專題訓練十一　構(gòu)造中位線解題

專題訓練十一構(gòu)造中位線解題連接兩點構(gòu)造三角形的中位線1.如圖,在△ABC中,D為AB的中點,連接DC,過AC的中點E作EF∥CD,交BC的延長線于點F.求證:BC=2CF.2.如圖,在四邊形ABDC中,AB=AC,DB⊥AB,DC⊥AC,且E,F,G,H分別為AB,AC,CD,BD的中點.(1)求證:EH=FG.(2)連接AD,BC交于點O,則AD,BC有何位置關(guān)系?證明你的結(jié)論.利用角平分線和垂直構(gòu)造三角形中位線3.如圖,在△ABC中,M為BC的中點,AD為△ABC的外角平分線,且AD⊥BD,若AB=12,AC=18,求DM的長.4.(2024丹東月考)如圖,已知AO是△ABC中∠BAC的平分線,BD⊥AO交AO的延長線于點D,E是BC的中點.求證:DE=12(AB-AC)已知一邊中點,取另一邊中點構(gòu)造三角形的中位線5.如圖,AD是△ABC的中線,AE是△ABD的中線,BA=BD.求證:AE=12倍長法構(gòu)造三角形的中位線6.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,M為AF的中點.求證:ME=12CF.已知兩邊中點,取第三邊中點構(gòu)造三角形的中位線7.如圖,已知:在四邊形ABCD中,AD=BC,E,F分別是DC,AB的中點,直線EF分別與BC,AD的延長線相交于點G,H.求證:∠AHF=∠BGF.8.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,P是AD的中點,延長BP交AC于點N.求證:AN=13

【詳解答案】1.證明:如圖,連接DE,∵D,E分別為AB,AC的中點,∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12又∵EF∥CD,∴四邊形CDEF為平行四邊形,∴CF=DE=12BC∴BC=2CF.2.解:(1)證明:∵E,H分別為AB,BD的中點,∴EH是△BAD的中位線,∴EH=12同理,FG是△ACD的中位線,∴FG=12AD∴EH=FG.(2)AD垂直平分BC.證明如下:∵DB⊥AB,DC⊥AC,∴∠ABD=∠ACD=90°.在Rt△ABD與Rt△ACD中,AB=AC,AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,∴OA⊥BC,OB=OC,∴AD垂直平分BC.3.解:如圖,延長BD,CA交于點N.∵AD為△ABC的外角平分線,∴∠NAD=∠BAD.又∵AD⊥BD,∴∠ADN=∠ADB=90°.在△AND和△ABD中,∠NAD∴△AND≌△ABD(ASA),∴DN=DB,AN=AB.∵M為BC的中點,∴DM是△BCN的中位線,∴DM=12NC=12(AN+AC)=12(AB+AC)4.證明:如圖,延長AC,BD交于點F,∵AO是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠FAD.∵BD⊥AO,∴∠ADB=∠ADF=90°.∵在△ABD和△AFD中,∠BAD∴△ABD≌△AFD(ASA),∴AB=AF,BD=DF.∵E是BC的中點,∴ED是△BCF的中位線,∴DE=12CF=12(AF-AC)=12(AB-5.證明:如圖,取BA的中點F,連接DF.∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD,∴DF為△ABC的中位線,∴DF=12∵BA=BD,AE和DF是等腰三角形BAD兩腰上的中線,∴AE=DF,∴AE=126.證明:如圖,延長FE至點N,使EN=EF,連接BN,AN.易得ME=12∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BF=BN,∴∠BNF=∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFN=45°,∴∠BNF=45°,∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN=90°.又∵∠FBA+∠CBF=90°,∴∠CBF=∠ABN.在△BCF和△BAN中,BF=∴△BCF≌△BAN(SAS),∴CF=AN,∴ME=12AN=17.證明:如圖,連接AC,作EM∥AD,交AC于點M,連接MF.∵E是CD的中點,且EM∥AD,∴EM=12AD,M是AC的中點又∵F是AB的中點,∴MF∥BC,且MF=12∵AD=BC,∴EM=MF,∴∠MEF=∠MFE.∵EM∥AH,∴∠MEF=∠AHF.∵FM∥BG,∴∠MFE=∠BGF,∴∠AHF=∠BGF.8.證明:如圖,取NC的中點H,連接DH,過點H作HE∥AD,交BN的延長線于點E.∵AB=AC,AD⊥BC,∴D為BC的中點.又∵H為NC的中點,∴DH為△BNC的中位線,∴DH∥BN