC）＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(m,2)cm.如圖，只要點(diǎn)C在線段AB所在直線上，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，那么MN＝eq\f(1,2)AB.圖1圖2圖31.如圖，C是線段AB上一點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn).若AB＝8cm，AC＝3.2cm，則線段MN的長(zhǎng)為2.4cm.2.如圖，已知點(diǎn)C，D為線段AB上順次兩點(diǎn)，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn).（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的長(zhǎng)；（2）若AB＝a，CD＝b，請(qǐng)用含a，b的式子表示出MN的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)锳B＝24，CD＝10，所以AC＋DB＝14.因?yàn)镸，N分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以CM＝eq\f(1,2)AC，DN＝eq\f(1,2)BD.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)（AC＋DB）＝7.所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.（2）因?yàn)锳B＝a，CD＝b，所以AC＋DB＝a－b.所以MC＋DN＝eq\f(1,2)（AC＋DB）＝eq\f(1,2)（a－b）.所以MN＝MC＋DN＋CD＝eq\f(1,2)（a－b）＋b＝eq\f(1,2)（a＋b）.類(lèi)型2直接計(jì)算3.如圖，已知線段AB，按下列要求完成畫(huà)圖和計(jì)算：（1）延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝2AB，取線段AC的中點(diǎn)D；（2）在（1）的條件下，如果AB＝4，求線段BD的長(zhǎng)度.解：（1）如圖.（2）因?yàn)锽C＝2AB，且AB＝4，所以BC＝8.所以AC＝AB＋BC＝8＋4＝12.因?yàn)镈為AC中點(diǎn)，所以AD＝eq\f(1,2)AC＝6.所以BD＝AD－AB＝6－4＝2.類(lèi)型3方程思想4.如圖，已知B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2∶5∶3三部分，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，BM＝6cm，求CM和AD的長(zhǎng).解：設(shè)AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm，則AD＝AB＋BC＋CD＝10xcm.因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以AM＝MD＝eq\f(1,2)AD＝5xcm.所以BM＝AM－AB＝5x－2x＝3xcm.因?yàn)锽M＝6cm，所以3x＝6.解得x＝2.故CM＝MD－CD＝5x－3x＝2x＝2×2＝4（cm），AD＝10x＝10×2＝20（cm）.5.如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(1,4)CD，線段AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)之間的距離是10cm，求AB，CD的長(zhǎng).解：設(shè)BD＝xcm，則AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以AE＝eq\f(1,2)AB＝1.5xcm，CF＝eq\f(1,2)CD＝2xcm.所以EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x（cm）.因?yàn)镋F＝10cm，所以2.5x＝10.解得x＝4.所以AB＝12cm，CD＝16cm.類(lèi)型4分類(lèi)討論思想6.已知線段AB＝60cm，在直線AB上畫(huà)線段BC，使BC＝20cm，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)度.解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖1，圖1CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)（AB－BC）＝eq\f(1,2)×（60－20）＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）；當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，圖2CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)（AB＋BC）＝eq\f(1,2)×（60＋20）＝eq\f(1,2)×80＝40（cm）.所以CD的長(zhǎng)度為20cm或40cm.7.課間休息時(shí)小明拿兩根木棒玩，小明說(shuō)：“較短木棒AB長(zhǎng)40cm，較長(zhǎng)木棒CD長(zhǎng)60cm，將它們的一端重合，放在同一條直線上，此時(shí)兩根木棒的中點(diǎn)分別是點(diǎn)E和點(diǎn)F，則點(diǎn)E和點(diǎn)F間的距離是多少？你說(shuō)對(duì)了我就給你玩.”聰明的你請(qǐng)幫小華求出此時(shí)兩根木棒的中點(diǎn)E和F間的距離是多少？解：如圖1，當(dāng)AB在CD的左側(cè)且點(diǎn)B和點(diǎn)C重合時(shí)，圖1因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）.因?yàn)辄c(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，所以CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×60＝30（cm）.所以EF＝BE＋CF＝20＋30＝50（cm）.如圖2，當(dāng)AB在CD上且點(diǎn)B和點(diǎn)C重合時(shí)，圖2因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×40＝20（cm）.因?yàn)辄c(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，所以CF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×60＝30（cm）.所以EF＝CF－BE＝30－20＝10（cm）.所以此時(shí)兩根木棒的中點(diǎn)E和F間的距離是50cm或10cm.類(lèi)型5動(dòng)態(tài)問(wèn)題8.如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為10和15，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)0＜t＜5時(shí)，用含t的式子填空：BP＝5－t，AQ＝10－2t；（2）當(dāng)t＝2時(shí)，求PQ的值；（3）【分類(lèi)討論思想】當(dāng)PQ＝eq\f(1,2)AB時(shí)，求t的值.解：（2）當(dāng)t＝2時(shí)，AP＜5，點(diǎn)P在線段AB上；OQ＜10，點(diǎn)Q在線段OA上，如圖所示：此時(shí)PQ＝OP－OQ＝（OA＋AP）－OQ＝（10＋t）－2t＝10－t＝8.（3）PQ＝|OP－OQ|＝|（OA＋AP）－OQ|＝|（10＋t）－2t|＝|10－t|.因?yàn)镻Q＝eq\f(1,2)AB，所以|10－t|＝2.5.解得t＝7.5或t＝12.5.4.3角4.3.1角基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角的定義及表示方法1.下列說(shuō)法中，正確的是（C）A.兩條射線組成的圖形叫做角B.有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角C.角可以看作是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形D.角可以看作是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形2.圖中角的表示方法正確的有（B）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)3.如圖所示，下列表示角的方法錯(cuò)誤的是（D）A.∠1與∠AOB表示同一個(gè)角B.∠β表示的是∠BOCC.圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD.∠AOC也可用∠O來(lái)表示4.如圖，∠1，∠2表示的角用大寫(xiě)字母分別表示為∠ABC，∠BCN；∠A也可表示為∠BAC，還可以表示為∠MAN.5.如圖所示，能用一個(gè)字母表示的角有2個(gè)，以A為頂點(diǎn)的角有3個(gè)，圖中所有的角有7個(gè)（小于平角）.知識(shí)點(diǎn)2角的度量6.（廈門(mén)中考）1°等于（C）A.10′B.12′C.60′D.100′7.下列各角中，是鈍角的是（B）A.eq\f(1,4)周角B.eq\f(2,3)平角C.平角D.eq\f(1,4)平角8.已知∠1＝27°18′，∠2＝27.18°，∠3＝27.3°，則下列說(shuō)法正確的是（A）A.∠1＝∠3B.∠1＝∠2C.∠1＜∠2D.∠2＝∠39.計(jì)算：（1）12′＝0.2°或720″；（2）360″＝0.1°或6′；（3）57.18°＝57°10′48″.知識(shí)點(diǎn)3鐘面角10.某校七年級(jí)在下午3：00開(kāi)展“陽(yáng)光體育”活動(dòng).下午3：00這一時(shí)刻，時(shí)鐘上分針與時(shí)針?biāo)鶌A的小于平角的角等于90°.易錯(cuò)點(diǎn)1角的概念辨析有誤11.下列說(shuō)法正確的是（C）A.平角就是一條直線B.小于平角的是鈍角C.平角的兩條邊在同一條直線上D.周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數(shù)為0°易錯(cuò)點(diǎn)2角度換算時(shí)出錯(cuò)12.（1）把124.24°化為度、分、秒的形式為124°14′24″；（2）若把36°36′36″化成以度為單位，則結(jié)果為36.61°.中檔題13.下列各式中，角度互化正確的是（D）A.63.5°＝63°50′B.23°12′36″＝23.48°C.18°18′18″＝18.33°D.22.25°＝22°15′14.【易錯(cuò)】一個(gè)20°的角放在10倍的放大鏡下看是（A）A.20°B.2°C.200°D.無(wú)法判斷15.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，則在此圖中小于平角的角有（B）A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)16.如圖，有下列說(shuō)法：①∠ECG和∠C是同一個(gè)角；②∠OGF和∠OGB是同一個(gè)角；③∠DOF和∠EOG是同一個(gè)角；④∠ABC和∠ACB是同一個(gè)角.其中正確的有（B）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)17.（通遼中考）4點(diǎn)10分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（B）A.55°B.65°C.70°D.以上結(jié)論都不對(duì)18.如圖，寫(xiě)出符合下列條件的角（圖中所有的角均指小于平角的角）.（1）能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示的角；（2）以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的角；（3）圖中所有的角（可用簡(jiǎn)便方法表示）.解：（1）∠B，∠C.（2）∠CAD，∠BAD，∠BAC.（3）∠C，∠B，∠1，∠2，∠3，∠4，∠CAB.19.爸爸問(wèn)小明：“一個(gè)方桌有四個(gè)角，如果鋸掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角？”小明回答：“還剩3個(gè)角.”并畫(huà)出了如下圖形.小明回答正確嗎？若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由，并畫(huà)出圖形.解：不正確，理由：除小明這種畫(huà)法外還有如下兩種畫(huà)法，所以還剩3個(gè)或4個(gè)或5個(gè)角.畫(huà)圖如下：【變式】n邊形剪去一個(gè)角，還剩（n－1）或n或（n＋1）個(gè)角.綜合題20.【類(lèi)比探究】有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn).如圖所示，如果過(guò)角的頂點(diǎn)：（1）在角的內(nèi)部作1條射線，那么圖中一共有3個(gè)角；（2）在角的內(nèi)部作2條射線，那么圖中一共有6個(gè)角；（3）在角的內(nèi)部作3條射線，那么圖中一共有10個(gè)角；（4）在角的內(nèi)部作n條射線，那么圖中一共有eq\f(（n＋2）（n＋1）,2)個(gè)角.【變式】以直線l外一點(diǎn)P為端點(diǎn)，向直線l上的n（n>1）個(gè)點(diǎn)作射線，則以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，以這些射線為邊的角（小于180°）的個(gè)數(shù)為eq\f(n（n－1）,2).（用含有n的式子表示）

4.3.2角的比較與運(yùn)算基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1角的比較1.在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定存在（A）A.∠AOB＞∠AOCB.∠AOC＝∠BOCC.∠BOC＞∠AOCD.∠AOC＞∠BOC2.（佛山中考）比較兩個(gè)角的大小，有以下兩種方法（規(guī)則）：①用量角器度量?jī)蓚€(gè)角的大小，用度數(shù)表示，則角度大的角大；②構(gòu)造圖形，若一個(gè)角包含（或覆蓋）另一個(gè)角，則這個(gè)角大.對(duì)于如圖給定的∠ABC與∠DEF，用以上兩種方法分別比較它們的大小.注：構(gòu)造圖形時(shí)，作示意圖（草圖）即可.解：第一種方法略.第二種方法如圖所示：故∠DEF大.知識(shí)點(diǎn)2角的平分線3.（百色中考）如圖，AM為∠BAC的平分線，下列等式錯(cuò)誤的是（C）A.eq\f(1,2)∠BAC＝∠BAMB.∠BAM＝∠CAMC.∠BAM＝2∠CAMD.2∠CAM＝∠BAC4.如圖所示，如果OC，OD是∠AOB的三等分線，那么OD是∠BOC的平分線，OC是∠AOD的平分線，∠AOC＝∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝eq\f(1,3)∠AOB，∠AOD＝2∠BOD或∠DOC或∠COA.知識(shí)點(diǎn)3角的運(yùn)算5.根據(jù)圖形填空.（1）∠AOD＝∠DOC＋∠AOC＝∠DOB＋∠AOB＝∠AOB＋∠COD＋∠COB；（2）∠AOD－∠COD＝∠AOC；（3）∠DOB＝∠DOA－∠AOC＋∠BOC.6.如圖，若∠AOB＝∠COD，則（C）A.∠1＞∠2B.∠1＜∠2C.∠1＝∠2D.∠1，∠2的大小不確定7.將一副直角三角尺按如圖所示擺放，則圖中∠ABC的度數(shù)是（B）A.120°B.135°C.145°D.150°8.如圖所示，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠1＝40°，OD平分∠BOC，則∠2的度數(shù)是（D）A.20°B.25°C.30°D.70°9.計(jì)算：（1）15°37′＋42°51′＝58°28′；（2）22°18′×5＝111°30′；（3）57.41°÷3＝19°8′12″.10.如圖，已知∠AOB＝80°，∠AOC＝15°，OD是∠AOB的平分線，求∠DOC的度數(shù).解：因?yàn)椤螦OB＝80°，OD是∠AOB的平分線，所以∠AOD＝∠BOD＝40°.因?yàn)椤螦OC＝15°，所以∠DOC＝∠AOD－∠AOC＝40°－15°＝25°.中檔題11.（濱州中考）借助一副三角尺，你能畫(huà)出下面哪個(gè)度數(shù)的角（B）A.65°B.75°C.85°D.95°12.如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則下列結(jié)論正確的有（C）①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC.A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)13.【整體思想】如圖所示，將一張長(zhǎng)方形紙的一角斜折過(guò)去，使頂點(diǎn)A落在A′處，BC為折痕.若BD為∠A′BE的平分線，則∠CBD＝（B）A.80°B.90°C.100°D.70°14.如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOD.若∠AOD∶∠BOC＝5∶1，則∠COE的度數(shù)為（A）A.30°B.40°C.50°D.60°15.【整體思想】如圖，OC，OD是∠AOB內(nèi)的兩條射線，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∠AOB＝120°，∠MON＝80°，則∠COD＝40°.16.如圖，∠BOA＝90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，求∠BOD的度數(shù).解：因?yàn)镺C平分∠BOA，所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠BOA.因?yàn)椤螧OA＝90°，所以∠AOC＝eq\f(1,2)×90°＝45°.因?yàn)镺A平分∠COD，所以∠AOD＝∠AOC＝45°.所以∠BOD＝∠BOA＋∠AOD＝90°＋45°＝135°.17.如圖所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，求∠BOC和∠COD的度數(shù).解：設(shè)∠AOB和∠AOD分別為2x°，7x°，由題意，得2x＋100＝7x，解得x＝20.則∠AOB＝40°，∠AOD＝140°.所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝40°.綜合題18.已知在同一平面內(nèi)，∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.（1）【易錯(cuò)】∠COB＝30°或150°；（2）若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，則∠DOE的度數(shù)為45°；（3）在（2）的條件下，將題目中的∠AOC＝60°改成∠AOC＝2α（α＜45°），其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；若不能，說(shuō)明理由.解：需要分兩種情況討論：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖1，因?yàn)镺D平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（90°－2α）＋eq\f(1,2)·2α＝45°；當(dāng)OC在∠AOB外部時(shí)，如圖2，因?yàn)镺D平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC－eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（90°＋2α）－eq\f(1,2)·2α＝45°.

4.3.3余角和補(bǔ)角基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1余角和補(bǔ)角的定義1.（梧州中考）已知∠A＝55°，則它的余角是（B）A.25°B.35°C.45°D.55°2.若兩個(gè)角互補(bǔ)，則（D）A.這兩個(gè)角都是銳角B.這兩個(gè)角都是鈍角C.這兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，一個(gè)鈍角D.以上答案都不對(duì)3.下列能與60°的角互余的角是（A）ABCD4.（昆明中考）如圖，過(guò)直線AB上一點(diǎn)O作射線OC，∠BOC＝29°18′，則∠AOC的度數(shù)為150°42′.5.若∠1＝∠2，且∠1與∠2互余，則∠1＝∠2＝45°.6.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的3倍，這個(gè)角的度數(shù)為多少？解：設(shè)這個(gè)角為x°，則這個(gè)角的補(bǔ)角為（180－x）°.依題意，得180－x＝3x.解得x＝45.答：這個(gè)角為45°.知識(shí)點(diǎn)2余角、補(bǔ)角的性質(zhì)7.如圖，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，這是根據(jù)（C）A.直角都相等B.等角的余角相等C.同角的余角相等D.同角的補(bǔ)角相等8.已知∠α＝59°20′，若∠α與∠β互余，且∠β與∠γ互余，則∠γ的度數(shù)為59°20′.9.若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，則∠1與∠2的大小關(guān)系是相等.知識(shí)點(diǎn)3方向角10.如圖，一艘輪船在O處同時(shí)測(cè)得小島A，B的方向分別為北偏西30°和東北方向，則∠AOB的度數(shù)是（D）A.135°B.115°C.105°D.75°11.如圖，根據(jù)點(diǎn)A，B，C，D，E在圖中的位置填空.（1）射線OA表示東北方向；（2）射線OB表示北偏西30°；（3）射線OC表示南偏西60°；（4）射線OD表示正南方向；（5）射線OE表示南偏東50°.易錯(cuò)點(diǎn)1混淆互余和互補(bǔ)的概念而致錯(cuò)12.下列說(shuō)法中正確的有③（填序號(hào)）.①鈍角與銳角互補(bǔ)；②∠α的余角是90°－∠α；③∠β（0°<∠β<180°）的補(bǔ)角是180°－∠β；④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，則∠1，∠2，∠3互余.易錯(cuò)點(diǎn)2找余角或補(bǔ)角時(shí)漏解13.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，且∠COE＝90°，則與∠EOA互余的角有∠COA，∠DOB.易錯(cuò)點(diǎn)3忽視方向線與方向角之間的關(guān)系14.（河北中考）已知島P位于島Q的正西方，由島P，Q分別測(cè)得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上，符合條件的示意圖是（D）ABCD中檔題15.一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大（C）A.45°B.60°C.90°D.120°16.如圖所示，∠1>∠2，那么∠2與eq\f(1,2)（∠1－∠2）之間的關(guān)系是（B）A.互補(bǔ)B.互余C.和為45°D.和為22.5°17.（德州中考）如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中∠α與∠β互余的是（A）A.圖1B.圖2C.圖3D.圖418.【方程思想】一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的eq\f(1,3)還少20°，則這個(gè)角的大小是75°.19.如圖，O點(diǎn)是學(xué)校所在位置，A村位于學(xué)校南偏東42°方向，B村位于學(xué)校北偏東25°方向，C村位于學(xué)校北偏西65°方向，在B村和C村間的公路OE（射線）平分∠BOC.（1）求∠AOE的度數(shù)；（2）公路OE上的車(chē)站D相對(duì)于學(xué)校O的方位是什么？（以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)）解：（1）如圖所示：因?yàn)锳村位于學(xué)校南偏東42°方向，所以∠1＝42°.因?yàn)锽村位于學(xué)校北偏東25°方向，所以∠4＝25°.所以∠AOB＝180°－∠1－∠4＝113°.因?yàn)镃村位于學(xué)校北偏西65°方向，所以∠COM＝65°.所以∠BOC＝∠COM＋∠4＝90°.因?yàn)镺E平分∠BOC，所以∠COE＝∠BOE＝45°.所以∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝113°＋45°＝158°.（2）∠EOM＝∠BOE－∠4＝20°，所以車(chē)站D相對(duì)于學(xué)校O的方位是北偏西20°.20.如圖，O是直線AB上的一點(diǎn)，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.（1）求∠COD的度數(shù)；（2）圖中有哪幾對(duì)角互為余角？（3）圖中有哪幾對(duì)角互為補(bǔ)角？解：（1）根據(jù)題意，得∠BOC＋∠AOE＝90°.因?yàn)椤螧OC∶∠AOE＝3∶1，所以∠BOC＝eq\f(3,4)×90°＝67.5°.所以∠COD＝90°－67.5°＝22.5°.（2）∠COB與∠COD，∠COB與∠AOE，∠DOE與∠COD，∠DOE與∠AOE.（3）∠COB與∠COA，∠DOE與∠COA，∠AOE與∠EOB，∠COD與∠EOB，∠AOD與∠BOD，∠EOC與∠AOD，∠EOC與∠BOD.綜合題21.【注重類(lèi)比探究】如圖1所示，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處.（1）①∠AOD和∠BOC相等嗎？說(shuō)明理由；②∠AOC和∠BOD在數(shù)量上有何關(guān)系？說(shuō)明理由；（2）若將等腰的三角尺繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置.①∠AOD和∠BOC相等嗎？說(shuō)明理由；②∠AOC和∠BOD的以上關(guān)系還成立嗎？說(shuō)明理由.解：（1）①∠AOD＝∠BOC.理由略.②∠AOC和∠BOD互補(bǔ).理由略.（2）①∠AOD＝∠BOC.理由略.②∠AOC和∠BOD互補(bǔ).理由略.小專(zhuān)題（十三）角的計(jì)算類(lèi)型1角平分線的有關(guān)計(jì)算（整體思想）【例】（教材P140習(xí)題T9變式）如圖，已知∠AOB內(nèi)部有三條射線OE，OC，OF，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.（1）若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，則∠EOF＝45°；（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，則∠EOF＝eq\f(α＋β,2)；（3）若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF與θ的關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ，理由：因?yàn)镺E平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.【變式1】若∠EOF＝γ，求∠AOB的度數(shù).解：因?yàn)镺E平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝eq\f(1,2)∠BOC＋eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)（∠BOC＋∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOB.因?yàn)椤螮OF＝γ，所以∠AOB＝2γ.【變式2】若射線OC在∠AOB的外部如圖所示位置，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則上述（3）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：∠EOF＝eq\f(1,2)θ成立.理由：因?yàn)镺E平分∠BOC，OF平分∠AOC，所以∠EOC＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COF＝eq\f(1,2)∠AOC.所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)（∠AOC－∠BOC）＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)θ.如圖，當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部或外部，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC時(shí)，總有∠EOF＝eq\f(1,2)∠AOB.（∠AOB＋∠AOC≤180°）（∠AOB＋∠BOC≤180°）【拓展變式】若射線OC在∠AOB的外部如圖所示位置，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，則∠EOF與∠AOB的數(shù)量關(guān)系是∠EOF＝180°－eq\f(1,2)∠AOB.1.如圖，已知∠AOB內(nèi)部有順次的四條射線：OE，OC，OD，OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.（1）若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，則∠EOF的度數(shù)為100°；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度數(shù)；（3）從（1）、（2）的結(jié)果，你能看出什么規(guī)律嗎？解：（2）因?yàn)镺E平分∠AOC，OF平分∠BOD，所以∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC，∠DOF＝eq\f(1,2)∠BOD.所以∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠DOF＝eq\f(1,2)∠AOC＋∠COD＋eq\f(1,2)∠BOD＝eq\f(1,2)（∠AOC＋∠COD＋∠BOD）＋eq\f(1,2)∠COD＝eq\f(1,2)∠AOB＋eq\f(1,2)∠COD＝eq\f(1,2)α＋eq\f(1,2)β＝eq\f(1,2)（α＋β）.（3）若∠AOB內(nèi)部有順次的四條射線：OE，OC，OD，OF，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，則∠EOF＝eq\f(1,2)（∠AOB＋∠COD）.類(lèi)型2直接計(jì)算2.如圖，點(diǎn)A，O，E在同一直線上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度數(shù).解：因?yàn)椤螮OD＝28°46′，OD平分∠COE，所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.又因?yàn)椤螦OB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.3.已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分線.（1）如圖1，當(dāng)∠AOB與∠BOC互補(bǔ)時(shí)，求∠COD的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)∠AOB與∠BOC互余時(shí)，求∠COD的度數(shù).解：（1）因?yàn)椤螦OB與∠BOC互補(bǔ)，所以∠AOB＋∠BOC＝180°.因?yàn)椤螦OB＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°.因?yàn)镺D是∠BOC的平分線，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝70°.（2）因?yàn)椤螦OB與∠BOC互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.因?yàn)椤螦OB＝40°，所以∠BOC＝90°－40°＝50°.因?yàn)镺D是∠BOC的平分線，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠BOC＝25°.類(lèi)型3方程思想4.一個(gè)角的補(bǔ)角加上10°后等于這個(gè)角的余角的3倍，求這個(gè)角.解：設(shè)這個(gè)角為x°，則它的余角為（90－x）°，補(bǔ)角為（180－x）°.根據(jù)題意，得180－x＋10＝3×（90－x）.解得x＝40.答：這個(gè)角為40°.5.如圖，∠AOB，∠COB，∠COD的度數(shù)之比是2∶1∶3，且∠AOC＋∠DOB＝140°，求∠AOD的度數(shù).解：設(shè)∠COB＝x°，則∠AOB＝2x°，∠COD＝3x°.根據(jù)題意，得x＋2x＋x＋3x＝140.解得x＝20.所以∠AOD＝2x°＋x°＋3x°＝6x°＝6×20°＝120°.6.如圖，已知∠AOB＝eq\f(1,2)∠BOC，∠COD＝∠AOD＝3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度數(shù).解：設(shè)∠AOB＝x°，則∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.因?yàn)椤螦OB＝eq\f(1,2)∠BOC，所以∠BOC＝2x°.因?yàn)椤螧OC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝360°，所以2x＋3x＋3x＋x＝360.解得x＝40.所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.類(lèi)型4分類(lèi)討論思想7.已知：如圖，OC是∠AOB的平分線.（1）當(dāng)∠AOB＝60°時(shí)，求∠AOC的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，∠EOC＝90°，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形，并求∠AOE的度數(shù)；（3）當(dāng)∠AOB＝α?xí)r，∠EOC＝90°，直接寫(xiě)出∠AOE的度數(shù).（用含α的式子表示）解：（1）因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB.因?yàn)椤螦OB＝60°，所以∠AOC＝30°.（2）如圖1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；如圖2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.（3）90°＋eq\f(α,2)或90°－eq\f(α,2).類(lèi)型5角的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題8.已知，點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC.（1）如圖1.①若∠AOC＝60°，則∠DOE的度數(shù)為30°；②若∠AOC＝α，則∠DOE的度數(shù)為eq\f(1,2)α（用含α的式子表示）；（2）將圖1中的∠DOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究∠DOE和∠AOC的度數(shù)之間的關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.解：∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOC，理由如下：因?yàn)椤螧OC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，所以∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)（180°－∠AOC）＝90°－eq\f(1,2)∠AOC.所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－（90°－eq\f(1,2)∠AOC）＝eq\f(1,2)∠AOC.

小專(zhuān)題（十四）計(jì)數(shù)問(wèn)題——教材P130習(xí)題T12的變式與應(yīng)用【例】如圖所示，直線AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：當(dāng)直線AB上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有3條；當(dāng)直線AB上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有6條；當(dāng)直線AB上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有10條……（1）當(dāng)直線AB上有6個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有15條；（2）當(dāng)直線AB上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段總數(shù)共有eq\f(n（n－1）,2)條（用含n的式子表示）；（3）當(dāng)n＝100時(shí)，線段總數(shù)共有多少條？解：當(dāng)n＝100時(shí)，線段總數(shù)共有4950條.數(shù)線段時(shí)要掌握一定的方法和規(guī)律，必須做到不重不漏.一般方法是從左起第一個(gè)點(diǎn)數(shù)起，使第一個(gè)點(diǎn)和其右邊的每一個(gè)點(diǎn)各組合一次，得到（n－1）條線段，然后再?gòu)淖笃鸬诙€(gè)點(diǎn)數(shù)起，使它和它右邊的每一個(gè)點(diǎn)各組合一次，得到（n－2）條線段，…，依次數(shù)下去，最后相加.若一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則線段的條數(shù)為（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1＝eq\f(1,2)n（n－1）.1.下表反映了平面內(nèi)直線條數(shù)與它們最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：圖形…直線條數(shù)234…最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)13＝1＋26＝1＋2＋3…按此規(guī)律，6條直線相交，最多有15個(gè)交點(diǎn)；n條直線相交，最多有eq\f(n（n－1）,2)個(gè)交點(diǎn).（n為正整數(shù)）2.已知：O為直線AB上的一點(diǎn)，畫(huà)出射線OC（如圖1），則圖中有2個(gè)角（除平角外）；再畫(huà)出射線OD（如圖2），則圖中有5個(gè)角（除平角外）；再畫(huà)出射線OE（如圖3），則圖中有9個(gè)角（除平角外）；…，依此類(lèi)推，圖10中有65個(gè)角（除平角外）.3.為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡(jiǎn)單的情形入手.①一條直線把平面分成2部分；②兩條直線最多可把平面分成4部分；③三條直線最多可把平面分成7部分；④四條直線最多可把平面分成11部分；…把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析.直線條數(shù)最多把平面分成部分?jǐn)?shù)寫(xiě)成和的形式121＋1241＋1＋2371＋1＋2＋34111＋1＋2＋3＋4………這樣就能發(fā)現(xiàn)每增加一條直線就把平面多分成相應(yīng)直線條數(shù)的部分.（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時(shí)，最多把平面分成為16部分，寫(xiě)成和的形式是1＋1＋2＋3＋4＋5；（2）當(dāng)直線條數(shù)為10時(shí)，最多把平面分成56部分；（3）n條直線能把平面最多分成多少個(gè)部分？（用含n的式子表示）解：eq\f(1,2)n（n＋1）＋1.

4.4課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)設(shè)計(jì)制作長(zhǎng)方體形狀的包裝紙盒1.（漳州中考）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體包裝盒，則它的平面展開(kāi)圖是（A）2.下列圖形中，可以沿虛線折疊成長(zhǎng)方體包裝盒的有（1）（3）.中檔題3.（寧波中考）下列四張正方形硬紙片，剪去陰影部分后，如果沿虛線折疊，可以圍成一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體包裝盒的是（C）4.如圖是一個(gè)能折成長(zhǎng)方體的模型，那么由它折成的長(zhǎng)方體是下列圖形中的（D）5.如圖是一個(gè)食品包裝盒的表面展開(kāi)圖.（1）請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)包裝盒的多面體形狀的名稱(chēng)；（2）請(qǐng)根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸，計(jì)算這個(gè)多面體的表面積和體積.解：（1）長(zhǎng)方體.（2）表面積是4ab＋2b2，體積是ab2.6.如圖所示是一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒的展開(kāi)圖，紙盒底面積為600cm2.（1）求紙盒的高為多少厘米；（2）展開(kāi)圖的周長(zhǎng)為多少厘米？解：（1）