2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學突破講義專題21解三角形

專題21解三角形【考點預測】1、角的關(guān)系2、正弦定理為的外接圓的直徑）．正弦定理的應(yīng)用：①已知兩角及一邊求解三角形．②已知兩邊及其中一邊的對角，求另一對角：若，已知角Ａ求角Ｂ．若，已知角Ａ求角Ｂ，一解（銳角）．3、余弦定理（已知兩邊a，b及夾角Ｃ求第三邊c）（已知三邊求角）．余弦定理的應(yīng)用：①已知兩邊及夾角求解第三邊；②已知三邊求角；③已知兩邊及一邊對角未知第三邊．4、三角形面積公式【典型例題】例1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A．3 B． C． D．8【答案】B【解析】因為，由正弦定理得，即，即，又因為，可得，所以，因為，，由余弦定理得，即，解得.故選：B.例2．（2024·高三·河南濮陽·開學考試）已知的內(nèi)角的對邊分別是.若，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】由題意知中，，故，故，（R為外接圓半徑），故，故選：D例3．（2024·廣東江門·一模）在中，，，則角A的大小為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】由題意知中，，，故，即，由于，故，則或，故A的大小為或，故選：D例4．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理可得：,∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選:B例5．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）在中，角，，的對邊分別為，，，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由正弦定理可得，即，又，所以，因為且，所以，所以又，所以，.故選：B例6．（2024·高一·福建莆田·期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對于A項，由，，可得，所以三角形只有一解；對于B項，由，，，可得，所以，此時三角形有唯一的解；對于C項，由正弦定理，可得，可得B有兩解，所以三角形有兩解；對于D項，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故選：C．例7．（2024·高三·全國·專題練習）在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因為，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形，故選：D.例8．（2024·高三·江蘇南京·開學考試）某中學校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的，兩點，在點測得紅豆樹根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測得樹根部在北偏西的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【解析】依題意可得如下圖形：在中，，，，，所以由正弦定理得：，解得：，在，，所以，則紅豆樹的高度為米.故選：D例9．（2024·四川·模擬預測）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且，則的外接圓的周長為．【答案】【解析】由可得，即，展開得，即．又因為，由正弦定理（其中為的外接圓的半徑）可得，解得，則的外接圓的周長為．故答案為：.例10．（2024·高三·河南·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，則，．【答案】//0.5【解析】因為，由正弦定理知，所以有：．故，即，從而，所以．因為成等比數(shù)列，所以，從而．故答案為：；.例11．（2024·四川成都·二模）在中，，，，則BC邊上的高為．【答案】/【解析】因為，，所以，由正弦定理得，由余弦定理，得，解得（負值舍）設(shè)BC邊上的高為h，則．故答案為：.例12．（2024·高三·江西·階段練習）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且，平分交于，，則面積的最小值為；若，則的面積為．【答案】/【解析】由題意，平分交于且，可得，即，整理得，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值，因為，即，又因為，所以，即，因為，解得，因此．故答案為：；.例13．（2024·高三·湖南長沙·階段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A的平分線交BC于點D，且．(1)求A：(2)若，的周長為15，求AD的長．【解析】（1）因為，利用正弦定理可得：，即．因為，所以，即，又，可得．（2）因為，，所以．在中，由余弦定理可得：，所以．又因為為角A的平分線，所以，所以，即，所以．例14．（2024·高三·云南·階段練習）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.從條件①：；條件②：；條件③：這三個條件中選擇一個作為已知條件.（注：若選擇多個條件作答，則只按第一個解答計分）(1)求角B的大?。?2)若，的平分線BD交AC于點D，且，求的面積.【解析】（1）選條件①：因為，所以，即，又因為為銳角三角形，所以，所以，所以.選條件②：因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以.選條件③：由正弦定理可得，即，又因為，所以，因為，所以.（2）由BD平分，得，則，即.在中，由余弦定理可得，又，則，聯(lián)立可得，解得（舍去）.故.例15．（2024·安徽阜陽·一模）在中，角的對邊分別是，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面積．【解析】（1）因為，所以根據(jù)正弦定理得，因為，所以，即，即．因為，所以．因為，所以．（2）．因為，所以①．因為，所以②．聯(lián)立①②可得，解得（負根舍去），故的面積為．例16．（2024·寧夏銀川·一模）在中，角的對邊分別為，且.(1)求角：(2)若，角的平分線交于點，且滿足，求的面積.【解析】（1）因為，整理得，由正弦定理可得：，且，則，可得，即，且，可得.（2）因為為角的角平分線，則，即，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），則，所以的面積.例17．（2024·山東濰坊·一模）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求；(2)若，，為的中點，求．【解析】（1）因為，由正弦定理得，在中，，則有，，，又，，，，又，；（2）根據(jù)余弦定理有，則有，解得或（舍去），為的中點，則，，．例18．（2024·高二·河南省直轄縣級單位·期末）已知為銳角三角形，角的對邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若，求的取值范圍.【解析】（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以，又因為為銳角三角形，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，則，所以的取值范圍為.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，則能使同時滿足條件的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，則，要使?jié)M足條件的三角形不唯一，則，即.故選：A.2．（2024·高三·全國·專題練習）已知的內(nèi)角所對的邊分別是，若，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，由余弦定理得，，整理得，即；又，由正弦定理得，，．又，，又，是等邊三角形，．故選：C．3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以由余弦定理得．故選：D．4．（2024·高三·四川·階段練習）若的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法正確的是（

）A．若，則為銳角三角形B．若，則此三角形為等腰三角形C．若，則解此三角形必有兩解D．若是銳角三角形，則【答案】D【解析】對于A，若，則，因為為三角形內(nèi)角，只能說明為銳角，不能說明為銳角三角形，故A錯誤；對于B，若，由余弦定理可得，整理可得，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，若，由正弦定理可得，因為，則，即三角形只有一解，故C錯誤；對于D，若是銳角三角形，則，所以，即，所以，即，同理可得，所以，故D正確；故選：D.5．（2024·高三·北京順義·期中）在中，，，，滿足條件的（

）A．有無數(shù)多個 B．有兩個 C．有一個 D．不存在【答案】D【解析】因為，，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得不存在，所以滿足條件的不存在.故選：D6．（2024·遼寧葫蘆島·一模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，的面積為，則（

）A． B．4 C．2 D．【答案】C【解析】，由，故，又，故，，由余弦定理可得：，即.故選：C.7．（2024·高三·全國·專題練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知asinB＝bcosA，a2＝(b－c)2＋4，則△ABC的面積是（

）A．1＋ B．2＋ C．2 D．2＋2【答案】A【解析】因為asinB＝bcosA，所以sinAsinB＝sinBcosA(sinB＞0)，所以sinA＝cosA，所以tanA＝1．因為0＜A＜π，所以A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos．因為a2＝(b－c)2＋4，所以bc＝4＋2，所以S△ABC＝bcsinA＝1＋.故選A.8．（2024·高三·全國·專題練習）在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理可得，，故.故選：A.9．（2024·北京門頭溝·一模）在中，，則的面積為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，解得，則，所以.故選：A.10．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，，則（

）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定【答案】C【解析】由于,故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形故選：C11．（2024·高三·全國·專題練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，，則該三角形的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在中，，由于,故，又，故，而，則，而，則，（舍），故，即為等邊三角形，故選：C12．（2024·高三·陜西西安·階段練習）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，若，且外接圓的半徑為2，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，且外接圓的半徑為2，所以．由余弦定理得，，則故選：D．13．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（，精確到）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點作，交于點，在直角三角形中，因為，所以，在直角三角形中，因為，所以，則.故選：B.二、填空題14．（2024·福建莆田·二模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，則．【答案】【解析】由余弦定理可得，所以，于是有.故答案為：.15．（2024·高三·四川巴中·階段練習）中，、、的對邊分別為、、，且，，則的周長為【答案】【解析】由題意知，，由正弦定理，得，，即，又，所以，得，又，所以；由余弦定理，得，即，由，解得，所以的周長為.故答案為：16．（2024·貴州畢節(jié)·二模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則的面積為.【答案】/0.25【解析】因為，所以,即，所以或，即或，在中，所以或，又因為，由余弦定理得所以當時，解得，，當時，解得，，綜上所述：的面積為.故答案為：.17．（2024·高三·全國·專題練習）李子壩站的“單軌穿樓”是重慶軌道交通的一大特色，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖所示，李明為了測量李子壩站站臺距離地面的高度，采用了如下方法：在觀景臺的點處測得站臺點處的仰角為；沿直線后退米后，在點處測得站臺點處的仰角為.已知李明的眼睛距離地面高度為米，則李子壩站站臺的高度約為（精確到小數(shù)點后1位）（近似數(shù)據(jù)：，）.【答案】米【解析】設(shè)高度為米，由題可知，所以米，在中，由正弦定理得：，所以，所以，解得，所以（米）.故答案為：米18．（2024·高三·全國·專題練習）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點、、處分別測塔頂?shù)难鼋菫?、、，且m，則文星塔高為m.

【答案】【解析】如圖所示，設(shè)建筑物的高為，則，，，由余弦定理可得，，因為，故，即，可得.故答案為：.三、解答題19．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）在銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(1)求；(2)若，求的面積.【解析】（1）因為為銳角三角形，則因為，則，因為，可得，所以．（2）因為，由余弦定理可得，即，整理得．則或（舍去）；所以的面積為．20．（2024·河北·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積．【解析】（1），且，所以；（2）根據(jù)正弦定理，，所以或，當時，，，此時，不成立，當時，此時，則，的面積.21．（2024·天津河東·一模）在三角形中，角所對的邊分別為．已知，．(1)求角的大小；(2)求的值；(3)求邊的值．【解析】（1）因為，，，解得，由已知，，又，故，故，解得；（2），，；（3）由得，整理為，解得或（舍）.22．（2024·高三·浙江嘉興·期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，．(1)若，求的面積；(2)若為鈍角三角形，求a的取值范圍．【解析】（1）由及正弦定理，則．當時，，，由余弦定理，，從而，此時的面積．（2）由于，，由三角形三邊關(guān)系可得，即，解得．由于C為的最大內(nèi)角，故，即，解得．由于，則．23．（2024·高三·江西贛州·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)證明：；(2)記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【解析】（1）因為，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因為，所以，所以或（舍去），所以；（2）根據(jù)等面積法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.24．（2024·高三·江蘇鹽城·階段練習）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為(1)求；(2)求周長的最小值.【解析】（1）由，得，即，則，由，得.（2），得，由余弦定理，有，得，周長，當且僅當時取等號，所以周長的最小值為.25．（2024·廣西·模擬預測）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，.已知.(1)證明：；(2)若，求周長的最大值.【解析】（1）根據(jù)面積公式，可得，，，要證，即證.由可得，由余弦定理可得，整理可得，原式得證.（2）因為，由（1）知，所以，當且僅當時，等號成立，故，所以，的最大值為6.故周長的最大值為.26．（20