《工程制圖》課件-第2章

2.1投影法

2.2點(diǎn)的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影

第2章正投影的基本知識(shí)

2.1.1投影法的概念

在日常生活中，物體在光線照射下，就會(huì)在地面或墻壁上產(chǎn)生影子。影子的輪廓反映了物體的輪廓特征，這就是常見的投影現(xiàn)象。人們根據(jù)工程實(shí)際的需要，對(duì)這種現(xiàn)象加以科學(xué)抽象和總結(jié)，概括出了用物體在平面上的投影來表示其形狀的投影方法。如圖2-1所示，S為投影中心，A為空間點(diǎn)，平面P為投影面，S與點(diǎn)A的連線為投影線，SA的延長線與平面P的交點(diǎn)a稱為A在平面P上的投影，這種產(chǎn)生圖像的方法叫做投影法。2.1投影法圖2-1投影法2.1.2投影法的分類

1．中心投影法

投影線均由投影中心S出發(fā)，稱為中心投影法。圖2-2是三角形ABC用中心投影法在投影面上得到投影abc。

從圖2-2中可以看出，投影abc比空間三角形ABC要大得多，不能反映物體的真實(shí)大小，所以它不適用于繪制機(jī)械圖樣。但是，根據(jù)中心投影法繪制的圖形接近人們的視覺效果，立體感較強(qiáng)。建筑物的效果圖、美術(shù)畫、照相等均屬于中心投影。圖2-2中心投影法

2．平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。用平行投影法得到的投影稱為平行投影，如圖2-3所示。

從圖2-3可以看出，當(dāng)四邊形ABCD平行于投影面時(shí)，無論空間平面ABCD距投影面多遠(yuǎn)，它的投影與空間平面形狀和大小是相同的。

在平行投影法中，根據(jù)投影線與投影面的角度不同，又分為斜投影法和正投影法。

(1)斜投影法：投影線與投影面傾斜的投影方法，如圖2-3(a)所示。

(2)正投影法：投影線與投影面垂直的投影方法，如圖2-3(b)所示。圖2-3平行投影法2.1.3正投影的基本性質(zhì)

(1)真實(shí)性。當(dāng)直線或平面與投影面平行時(shí)，則直線的投影反映實(shí)長、平面的投影反映實(shí)形的性質(zhì)，稱為真實(shí)性(見圖2-4(a))。

(2)積聚性。當(dāng)直線或平面與投影面垂直時(shí)，則直線的投影積聚為一點(diǎn)，平面的投影積聚為一條直線的性質(zhì)，稱為積聚性(見圖2-4(b))。

(3)類似性。當(dāng)直線或平面與投影面傾斜時(shí)，其直線的投影長度變短、平面的投影變小，但投影的形狀仍與原來的形狀相類似，這種投影性質(zhì)，稱為類似性(見圖2-4(c))。圖2-4正投影的投影特性2.2.1點(diǎn)的一個(gè)投影

點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)。如圖2-5所示，由空間點(diǎn)A向投影面P作垂線，其垂足a即為空間點(diǎn)A在投影面P上的唯一投影。反之，若已知投影a，則不能確定點(diǎn)A的空間位置，因?yàn)樵谶^a

所作的P面垂線上各點(diǎn)(如A、A1…)的投影都與a

重合。因此，要確定一個(gè)點(diǎn)的空間位置，僅憑一個(gè)投影是不行的，常需要作出點(diǎn)的兩面投影或三面投影。2.2點(diǎn)的投影圖2-5點(diǎn)的單面投影2.2.2點(diǎn)的三面投影及投影特性

1．三投影面體系的建立

三投影面體系由三個(gè)相互垂直的投影面所組成(見圖2-6)。它們分別為正立投影面(簡稱正面或V面)、水平投影面(簡稱水平面或H面)、側(cè)立投影面(簡稱側(cè)面或W面)。

三個(gè)投影面之間的交線，稱為投影軸。V面與H面的交線稱為OX軸(簡稱X軸)，它代表物體的長度方向；H面與W面的交線稱為OY軸(簡稱Y軸)，它代表物體的寬度方向；

V面與W面的交線稱為OZ軸(簡稱Z軸)，它代表物體的高度方向。三根投影軸相互垂直，其交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)。圖2-6三面投影體系

2．點(diǎn)的三面投影

如圖2-7(a)所示，求點(diǎn)A的三面投影，就是由點(diǎn)A分別向V、H、W三個(gè)投影面作投射線(垂線)，它們交V面于a′，交H面于a，交W面于a″。稱a′?為點(diǎn)A的正面投影(或V面投影)，稱a為點(diǎn)A的水平投影(或H面投影)，稱a″為點(diǎn)A的側(cè)面投影(或W面投影)。

為了使點(diǎn)的三個(gè)投影a′、a、a″共面，移去空間點(diǎn)A，將H、W面按箭頭所指的方向(見圖2-7(a))旋轉(zhuǎn)攤平在同一平面上，再去掉投影面的邊框和V、H、W代號(hào)，便得到了點(diǎn)的三面投影圖，如圖2-7(b)所示。圖中ax、ay、az分別為點(diǎn)的投影連線與投影軸X、Y、Z的交點(diǎn)。圖2-7點(diǎn)的三面投影(a)立體圖；(b)投影圖

3．點(diǎn)的三面投影特性

由圖2-7(a)可知：由于Aa′⊥V面，Aa⊥H面，則平面Aa′axa分別與V、H面及OX軸相垂直，則OX軸⊥a′ax和aax。同理可得OY軸⊥aay和a″?ay、OZ軸⊥a′az和a″az。當(dāng)H面向下旋轉(zhuǎn)90°與V面共面時(shí)，a′、ax

、a三點(diǎn)共線，如圖2-7(b)所示，故得到a′a⊥OX軸；同理可得a′a″⊥OZ軸、aay⊥OYH和a″ay⊥OYW軸。

根據(jù)上述分析，可歸納出點(diǎn)在三面投影體系中的投影規(guī)律：

(1)點(diǎn)的正面投影與水平投影的連線a′a⊥OX軸；

(2)點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線a′a″⊥OZ軸；

(3)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aax=a″az。

根據(jù)此投影規(guī)律，若已知點(diǎn)的任意兩個(gè)投影，即可求出它的第三個(gè)投影。為了作圖方便，可過原點(diǎn)O作角∠YHOYW的平分線，則aay與a″ay的延長線必與該輔助線交于一點(diǎn)，從而體現(xiàn)aax=a″az的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【例2-1】如圖2-8(a)所示，已知點(diǎn)A的正面投影和水平投影，求其側(cè)面投影。

解由點(diǎn)的投影特性可知，a′a″⊥OZ，aax

=?a″az，過故a′作直線垂直于OZ軸，交OZ軸于az，在a′az的延長線上量取aax=a″az

，即可得到a″，如圖2-8(b)所示。圖2-8已知點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三投影

4．點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

若將三投影面體系看做空間的直角坐標(biāo)系，則V、H、W面相當(dāng)于坐標(biāo)面，OX、OY、OZ軸相當(dāng)于坐標(biāo)軸，點(diǎn)O相當(dāng)于坐標(biāo)原點(diǎn)。

由于圖2-9(a)中長方體的每組平行邊分別相等，因此可得出點(diǎn)的投影與A的三個(gè)坐標(biāo)值xA、yA、zA有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

點(diǎn)A到W面的距離Aa″?=?a′az

=aay

=?oax=xA；

點(diǎn)A到V面的距離Aa′=?aax

=a″az

=oay=yA；點(diǎn)A到H面的距離Aa=a′ax

=a″ay

=oaz

=zA。

由此可見，若已知點(diǎn)A的投影(a′、a、a″)，即可確定該點(diǎn)的坐標(biāo)，也就確定了該點(diǎn)的空間位置；反之亦然。

由圖2-9(b)可知，點(diǎn)的每個(gè)投影包含了點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)；點(diǎn)的任意兩個(gè)投影包含了點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)，所以，根據(jù)點(diǎn)的任意兩個(gè)投影，也可確定點(diǎn)的空間位置。圖2-9點(diǎn)的投影與坐標(biāo)的關(guān)系(a)立體圖；(b)投影圖

【例2-2】已知點(diǎn)A(30、10、20)，求作它的三面投影圖。

解法1

如圖2-10(a)所示：

(1)作投影軸OX、OYH、OYW、OZ；

(2)在OX軸上由O點(diǎn)向左量取X坐標(biāo)值30，得ax點(diǎn)，在OYH、OYW軸上由O點(diǎn)分別向下、向右量取Y坐標(biāo)值10，得ayH、ayW，在OZ軸上由O點(diǎn)向上量取Z坐標(biāo)值20，得出az；

(3)過ax作OX軸的垂線，過ayH、ayW分別作OYH、OYW軸的垂線，過az作OZ軸的垂線；

(4)各條垂線的交點(diǎn)a′、a、a″，即為點(diǎn)A的三面投影圖。

解法2

如圖2-10(b)所示：

(1)作投影軸；

(2)在OX軸上由O點(diǎn)向左量取X坐標(biāo)值30，得ax點(diǎn)；

(3)過ax作OX軸的垂線，并沿垂線向下量取aax=10得a；向上量取a′ax=20，得a′；

(4)根據(jù)a、a′，求出第三投影a″。圖2-10根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)作投影圖2.3.1直線的三面投影

由平面幾何得知，兩點(diǎn)確定一條直線，故直線的投影可由直線上兩點(diǎn)的投影確定。如圖2-11所示，分別將兩點(diǎn)A、B的同面投影用直線相連，則得直線AB的投影。2.3直?線?的?投?影圖2-11直線的三面投影2.3.2各種位置直線的投影特性

1．直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性

1)直線平行于投影面

如圖2-4(a)所示，直線AB平行于投影面，根據(jù)正投影的投影特性(真實(shí)性)，其投影反映實(shí)際長度，即ab=?AB。

2)直線垂直于投影面

如圖2-4(b)所示，直線AB垂直于投影面，根據(jù)正投影的投影特性(積聚性)，其投影積聚為一個(gè)點(diǎn)。

3)直線傾斜于投影面

如圖2-4(c)所示，直線AB傾斜于H面，根據(jù)正投影的投影特性(類似性)，其投影仍為直線，但投影的長度比空間線段的實(shí)際長度縮短了。

2．直線在三投影面體系中的投影特性

1)投影面平行線

平行于一個(gè)投影面而傾斜于另兩個(gè)投影面的直線稱為投影面平行線。根據(jù)其平行的投影面不同，又可分為：

正平線——平行于V面，傾斜于H、W面的直線；

水平線——平行于H面，傾斜于V、W面的直線；

側(cè)平線——平行于W面，傾斜于V、H面的直線。

表2-1列出了投影面平行線的立體圖、投影圖及投影特性。表2-1投影面平行線的投影特性

2)投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面的直線稱為投影面垂直線。根據(jù)其垂直的投影面的不同，又可分為：

正垂線——垂直于V面，平行于H、W面的直線；

鉛垂線——垂直于H面，平行于V、W面的直線；

側(cè)垂線——垂直于W面，平行于V、H面的直線。

表2-2列出了投影面垂直線的立體圖、投影圖及投影特性。表2-2投影面垂直線的投影特性

3)一般位置直線

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。如圖2-12所示的直線AB，由于直線上兩端點(diǎn)到任意投影面的距離都不相等，其三面投影a′b′、ab、a″b″

均與投影軸傾斜，且投影長度小于AB的實(shí)長；從圖中還可看出，每一投影對(duì)相應(yīng)投影軸的夾角，不反映空間直線對(duì)相應(yīng)投影面的真實(shí)傾角。圖2-12一般位置直線(a)立體圖；(b)投影圖

【例2-3】如圖2-13(a)所示，根據(jù)三棱錐的正面投影和水平投影，判別棱線SA、SB、SC及底邊AB、BC、CA是什么位置直線？并完成它們的側(cè)面投影。

分析棱線SA的投影sa、s′a′?都傾斜于OX軸，是一般位置直線，其側(cè)面投影必然也傾斜于OZ軸；棱線SC同樣也是一般位置直線；在棱線SB的投影中，sb∥OX，s′b′?傾斜于OX軸，因此，SB是正平線，其側(cè)面投影必然平行于OZ軸；在底邊AB的投影中，ab傾斜于OX軸，a′b′∥OX，因此，AB是水平線，側(cè)面投影必然平行于OYW軸；底邊BC同樣也是水平線；在底邊CA的投影中，ca⊥OX，c′a′?積聚為點(diǎn)，因此，CA是正垂線，側(cè)面投影必然垂直于OZ軸。

作圖作圖過程如圖2-13(b)所示。圖2-13三棱錐的投影圖2.3.3直線上點(diǎn)的投影

如圖2-14所示，直線上點(diǎn)的投影有如下特性：

1．從屬性

若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影一定在直線的同面投影上，且符合點(diǎn)的投影規(guī)律，反之亦然。

2．定比性

若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的投影將線段的同面投影分割成與空間線段相同的比例，反之亦然，即ek∶kf?=e′k′∶k′f′?=e″k″∶k″f″?=EK∶KF。圖2-14直線上的點(diǎn)

【例2-4】已知點(diǎn)M在直線AB上，求作它們第三面投影(見圖2-15(a))。

分析由于點(diǎn)M在直線AB上，根據(jù)正投影的投影特性(從屬性)，點(diǎn)M的另兩面投影投影必在直線AB的同面投影上。

作圖①首先求出直線AB的水平投影ab，如圖2-15(b)所示。

②過m′作OX、OZ軸線的垂線，分別與ab、a″b″?相交，求得m、m″，如圖2-15(c)所示。圖2-15直線上點(diǎn)的投影2.4.1平面的三面投影

平面圖形的投影，一般仍為平面圖形。

例如，圖2-16(a)所示△ABC的三面投影均為三角形。作圖時(shí)，先求出三角形各頂點(diǎn)的投影(見圖2-16(b))，然后將各點(diǎn)的同面投影依次相連，即得△ABC的三面投影，如圖2-16(c)所示。2.4平?面?的?投?影圖2-16平面的投影2.4.2平面的投影特性

1．平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性

如圖2-17所示，平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性取決于平面與投影面的相對(duì)位置，共分為三種情況，即：平行于投影面、垂直于投影面、傾斜于投影面。圖2-17平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性

1)平面平行于投影面

當(dāng)平面平行于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影反映實(shí)形，投影具有真實(shí)性。

2)平面垂直于投影面

當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影積聚成一條直線，投影具有積聚性。

3)平面傾斜于投影面

當(dāng)平面傾斜于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影與空間平面的形狀是類似的，投影具有類似性。

2．平面在三面投影體系中的投影特性

1)投影面平行面

平行于一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。根據(jù)其所平行的投影面的不同，又可分為：

水平面——平行于H面，垂直于V、W面的平面；

正平面——平行于V面，垂直于H、W面的平面；

側(cè)平面——平行于W面，垂直于V、H面的平面。

表2-3列出了投影面平行面的立體圖、投影圖及投影特性。

2)投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而傾斜于另兩個(gè)投影面的平面稱為投影面垂直面。根據(jù)其所垂直的投影面的不同，又可分為：

鉛垂面——垂直于H面，傾斜于V、W面的平面；

正垂面——垂直于V面，傾斜于H、W面的平面；

側(cè)垂面——垂直于W面，傾斜于V、H面的平面。

表2-4列出了投影面垂直面的立體圖、投影圖及投影特性。

3)一般位置平面

對(duì)三個(gè)投影面均傾斜的平面稱為一般位置平面。由于一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜(見圖2-16(a))，所以，它的三面投影都均為與空間平面類似的圖形，既不反映真形，也不積聚。

【例2-5】根據(jù)所給的平面的兩面投影判斷是什么位置平面，并求作第三面投影(見圖2-18(a))。

分析該平面的水平投影積聚為一傾斜的直線，側(cè)面投影為六邊形的類似形，根據(jù)平面的投影特性可知，該平面為六邊形的鉛垂面，其正面投影必為側(cè)面投影的類似形(六邊形)。

作圖①首先在側(cè)面投影中標(biāo)注出平面的各個(gè)頂點(diǎn)a″、b″、c″、d″、e″、f″。

②按對(duì)應(yīng)關(guān)系在水平投影中標(biāo)注出相應(yīng)的字母a、b、c、d、e、f。

③根據(jù)點(diǎn)的兩個(gè)投影求作正面投影a′、b′、c′、d′、e′、f′。

④按側(cè)面投影的連線順序依次連接a′b′c′d′e′f′a′。作圖結(jié)果如圖2-18(b)所示。圖2-18根據(jù)平面的兩投影求作第三投影(a)題目；(