2024-2025學(xué)年上海高橋中學(xué)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷及答案（2024.11）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】作函數(shù)的圖象如下,是開口向上的二次函數(shù)，其零點(diǎn)個數(shù)最多為2個，

①若只有一個解，則函數(shù)最多只有4個零點(diǎn)，不合題意；

②若有兩個解，要使函數(shù)有6個零點(diǎn)，則需兩個零點(diǎn)滿足或，

(i)若為,則,此時無解;

(ii)若為,則需,即

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:12．已知，，…，是1，2，…，（，）滿足下列性質(zhì)的一個排列，性質(zhì)：排列，，…，中有且僅有一個，滿足性質(zhì)的數(shù)列，，…，一的個數(shù)________【答案】【解析】當(dāng)時,所有的排列有:,,其中滿足僅存在一個,使得的排列有:;同理可得：；歸納出.

證明:在的所有排列,..中,若，從個數(shù)1，中選個數(shù)從小到大排列為：,,其余的則按從小到大的順序排列在余下位置;滿足題意的排列個數(shù)為;

若,則滿足題意的排列個數(shù)為綜上故答案為:.二、選擇題13.D；14.A；15.D；16.D15.在中，已知，，點(diǎn)在線段上，且滿足，當(dāng)取最小值時，的外接圓面積為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,又,

所以所在的直線為,設(shè),則所以當(dāng)時,最小,此時點(diǎn),因?yàn)?所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理得,所以,所以.故選:.16.中國結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線．用數(shù)學(xué)的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．在平面上，把到兩個定點(diǎn)，距離之積等于的動點(diǎn)軌跡稱為雙紐線，是曲線上的一個動點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）．①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱；②曲線上滿足的有且只有一個；③動點(diǎn)到定點(diǎn)距離之和的最小值為；④若直線與曲線只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】設(shè),則根據(jù)雙紐線的定義有

故,即曲線的軌跡方程為。

用替換方程中的,原方程不變，曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故①正確;

若曲線上點(diǎn)滿足,則點(diǎn)在的垂直平分線，即軸上，故，

代入曲線方程得,解得,所以這樣的點(diǎn)僅有一個,故②正確;，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，,故③正確;由題意知直線與曲線一定有公共點(diǎn),若直線與曲線只有一個交點(diǎn),將代入曲線方程中,方程無非零解，則，解得或，故④正確。故選：D.三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）19.（1）2338.3平方米（2）（3）當(dāng)為時，停車場面積取得最大值20.給定橢圓，將圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓稱為橢圓的“伴隨圓”，已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別是，．（1）若橢圓上一動點(diǎn)滿足，求橢圓的方程與離心率；（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線與橢圓只有一個交點(diǎn)，且截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，，橢圓的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)，的直線的最短距離為，是否存在實(shí)數(shù)，，使得為．若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，理由見解析【解析】(1)依題意,,橢圓的方程為:,其"伴隨圓"的方程為:;

(2)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,消去整理得:令

解得:,直線截橢圓的"伴隨圓"所得弦長為,解得:,點(diǎn)的坐標(biāo)為:;

(3)結(jié)論：存在滿足題意。理由如下:

過兩點(diǎn)的直線的方程為:整理得：，),即圓心到直線的距離

當(dāng)時,,但,故等式不能成立;

當(dāng)時,

又解得:或(舍),

綜上所述,存在滿足題意.21.已知函數(shù)，直線是函數(shù)在處的切線．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）求證：直線不經(jīng)過原點(diǎn)；（3）當(dāng)時，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示和的面積．是否存在點(diǎn)使得成立，若存在，這樣的點(diǎn)有幾個？若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）見解析（3）見解析【解析】（1）當(dāng)時，，定義域,,

當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)依題意,,切線的斜率為,

則切線的方程為,假設(shè)切線過原點(diǎn)，

將代入，得，即,

則,即,令,

求導(dǎo)得,則在上單調(diào)遞增，

于是，函數(shù)在上無零點(diǎn)，即假設(shè)不成立，切線不過.