2024-2025學年云南省昆明市高一上學期10月期中數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年云南省昆明市高一上學期10月期中數(shù)學檢測試題本試卷分和兩部分．第I卷第1頁至第3頁，第I卷第3頁至第6頁．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．第I卷（選擇題，共58分）注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．一、單項選擇題（本大題共8小題，每個小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】C【分析】利用存在量詞命題否定是全稱量詞命題，即可作出判斷.【詳解】由命題“，”的否定是“，”,故選：C.2.設集合，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先求出集合，再根據交集的定義求解即可.【詳解】因為，，所以,故選：B.3.已知a為實數(shù)，則“”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據奇函數(shù)的定義結合充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，即，所以，即，所以“”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.4.已知，，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結合指數(shù)函數(shù)的性質進行比較即可.【詳解】因為，，且，所以，而，，所以.故選：D.5.按復利計算利息的一種儲蓄，本息和y（單位：萬元）與儲存時間x（單位：月）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）．若本金為6萬元，在第26個月時本息和為24萬元，則在第39個月時本息和是（）A.30萬元 B.36萬元 C.48萬元 D.60萬元【正確答案】C【分析】根據題意可得，得到，再將代入即可得解.【詳解】由題意得，，即，，所以當時，.即第39個月時本息和是48萬元.故選：C.6.已知函數(shù)若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用定義可知在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值為，再根據是的最小值，即可得解.【詳解】當時，，任設，則，當時，，，所以，所以，當時，，，所以，所以，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值為，當時，，令，則，所以，開口向上，對稱軸，又因為函數(shù)的最小值為，即時，取最小值，所以，解得,故選：A.7.已知定義在上的函數(shù)滿足，，當時，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】令，由已知不等式和等式可求得的奇偶性和單調性，將所求不等式化為，由單調性可得自變量大小關系，進而解得結果.【詳解】不妨令，則由得：，令，則在上單調遞增；，，為定義在R上的奇函數(shù)，在R上單調遞增；由得：，即，，解得：，即不等式的解集為.故選：C8.若實數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用代入消元的方式可將所求式子化為，分別在、和的情況下，結合基本不等式求得最值.【詳解】由得：，；當時，；當時，（當且僅當，即時取等號）；當時，（當且僅當，即時取等號）；綜上所述：，即的最大值為.故選：D.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.英國數(shù)學家哈利奧特最先使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．已知，，則下列不等式一定成立的有（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】采用作差法依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，，，，，，即，，A錯誤；對于B，，，，，即，，B正確；對于C，，，，，，，即，，C正確；對于D，，，，，，即，，D錯誤.故選：BC.10.下列說法正確是（）A.函數(shù)（且）的圖象恒過點B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.若的定義域為，則的定義域為D.若函數(shù)，則【正確答案】AC【分析】根據，可確定選項正確，由兩個函數(shù)定義域不同，可確定錯誤，利用抽象函數(shù)的定義域的判斷及分母不為0，可確定正確，利用換元法求函數(shù)解析式，要注意定義域，即可判斷錯誤.【詳解】對于選項，根據，則，即函數(shù)恒過點，故正確；對于選項，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，定義域不同，肯定不是同一個函數(shù)，故錯誤；對于選項，根據且可得：且，故正確；對于選項，令（），則，則，故錯誤.故選.11.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.為奇函數(shù) D.的圖象關于點對稱【正確答案】ACD【分析】取可知A正確；取，結合A中式子可知B錯誤；令可求得為偶函數(shù)，分別令、可證得D正確；取，，結合D的結論可證得C正確.【詳解】對于A，取，則，A正確；對于B，若恒成立，則，恒成立，顯然不合題意，不恒等于，令，則，，將代入A中式子可得：，即，，B錯誤；對于D，令，則，即，為定義在上的偶函數(shù)，；令，則，令，則，即，，的圖象關于點對稱，D正確；對于C，取，，則，由D知：，，為奇函數(shù)，C正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）注意事項：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，在試題卷上作答無效三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)，的值域為______．【正確答案】【分析】化簡函數(shù)為，根據其單調性求解即可.【詳解】由，函數(shù)在上單調遞減，所以當時，，當時，，所以函數(shù)，的值域為.故答案為.13.已知冪函數(shù)在上單調遞增，且滿足不等式，則的取值范圍為__________．【正確答案】【分析】由題意得，解得的值，進而結合偶函數(shù)和單調性解不等式即可.【詳解】由題意得，解得，所以，定義域為，而，則函數(shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞減，由，得，即，解得，即的取值范圍為.故答案為.14.黎曼函數(shù)是由德國數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，其在高等數(shù)學中有著廣泛的應用．黎曼函數(shù)定義在上，其解析式如下：定義在上的函數(shù)，滿足，，且函數(shù)為偶函數(shù)，，當時，，則__________．【正確答案】##【分析】應用函數(shù)的奇偶性定義和周期性定義證明函數(shù)為偶函數(shù)和周期函數(shù)，再應用周期性與函數(shù)解析式求值即可.【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以.所以，又因為，所以，即.于是，則，于是，即所以，所以函數(shù)周期為4.由得，則，所以，所以為偶函數(shù).因為且，所以，又因為，所以，，又，所以，又因為，所以，所以，所以，所以故答案為.四、解答題（共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知全集，不等式的解集是，，．（1）計算；（2）若不等式的解集為，且“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據分式不等式的求解，可得集合的元素，結合補集與并集的運算，可得答案；（2）根據不等式與方程的關系，結合韋達定理整理不等式，根據充分不必要條件，可得集合之間的關系，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】由，且，則，由，等價于，解得，則，所以.【小問2詳解】由題意可得，為方程的兩個解，則，，化簡可得，，所以不等式等價于，化簡可得，則，解得，所以，因為，且，所以，則，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是D的真子集，則，（等號不同時成立）,解得或.16.北京時間2024年8月12日凌晨，歷經19個比賽日的激烈角逐，第33屆奧運會在巴黎落下帷幕，奧運會上互換的“pin”（即奧運徽章）是奧運會期間的一種重要紀念品和文化交流媒介．人們經常能在奧運村、比賽場館等場所展示和交換自己的奧運徽章，奧運徽章的交換不僅限于運動員中間，還包括觀眾、媒體、志愿者甚至奧組委人員．中國隊的熊貓pin更是受到了各國友人的喜愛，造成了一pin難求的局面．通過市場分析，對熊貓pin而言，某企業(yè)每生產x（萬件）獲利w（x）（萬元），且滿足.2024年8月該企業(yè)計劃引進新的生產設備和新的產品方案優(yōu)化產品，優(yōu)化后的產品的其他成本總投入為萬元．由市場調研分析得知，當前熊貓pin供不應求．記該企業(yè)2024年8月優(yōu)化后的產品的利潤為（單位：萬元）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當2024年8月優(yōu)化后的產品產是為多少萬件時，該企業(yè)8月的利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由．【正確答案】（1）（2）當產量為3萬件時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是390萬元【分析】（1）由題意可得，進而求解即可；（2）由二次函數(shù)性質與基本不等式求解即可.【小問1詳解】由已知，，又，所以.【小問2詳解】當時，，則時，；當時，，當且僅當，即時，.因為，所以最大值為390，故當產量為3萬件時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是390萬元．17.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）判斷并用定義證明在區(qū)間1,+∞上的單調性；（2）解關于的不等式．【正確答案】（1）在區(qū)間上單調遞減，證明見解析（2）【分析】（1）根據奇函數(shù)的性質可得，即可求出的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據單調性的定義證明即可；（2）依題意可得，根據函數(shù)的單調性轉化為自變量的不等式，解得即可.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，此時，函數(shù)的定義域關于原點對稱，且，為奇函數(shù)，符合題意；在區(qū)間1,+∞上單調遞減，證明如下：設任意的且，則，因為且，所以，，則，所以，所以，即，所以在區(qū)間1,+∞上單調遞減；【小問2詳解】不等式，即，又，，且在區(qū)間1,+∞上單調遞減，所以，即，即，解得，即不等式的解集為.18.已知函數(shù)的定義域為．對任意的非零實數(shù)恒有，且當時，．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；（3）若，函數(shù)的圖象關于點對稱，且當時，．若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）偶函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）采用賦值法可求得，取即可得到奇偶性；（2）任取，令，，結合已知等式和在上的正負即可得到結論；（3）記在上的值域為，在上的值域為，將問題轉化為；根據的單調性可求得；分別在、和的情況下，結合二次函數(shù)單調性和函數(shù)對稱性求得，根據包含關系可構造不等式求得結果.【小問1詳解】令，則，；令，則，；取，則；為定義在上的偶函數(shù).【小問2詳解】任取，令，，則，即；，，又當時，，，即，在上單調遞減.【小問3詳解】由（1）（2）知：在上單調遞減且，又，當時，，記；對任意，總存在，使得，記在上的值域為，；的圖象關于點中心對稱，當時，；①當，即時，在上單調遞增，，，即，由得：，又，解得：；②當，即時，上單調遞減，在上單調遞增，，，即，由得：，又，解得：；③當，即時，在上單調遞減，，，即，由得：，又，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.19.若定義在上的函數(shù)滿足對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得，則稱為上的“階交匯函數(shù)”．對于函數(shù)，記，，，…，，其中，2，3，…，并對任意的，記集合，并規(guī)定．（1）若，函數(shù)的定義域為，求并判斷是否為上的“2階交匯函數(shù)”；（2）若函數(shù)，試比較和的大?。唬?）設，若函數(shù)的定義域為，且表達式為：，試證明對任意的區(qū)間，存在正整數(shù)，使得為上的“階交匯函數(shù)”．【正確答案】（1），為上的“2階交匯函數(shù)”（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據新定義直接計算；（2）根據新定義直接求值比較即可；（3）由函數(shù)定義說明的長度不變，然后得出在，，，…，（存在正整數(shù)，它們的長度和大于1）中，必然存在正整數(shù)，使得，再分析得到對任意的，，進而得到，，從而證明結論成立．【小問1詳解】因為函數(shù)在上單調遞增，所以當時，，所以，當時，，所以，因為，所以為上的“2階交匯函數(shù)”.【小問2詳解】由，，則，，所以，結合題設，可得.【小問3詳解】證明：對于任意有限的區(qū)間，記表示區(qū)間的長度，如果一個集合是若干個區(qū)間的并集，則等于組成它的所有區(qū)間的長度之和，對于任意的區(qū)間，