備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第四章-培優(yōu)課-§4-7-三角函數(shù)中有關(guān)ω的范圍問題

§4.7三角函數(shù)中有關(guān)ω

的范圍問題[培優(yōu)課]第四章

三角函數(shù)與解三角形在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，ω的求解是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，但因其求法復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，歷來是我們復(fù)習(xí)中的難點(diǎn).例1

題型一三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系√確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間之間的包含關(guān)系，建立不等式，即可求ω的取值范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2023·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f

＝3，f(π)＝0，f(x)在

上單調(diào)遞減，那么ω的取值共有A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.5個(gè)√∴n＝1,2,3,4,5，即周期T有5個(gè)不同取值，∴ω的取值共有5個(gè).題型二三角函數(shù)的對(duì)稱性與ω的關(guān)系例2

√又因?yàn)棣?gt;0，所以ω的最小值為1.三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為

，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為

，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式組，進(jìn)而可以研究“ω”的取值范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝

，若f(x)的圖象的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間(3π，4π)，則ω的取值范圍是√三角函數(shù)的最值與ω的關(guān)系例3

將函數(shù)f(x)＝sin(2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π])圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)g(x)，函數(shù)g(x)的部分圖象如圖所示，且g(x)在[0,2π]上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值(其中最大值為1，最小值為－1)，則ω的取值范圍是題型三√由已知得函數(shù)g(x)＝sin(ωx＋φ)，由g(x)圖象過點(diǎn)

以及點(diǎn)在圖象上的位置，由g(x)在[0,2π]上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

A.11B.13C.15D.17√由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，綜上，先檢驗(yàn)ω＝15，故ω的最大值為15.三角函數(shù)的零點(diǎn)與ω的關(guān)系例4

題型四√三角函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)之間的“水平間隔”為

，根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以研究“ω”的取值.思維升華跟蹤訓(xùn)練4

(2022·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間(0，π)上恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是√課時(shí)精練123456789101112A.最小值2 B.最大值2C.最小值1 D.最大值1√123456789101112123456789101112√123456789101112123456789101112123456789101112√123456789101112又∵ω>0，∴k0＝0,1,2,3，123456789101112A.1B.2C.3D.4√123456789101112又g(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴ω＝12k＋2(k∈Z)，ω>0，∴當(dāng)k＝0時(shí)，ωmin＝2.123456789101112√1234567891011121234567891011121234567891011126.(2023·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)，若方程|f(x)|＝1在區(qū)間(0,2π)上恰有5個(gè)實(shí)根，則ω的取值范圍是√123456789101112因?yàn)樵匠淘趨^(qū)間(0,2π)上恰有5個(gè)實(shí)根，123456789101112√123456789101112123456789101112故對(duì)任意整數(shù)k，ω?(0,2)，所以②錯(cuò)誤；123456789101112√123456789101112A，B，C為連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)B在x軸下方，D為AC的中點(diǎn).由對(duì)稱性可得△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，AC＝T＝

＝2CD，123456789101112要使△ABC為鈍角三角形，只需∠ACB<即可，9.函數(shù)y＝sin(ω>0)在[0，π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是

.12345678910111212345678910111212345678910111210.(2022·全國乙卷)記函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T.若f(T)

為f(x)的零點(diǎn)，則ω的最小值為

.3123456789101112123456789101112解得ω＝9k＋3(k∈Z).又ω>0，所以當(dāng)k＝0時(shí)，ω取得最小值，且最小值為3.12345678910111211.(2023·黃岡模擬)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是由函數(shù)y＝cosωx(ω>0)的圖象向左平

移個(gè)單位長度所得，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(π，2π)上單調(diào)，則ω的取值范圍是

.∵當(dāng)x∈(π，2π)，123456789101112123456789101112又k∈Z，得k＝0或k＝1，1234567891011120