廣西南寧市2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題（含解析）

廣西南寧市2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、單選題1.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則A. B. C. D.22.已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.或23.體育老師記錄了班上10名同學1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）A.98 B.99 C.99.5 D.1004.已知圓柱和圓錐的高相等，底面半徑均為2，若圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍，則圓柱的表面積為（）A.8π B.12π C.16π D.24π5.設(shè)等差數(shù)列前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.46.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.7.已知，，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象8.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.二、多選題9.對于直線與圓，下列說法正確的是（）A.過定點 B.的半徑為9C.與可能相切 D.被截得的弦長最小值為10.已知，且，，則（）ABC.D.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，若有三個零點，則的取值范圍是B當且時，C.若滿足，則D.若存在極值點，且，其中，則三、填空題12.設(shè)集合，若，則______．13.第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有_______種排法.14.在秋冬季節(jié)，疾病發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀.則任意一位病人有癥狀的概率為_______，病人有癥狀時患疾病的概率為_______（癥狀只在患有疾病，，時出現(xiàn)）四、解答題15.某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進行評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：良優(yōu)合計甲生產(chǎn)線4080120乙生產(chǎn)線80100180合計120180300（1）通過計算判斷，是否有的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？（2）現(xiàn)對產(chǎn)品進行進一步分析，在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．16.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是．已知（1）求角；（2）若點在邊上，，請在下列兩個條件中任選一個，求邊長．①為的角平分線；②為的中線．17.如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.（1）若為的中點，證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，，恒成立，求實數(shù)的最大值；（3）當時，證明：，.19.定義：若橢圓上的兩個點，滿足，則稱A，B為該橢圓的一個“共軛點對”，記作．已知橢圓C：上一點．（1）求“共軛點對”中點B所在直線l的方程．（2）設(shè)O為坐標原點，點P，Q在橢圓C上，且，（1）中的直線l與橢圓C交于兩點．①求點，的坐標；②設(shè)四點，P，，Q在橢圓C上逆時針排列，證明：四邊形的面積小于．廣西南寧市2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學檢測試題一、單選題1.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則A. B. C. D.2【正確答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，∴，故選C.考點：復數(shù)的運算.2.已知向量，，若，則實數(shù)的值為（）A B.3 C. D.或2【正確答案】A【分析】求出，再利用共線向量的坐標運算公式得解【詳解】因為向量，所以，又因為，所以，所以.故選：A本題考查向量的坐標運算及利用共線向量的坐標運算求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.3.體育老師記錄了班上10名同學1分鐘內(nèi)的跳繩次數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）A.98 B.99 C.99.5 D.100【正確答案】C【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求得答案.【詳解】這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是.4.已知圓柱和圓錐的高相等，底面半徑均為2，若圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍，則圓柱的表面積為（）A.8π B.12π C.16π D.24π【正確答案】C【分析】估計圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍求出圓柱和圓錐的高，求出圓柱的表面積.【詳解】設(shè)圓柱和圓錐的高均為，因為圓柱的側(cè)面積是圓錐的側(cè)面積的倍，所以，所以，所以圓柱的表面積為.故選：C.5.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C6.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】依題意在區(qū)間上恒成立，參變分離可得在區(qū)間上恒成立，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可解得.【詳解】解：在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，而在上單調(diào)遞增，，，即.故選：D.7.已知，，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象【正確答案】C【分析】化簡解析式，求得函數(shù)的表達式，由此判斷出A,B,C選項的正確性，根據(jù)函數(shù)圖象變換的知識判斷D選項的正確性.【詳解】依題意，所以.所以的最小正周期為，最大值為，所以A,B選項正確.當時，，所以直線時的對稱軸，不是的對稱中心，故C選項不正確.由于，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象.故D選項正確.綜上所述，不正確的是C選項.故選：C本小題主要考查二倍角公式，考查三角函數(shù)的周期性、最值和對稱性，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由為奇函數(shù)得對稱中心為0,1，結(jié)合為偶函數(shù)，求周期為，從而求出，即可得到的值.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對稱，即，因為為偶函數(shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因為，所以，故選：B.關(guān)鍵點點睛：由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求對稱中心和對稱軸，推函數(shù)的周期，關(guān)于抽象函數(shù)考查對稱性和周期性的綜合題，一般都是借助題中的條件找到對稱中心和對稱軸再推周期.二、多選題9.對于直線與圓，下列說法正確的是（）A.過定點 B.的半徑為9C.與可能相切 D.被截得的弦長最小值為【正確答案】AD【分析】根據(jù)含參直線方程求定點坐標判斷項；根據(jù)圓的一般方程與標準方程的互化判斷項；根據(jù)直線所過定點在圓內(nèi)，知直線與圓必相交判斷項；當直線與過定點和圓心的直線垂直時，被截得的弦長最小，從而計算弦長最小值可判斷項.【詳解】對于，可變形為，由得所以直線過定點，故正確；對于，圓，化為標準方程為，所以圓的半徑為，故錯誤；對于，因為，所以點在圓內(nèi)部，所以直線與不可能相切，故錯誤；對于，設(shè)直線所過定點為，則當直線時，直線被截得的弦長最小.因為圓心，所以，所以直線的斜率，解得，此時直線.因為圓心到直線的距離，所以弦長，故正確.故選.10.已知，且，，則（）A.B.C.D.【正確答案】BCD【分析】由正切關(guān)系得到正余弦關(guān)系，結(jié)合，分別求出和，判斷出AB選項，再由二倍角公式和和差角公式判斷出CD選項.【詳解】∵，即，∴，∴，∴，B選項正確，∴，A選項錯誤，∴，C選項正確，∵，∴，∴，D選項正確.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，若有三個零點，則的取值范圍是B.當且時，C.若滿足，則D.若存在極值點，且，其中，則【正確答案】AD【分析】對于A，將代入求導求極值，有三個零點，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對于B，利用的性質(zhì)，得到且，再利用在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解；對于C，根據(jù)，推斷函數(shù)的對稱性，進而可以求得，即可判斷結(jié)果；對于D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，得到，進而可得，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案.【詳解】對于選項A，當時，，，由，得到或，由，得到，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，；減區(qū)間為，故在處取到極大值，在處取到極小值，若有三個零點，則，得到，故選項A正確，對于選項B，當時，，又，即，由選項A知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當時，等號成立，故選項B錯誤，對于選項C，因為，即，所以關(guān)于點中心對稱，又的定義域為，所以，整理得到，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，由題有，即，由，得到，令，則，又，所以，得到，整理得到，又，代入化簡得到，又，，所以，得到，即，所以選項D正確，故選：AD.關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于選項D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，得到，進而可得，再通過令，結(jié)合條件得到，再代入，化簡得到，從而解決問題.三、填空題12.設(shè)集合，若，則______．【正確答案】1【分析】根據(jù)子集關(guān)系，分別討論的值，然后檢驗是否符合題意.【詳解】由已知得，若，即，此時，符合題意；若，即，此時，不符合題意；若，即，此時，不符合題意.綜上所述，．故1．13.第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有_______種排法.【正確答案】60【分析】首先計算出沒有任何限制條件時的全排列數(shù)，然后減去不符合條件的排列數(shù)，就可以得到滿足條件的排法數(shù).【詳解】5個人全排列的總數(shù)為種.當記者站中間時，其余4人全排列，排法數(shù)為種.當國際友人甲站兩邊（有兩種站法），其余4人全排列，排法數(shù)種.當記者站中間且國際友人甲站兩邊時（甲有兩種站法），其余3人全排列，排法數(shù)為種.滿足條件的排法數(shù)等于全排列數(shù)減去記者站中間的排法數(shù)減去國際友人甲站兩邊的排法數(shù)再加上記者站中間且國際友人甲站兩邊的排法數(shù)，即種.故60.14.在秋冬季節(jié)，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀，疾病的發(fā)病率為，病人中表現(xiàn)出癥狀.則任意一位病人有癥狀的概率為_______，病人有癥狀時患疾病的概率為_______（癥狀只在患有疾病，，時出現(xiàn)）【正確答案】①.##②.##【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，，，，，，由全概率公式可知：，即任意一位病人有癥狀的概率為，由貝葉斯公式可知：，即病人有癥狀時患疾病的概率為.故，.四、解答題15.某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進行評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機抽取了300件進行測評，并將測評結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：良優(yōu)合計甲生產(chǎn)線4080120乙生產(chǎn)線80100180合計120180300（1）通過計算判斷，是否有的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？（2）現(xiàn)對產(chǎn)品進行進一步分析，在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附表及公式：0.150.100.0500250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．【正確答案】（1）有的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系（2）的分布列見解析，數(shù)學期望為1【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表,求得,即可判斷；（2）用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，從甲、乙生產(chǎn)線分別抽取2,4件，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.【小問1詳解】，所以有的把握認為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.【小問2詳解】在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，則應在甲生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，在乙生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，由題意可知：，則：，可得的分布列為012所以的數(shù)學期望.16.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是．已知（1）求角；（2）若點在邊上，，請在下列兩個條件中任選一個，求邊長．①為的角平分線；②為的中線．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式及兩角和的正弦公式求得，即可得答案；（2）選①，由，根據(jù)三角形面積公式求得，由余弦定理得.選②，得，平方后利用向量的運算可得，由余弦定理得.【小問1詳解】在中，由正弦定理知，所以，又，所以，，又，，化簡得，即，又，所以．【小問2詳解】選①，為的角平分線，由得：，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.選②，為的中線，則，平方得，所以，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.17.如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.（1）若為的中點，證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的最大值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；（2）取的中點，連接，以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】證明：由已知得，取的中點T，連接，由N為的中點知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問2詳解】取的中點，連接，建立如圖所示的空間坐標系．，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，取，則.設(shè)直線與平面所成角為.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，，恒成立，求實數(shù)最大值；（3）當時，證明：，.【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）當時，求導，利用在一點求切線方程的方法進行求解即可；（2）將代入不等式，和參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可；（3）由（2）知，當時，有，即，再進行放縮證明即可.【小問1詳解】當時，，則，又，即在處的切線斜率為，又，即切點，則切線方程為：，即.【小問2詳解】因為，，當時，恒成立，所以

設(shè)，，則，令，則，令，則當時，有，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，即，

所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故，所以，所以實數(shù)的最大值為.【小問3詳解】由（2）知，當時，，可得，即，設(shè)，取，所以，即

，則，因為，所以，即i=1n22i2方法點睛：用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，具體步驟如下：（1）分離參數(shù)(注意分離參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等號的方向)．（2）轉(zhuǎn)化：①若