2024-2025學(xué)年貴州省高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年貴州省高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解不等式求得集合，再由對數(shù)函數(shù)定義可得集合，即可求得結(jié)果.【詳解】解不等式可得，由對數(shù)函數(shù)定義域可得,所以可得.故選：C2.某同學(xué)記錄了當(dāng)?shù)?月最后8天每天的最低氣溫（單位：），分別為，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.9【正確答案】C【分析】利用百分位數(shù)的定義即可得解.【詳解】將該組數(shù)據(jù)從小到大排列：，共8項，又，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為第5項，即8.故選：C.3.已知焦點在軸上的橢圓的焦距為2，則其離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求出，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】因為焦點在軸上的橢圓的焦距為2，所以，解得，所以橢圓的離心率.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由可知為鈍角，從而，，，于是先計算，再開方即可．【詳解】，，，而，，為鈍角，，，．故選：C．5.已知圓臺甲?乙的上底面半徑均為，下底面半徑均為，圓臺甲?乙的母線長分別為，則圓臺甲與乙的體積之比為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)甲圓臺的高為，乙圓臺的高為，利用勾股定理求出，，再由圓臺的體積公式計算即可得解.【詳解】設(shè)圓臺甲的高為，圓臺乙的高為，則，，所以圓臺甲的體積，圓臺乙的體積，所以圓臺甲、乙的體積之比為.故選：A.6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】，則，整理得，而向量均為非零向量，則反向共線且，有；反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】分，兩種情況，分別求出函數(shù)值域，結(jié)合題意可得答案.【詳解】當(dāng)時，在上的值域為；在上單調(diào)遞增，則在上值域為，則此時值域不可能為R，則不合題意；當(dāng)時，在上的值域為；在上單調(diào)遞減，則在上值域為，要使值域為R，則.故選：B8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】B【分析】借助輔助角公式結(jié)合正弦型函數(shù)對稱性可得，再畫出與圖象同一坐標(biāo)系中即可得解.【詳解】，其中，且，則有，解得，即，則，即，畫出與圖象如圖所示：由圖可知，曲線y=fx與的交點個數(shù)為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.的虛部為8D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限【正確答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再逐項計算判斷即得.【詳解】依題意，，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，的虛部為8，C正確；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，D正確.故選：ACD10.已知是拋物線的焦點，是的準(zhǔn)線，點是上一點且位于第一象限，直線與圓相切于點，點在線段上，過點作的垂線，垂足為，則（）A.B.直線的方程為C.D.的面積為【正確答案】BC【分析】利用勾股定理求得，根據(jù)點斜式求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進而計算出的面積.【詳解】圓即，是圓心為，半徑的圓.拋物線的焦點F1,0，準(zhǔn)線為，由于直線與圓相切，所以，A選項錯誤.由于，所以，所以直線的斜率為，方程為，即，B選項正確.由解得，即，根據(jù)拋物線的定義得，C選項正確.所以的面積為，D選項錯誤.故選：BC11.已知奇函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】應(yīng)用賦值法判斷A，B選項；對求導(dǎo)，得到，賦值法得到，判斷C；根據(jù)函數(shù)的周期性結(jié)合賦值法得出再計算即可求解判斷D.【詳解】由已知有為R上的奇函數(shù)，所以，令時，，故，故A選項正確；令時，，故，故B選項錯誤；由已知有：在R上可導(dǎo)，對求導(dǎo)有：，即，，令時，，則，又因為是奇函數(shù)，故是偶函數(shù)，所以故，所以也是一個周期為4的周期函數(shù)，，C選項錯誤；令，則恒成立，由已知是奇函數(shù)，故，故，則，所以是一個周期為4的周期函數(shù)，又因為，奇函數(shù)的定義域為，所以，令時，，，所以，令時，，所以，令時，，所以,，故D選項正確.故選：AD結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列的公比不為1，且成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件可得出，化簡即可求出公比.【詳解】由已知條件可知，又因等比數(shù)列，所以，且，代入到，可得，化簡，解之可得或(舍).故13.有紅色?黃色2套卡片，每套3張，分別標(biāo)有字母A，B，C，若從這6張卡片中隨機抽取4張，這4張卡片的字母恰有兩個是相同的，則不同的取法種數(shù)為__________.【正確答案】12【分析】先從標(biāo)有字母A，B，C中任選一個，共有2張卡片，再從剩余字母中各取一張卡片，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】由題意可知：先從標(biāo)有字母A，B，C中任選一個，共有2張卡片，再從剩余字母中各取一張卡片，所以不同的取法種數(shù)為.故12.14.若直線與曲線有個交點，則的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】令，分析可知函數(shù)在上有個零點，且，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：令，由題意可知，函數(shù)在上有個零點，且，且，令，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，分以下幾種情況討論：（1）當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，且不恒為零，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)只有個零點，不合乎題意；（2）當(dāng)時，且當(dāng)時，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，則，此時，函數(shù)在上沒有零點，當(dāng)時，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多個零點，從而可知，當(dāng)時，函數(shù)在上至多個零點，不合乎題意；（3）當(dāng)時，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，且當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，存在，使得，此時，函數(shù)在上有唯一零點，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，令，，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，，，所以，存在，使得，可得，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故當(dāng)時，，即，即存在，使得，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，且，因為，所以，存在，使得，此時，函數(shù)在上也存在唯一零點，故當(dāng)時，函數(shù)在上有且只有個零點.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為.方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換分析求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理解得，，即可求.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，且，則，可得，即，所以.【小問2詳解】因為，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所以.16.如圖，在三棱柱中，為邊長為的等邊三角形，.（1）證明：（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取中點，連接，求證平面即可得證.（2）由（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量與，即可由空間角的向量法求解.【小問1詳解】如圖，取中點，連接，因為，，所以，故由余弦定理，所以，故即，即，又平面，，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由（1）可得、且即，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，則，，所以，，取，，則，所以，設(shè)平面與平面夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.17.已知甲?乙兩人參加某檔知識競賽節(jié)目，規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯則對方得1分，甲?乙兩人初始分均為0分，答題過程中當(dāng)一人比另一人的得分多2分時，答題結(jié)束，且分高者獲勝，若甲?乙兩人總共答完5題時仍未分出勝負(fù)，則答題直接結(jié)束，且分高者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人答對每道題的概率分別為，每道題兩人答對與否相互獨立，且每題都有人搶答.（1）求第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率；（2）記表示知識競賽結(jié)束時，甲?乙兩人總共答題的數(shù)量，求的分布列與期望.【正確答案】（1）23（2）分布列見詳解，【分析】（1）考慮甲先得1分，分為甲搶到答題并且答對，或者是乙搶到并且答錯兩種情況，分別計算概率即可；（2）在每道題的搶答中甲、乙得1分的概率.的所有可能取值分別為，利用獨立事件的乘法公式計算得出的分布列，求出即可.【小問1詳解】設(shè)每道題的搶答中，記甲得1分為事件.發(fā)生有兩種可能：搶到題且答對，乙搶到題且答錯，∴，∴甲率先得1分的概率為.【小問2詳解】由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙得1分的概率分別為，設(shè)兩人共搶答了道題比賽結(jié)束，根據(jù)比賽規(guī)則，的可能取值為.，，，245.18.已知是雙曲線的一條漸近線，點在上.（1）求的方程.（2）已知直線的斜率存在且不經(jīng)過原點，與交于兩點，的中點在直線上.（i）證明：的斜率為定值.（ii）若的面積為，求的方程.【正確答案】（1）.（2）（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）由題可得，解該方程組即可得解.（2）（i）設(shè)，聯(lián)立得，則由韋達定理結(jié)合中點坐標(biāo)公式可求出的中點坐標(biāo)，接著由的中點在直線上即可求解得證.（ii）由（i）結(jié)合弦長公式以及點到直線距離公式依次求出AB和的中點到直線的距離，再由即可求解.【小問1詳解】由題可得，所以的方程為.【小問2詳解】（i）證明：設(shè)，由得，由題意得，設(shè)中點的坐標(biāo)為，則所以.因為的中點在直線上，所以，即，因為，所以，故的斜率為定值.（ii）由（i）得的方程為，且，又點到的距離，所以，解得，所以的方程為.19.定義：對于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）由定義中的任意性，將條件不等式轉(zhuǎn)化為.求，構(gòu)造二次函數(shù)，使即可；（2）按與的大小分類討論，求解函數(shù)的值域，再結(jié)合定義建立關(guān)于的不等式求解可得；（3）利用（1）結(jié)論得，轉(zhuǎn)化命題證明，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)出隱零點探求零點范圍，證明即，將零點滿足關(guān)系式代回化簡換元，再構(gòu)造新函數(shù)，證明即可.【小問1詳解】由，，得，令，解得.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以.因為為二次函數(shù)，且，所以的對稱軸為，設(shè)，要使“”為三角形函數(shù)，只要，取，則，，滿足，則，即成立.故若，取，可使得“”為三角形函數(shù).（答案不唯一，參考函數(shù)，寫出任意一個滿足題意的都可以）【小問2詳解】，①當(dāng)時，，則任意，故“”為三角形函數(shù).②當(dāng)時，由，則，；要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；③當(dāng)時，則，要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】，由（1）知，，則任意，；下面證明.由，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，由參考數(shù)據(jù)可知，，則存在唯一的實數(shù)