2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題01集合

專題01集合【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、元素與集合（1）集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．（2）元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：和．（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）．（4）常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)或說(shuō)明：①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．給定集合，可知，在該集合中，，不在該集合中；②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．集合應(yīng)滿足．③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分．集合和是同一個(gè)集合．④列舉法把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．2、集合間的基本關(guān)系（1）子集（subset）：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合、，如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）．（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）．讀作“真包含于”或“真包含”．（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時(shí)，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作．（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3、集合的基本運(yùn)算（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．（2）并集：一般地，由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，稱為與的并集，記作，即．（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合的補(bǔ)集，記作，即．4、集合的運(yùn)算性質(zhì)（1），，．（2），，．（3），，．【方法技巧與總結(jié)】（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4），．【典型例題】例1．（2024·河南·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，得，，故.故選：C.例2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，，則，故選:B．例3．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由，得，解得，即，所以.故選：D例4．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谀┰O(shè)集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】D【解析】由得，解得，又，，由集合中共有個(gè)元素，故的真子集個(gè)數(shù)為.故選：D.例5．（2024·四川成都·高三四川省成都列五中學(xué)校考期末）設(shè)集合，則集合、的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，集合，因?yàn)?，表示被除余的?shù)，，表示被除余的數(shù)，所以.故選：B.例6．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．【答案】B【解析】由題意知：為方程的根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，二次方程有兩個(gè)相同的根，則有，此時(shí).故選:B.例7．（2024·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)全集，集合，則=（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可知，所以.故選：C例8．（多選題）（2024·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，若，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以或或，所以或或，故選：ABD．例9．（多選題）（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知全集為U，A，B是U的非空子集，且，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A．且B．C．或D．且【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，則且，，故AB正確；若是的真子集，則，則且，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋圆淮嬖谇?，故D錯(cuò)誤.故選：AB.例10．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)．【答案】2【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合條件；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合條件；若，即，無(wú)實(shí)根，不符合條件．所以．故答案為：2.例11．（2024·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以．故答案為：?2．（2024·河南·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】【解析】由集合中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故．因?yàn)椋裕?，故?shí)數(shù)m的取值范圍為．故答案為：.例13．（2024·山東泰安·高三?？计谀┮阎希瑒t．【答案】【解析】易知．∵，∴，即，∴，．又由集合中元素的互異性，知，∴，故．故答案為：【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？奸_學(xué)考試）集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解，得或，故或，則，而，故，故選：C2．（2024·湖北襄陽(yáng)·高三棗陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，則.故選：C.3．（2024·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】由題意，，故，故，則的真子集的個(gè)數(shù)為，故選：C4．（2024·重慶·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知集合，記全集，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】全集，則.故選：C.5．（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，解得或，所以或.，解得或，所以或.所以，B選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B6．（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故選：A．7．（2024·河南·高三校聯(lián)考期末）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，即，解得，所以，又，解得，所以，則或，所以.故選：D.8．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．【答案】B【解析】由題意知：為方程的根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，二次方程有兩個(gè)相同的根，則有，此時(shí).故選:B.9．（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】全集，集合，則，而，所以.故選：A10．（2024·山東威海·高三統(tǒng)考期末）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得：或，，所以.故選：D11．（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，，所以，所以，圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合，所以為，故選：D.12．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考期末）年春節(jié)影市火爆依舊，《無(wú)名》《滿江紅》《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學(xué)生的觀影情況，隨機(jī)調(diào)查了名在校學(xué)生，其中看過(guò)《無(wú)名》或《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》的學(xué)生共有位，看過(guò)《滿江紅》且看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生共有位，則該校高三年級(jí)看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】以集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生構(gòu)成的集合，集合表示調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《滿江紅》的學(xué)生構(gòu)成的集合，如下圖所示：所以，調(diào)查的名在校學(xué)生看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)為，所以，該校高三年級(jí)看過(guò)《無(wú)名》的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為，故選：C.13．（2024·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）某單位周一?周二?周三開車上班的職工人數(shù)分別是15，12，9.若這三天中只有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】作出韋恩圖,如圖,由題意得,則有,所以,即，因此要讓最大，則需要最小，若則不滿足題意，若則不滿足題意，若則滿足題意，所以這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是4，故選:B.二、多選題14．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）圖中陰影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．【答案】AC【解析】如圖，對(duì)于A，，則，故A正確；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：AC．15．（2024·福建福州·高三校聯(lián)考期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由圖可知陰影部分所表示的集合為，故C正確；因?yàn)椋?，所以，故A正確.故選：AC.16．（2024·重慶·校聯(lián)考三模）已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】令，，，滿足，但，，故A，B均不正確；由，知，∴，∴，由，知，∴，故C，D均正確.故選：CD.17．（2024·河北張家口·高三校考期末）設(shè)全集，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】∵，，∴，即A正確；，即B正確；或，即C錯(cuò)誤；或，即D錯(cuò)誤；故選：AB.18．（2024·浙江臺(tái)州·高三臺(tái)州一中?？计谀┮阎?，，為全集的子集，且滿足，下列結(jié)論不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】作出Venn圖，由圖可得，，正確，錯(cuò)誤．故選：ACD．19．（2024·江蘇宿遷·高三沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知、均為實(shí)數(shù)集的子集，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】∵∴，若是的真子集，則，故A錯(cuò)誤；由可得，故B正確；由可得，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．20．（2024·河北衡水·高三河北武強(qiáng)中學(xué)校考開學(xué)考試）已知集合，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．或【答案】CD【解析】由，即，解得，所以，又，即，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故C正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；，所以，故D正確；故選：CD三、填空題21．（2024·福建三明·高三福建省大田縣第一中學(xué)?？计谀┠嘲嘤忻瑢W(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組.已知僅參加一個(gè)興趣小組的同學(xué)有人，同時(shí)參加語(yǔ)文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有人，同時(shí)參加語(yǔ)文和英語(yǔ)興趣小組的同學(xué)有人，則同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有人.【答案】【解析】以集合、、表示分別參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)興趣小組的學(xué)生，如下圖所示：設(shè)同時(shí)參加這三個(gè)興趣小組的同學(xué)有人，由圖可得，解得.故答案為：.22．（2024·湖北十堰·高三鄖陽(yáng)中學(xué)校考期末）已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為.【答案】4【解析】集合表示直線上點(diǎn)的集合，集合表示圓上點(diǎn)的集合.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，點(diǎn)到直線的距離為,所以直線與圓相交，所以共有2個(gè)元素，所以的子集個(gè)數(shù)為.故答案為：4.23．（2024·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）已知集合，則的非空子集的個(gè)數(shù)是．【答案】【解析】,集合中有個(gè)元素，則的非空子集的個(gè)數(shù)是.故答案為：.24．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎希?，若，則.【答案】3【解析】集合，，若,則，則.故答案為：325．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中校考期末）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)．【答案】1【解析】由題知,若,則或,當(dāng)時(shí),方程無(wú)解;當(dāng)時(shí),,解得:,此時(shí),,符合題意,所以.故答案為：1.26．（2024·上海普陀·高三校考期末）已知集合，集合，求【答案】【解析】由集合，可得，又由集合，所以.故答案為：.27．（2024·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校考開學(xué)考試