2025年春新湘教版數學七年級下冊課件 第4章 平面內的兩條直線 4.5 垂線 第2課時 垂線段與點到直線的距離

垂線段與點到直線的距離湘教版·七年級數學下冊④情境導入在灌溉時，要把河中的水引到農田P處，如何挖掘能使渠道最短？河問題1：如圖，任畫一條直線l，作l的垂線.這樣的垂線能畫出幾條？可以畫無數條新課探究問題2：任畫一條直線l，用三角板或量角器過任意一點P

畫直線l

的垂線.(1)若直線l

經過點P

，這樣的垂線能畫幾條？可以畫一條一“靠”二“過”三“畫”(2)若直線l

不經過點P

，這樣的垂線能畫幾條？可以畫一條b根據以上操作，你能得出什么結論?問題2：任畫一條直線l，用三角板或量角器過任意一點P

畫直線l

的垂線.在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

b注意:①“過一點”中的點，可以在已知直線上，也可以在已知直線外.②“有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.如圖，設PO垂直于直線l，O為垂足，線段PO叫作點P到直線l的垂線段．經過點P的其他直線分別交直線l于A，B，C，D···，線段PA，PB，PC，PD，···都不是垂線段，稱為斜線段．垂線段是垂線上的一部分，它是線段，一端是一個點，另一端是垂足.①用刻度尺量，發(fā)現垂線段PO

最短.說一說比較圖中PA，PB，PO，PC，PD

五條線段的長度，哪條線段最短？②用圓規(guī)比較垂線段PO和斜線段PA，PB，PC，PD

的長度，可知線段PO最短.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫作點到直線的距離.簡單說成：垂線段最短．如圖：垂線段PO的長度叫作點P到直線l的距離.特別規(guī)定：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.(1)量出圖中點P

到直線AB

的距離.做一做(2)某單位要在河岸l

上建一個水泵房引水到C處，

如圖，問建在哪個位置才最節(jié)省水管？為什么？如圖，垂線段最短．做一做(3)由(1)(2)你會發(fā)現可以怎樣求點到直線的距離？做一做求點到直線的距離可以轉化為求點到點的距離.如圖，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(1)點A

到直線BC的距離；解：

因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC，點B為垂足，所以線段AB即為點A

到直線BC的垂線段.因為AB=5，所以點A到直線BC的距離為5.解：因為BD⊥AC，垂足為點D，所以線段BD

的長度即為點B

到直線AC

的距離.等面積法因為S△ABC=·BC·AB=·AC·BD,所以BD=.所以點B到直線AC的距離為.如圖，在△ABC

中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足為點D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(2)點B

到直線AC

的距離.[選自教材P118練習]1.如圖，在△ABC

中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，求點A到BC

的距離，點C

到AB

的距離.解:作AD⊥BC，垂足為點D.D所以線段AD

的長度即為點A

到直線BC

的距離.因為S△ABC=·AC·AB=·BC·AD,所以AD=.因為∠BAC=90°，所以AC⊥AB，點A為垂足，所以線段AC

的長度即為點C到直線AB

的距離，則距離為4.[選自教材P118練習]提示:用直尺量出圖中點P到各直線的距離,再按比例尺換算成實際距離.2.某公園的

4條縱橫交錯的人行道和一噴泉的示意圖如圖所示（比例尺為：1∶5000），其中直線a，b，c，d表示人行道，點P表示噴泉.

量出點P

到4條直線的距離，并求出其實際距離．3．如圖，體育課上應該怎樣測量同學們的跳遠成績？解:體育課上，測量同學們的跳遠成績的方法:先分別過落地點作起跳線的垂線，然后分別量取這些落地點到起跳線的垂線段的長度，這些長度就分別是同學們各自的跳遠成績.[選自教材P118練習]1.如圖，①過點

Q

作

QD⊥AB，垂足為

D，②過點

P

作

PE⊥AB，垂足為

E，③過點

Q

作

QF⊥AC，垂足為

F，④連

P、Q

兩點，⑤

P、Q

兩點間的距離是線段______的長度，⑥點

Q到直線

AB

的距離是線段_______的長度，⑦點

Q

到直線

AC

的距離是線段_______的長度，⑧點P到直線AB的距離是線段________的長度.解：①②③④

作圖如圖所示PQQDQFPE隨堂演練2.如圖，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，則點

A

到直線

BC

的距離為_____，點

B

到直線

AC

的距離為______，點A、B間的距離為______.4353.如圖所示，火車站、碼頭分別位于A，B兩點，直線

a和

b分別表示河流與鐵路.(1)從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說明理由；(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說明理由；(3)從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說明理由.解：如圖所示:(1)沿AB走，兩點之間線段最短；(2)沿

BD走，垂線段最短；(3)沿

AC走，垂線段最短.火車站碼頭河流鐵路4.如圖所示，已知∠AOB=∠COD=90°，(1)若∠BOC=45°，求∠AOC與∠BOD的度數；(2)若∠BOC=25°，求∠AOC與∠BOD的度數；(3)由(1)、(2)你能得出什么結論？說說其中的道理.解：(1)因為∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=45°，∠BOD=∠COD-∠BOC=45°.(2)因為∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=65°，∠BOD=∠COD-∠BOC=65°.(3)∠AOC=∠BOD，等角的余角相等.5.如圖，OF

平分∠AOC，OE⊥OF，AB與

CD相交于

O，∠BOD=130°，求∠EOB的度數.解：因為∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，所以∠AOC=130°.因為OF平分∠AOC，所以∠AOF=∠FOC=65°.因為OE⊥OF，所以∠EOF=90°.所以∠BOE=180°-∠AOF