四川省綿陽市高中2022級第二次診斷性考試數學答案

高二數學試題卷第=page44頁（共=sectionpages44頁）數學參考答案第=page66頁（共=sectionpages66頁）高中2022級第二次診斷性考試數學參考答案及評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．A 8．C二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．BCD 10．BC 11．ABD三、填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分．12．3； 13．； 14．四、解答題：本題共5小題，第15題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解：（1）∵，由正弦定理得：， 2分又，則，∴， 4分∴，又B是三角形內角， 5分∴； 6分（2）∵，且，∴， 8分∴， 9分∴， 11分∴． 13分16．解：（1）a=0時，，，且， 2分∴， 4分故切線方程為：y?(e+1)=e(x?1)，即ex?y+1=0； 6分（2）∵，， 7分由1<a<e，存在，使得，即，， 9分當時，，單調遞減； 10分當時，，單調遞增， 11分故， 12分令，， 13分∴在上單調遞減， 14分易知，所以． 15分

17．解：（1）設數列的公差為d，令，得，所以， 2分令，得，所以， 4分∵數列的公差大于0，∴，，所以； 6分（2）（i）k=1時，n=1，則； 7分k=1時，， 8分∴，； 9分（ii）由題意可知：， 10分=1\*GB3①當時，，則，∴； 11分=2\*GB3②當時，，則，∴； 12分=3\*GB3③當時，，則，∴， 13分∴， 14分∴． 15分

18．解法一：（1）證明：如圖1，設AC的中點為F，連接BF并延長交CD于點G，易知△ABC為等邊三角形，且BG⊥AC， 1分在△ACD中，AC=AD=2，滿足，∴AD⊥AC，則G為CD中點， 2分又點E為PD中點，G為CD中點，∴EG//PC，又PC⊥AC，∴AC⊥EG， 3分而BG，EG均在平面BEG內，且BG∩EG=G，∴AC⊥平面BEG，，∴AC⊥BE； 5分（2）因為AC⊥平面BEF，則AC⊥EF，AC⊥FG， 6分因此∠EFG即為二面角E-AC-D的平面角，∴，而， 7分∴在△EFG中，，由余弦定理得， 8分∴，則EG⊥FG， 9分∴EG⊥平面ABCD，PC⊥平面ABCD，，，由AD⊥AC，則△ACD的面積為2， 10分∴三棱錐P-ACD的體積； 11分（3）由PC//EG，則直線PC與平面ACE所成角即為直線EG與平面ACE所成角，由（1）可知AC⊥平面BEG，，∴平面BEG⊥平面ACE，因此∠FEG即為所求角， 12分思路一：在△EFG中，，，由正弦定理：， 13分∴， 14分當，即如（2）中EG⊥平面ABCD時， 15分， 16分∴直線PC與平面ACE所成角的正弦值為． 17分思路二：在△EFG中，，，故點G在以F為圓心，1為半徑的圓上， 12分當EG與該圓相切時，即如（2）中EG⊥平面ABCD時，∠FEG最大， 14分此時， 16分∴直線PC與平面ACE所成角的正弦值為． 17分解法二：（1）證明：易知△ABC為等邊三角形在△ACD中，AC=AD=2，滿足，∴AD⊥AC， 1分以A為坐標原點，建立上如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設點P(x，y，z)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，B(1，，0)，E(，，)，易知，， 2分由PC⊥AC，則2(2?x)=0，則x=2， 3分則 4分∴，則AC⊥BE； 5分（2）由（1）可知AC⊥平面BEG，，∴平面BEG⊥平面ABCD， 6分以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，設點E(1，m，n)（m<2，n>0），易知，，設平面ACE的法向量為：n1=(x，y，z)，∴，不妨令，則平面ACE的一個法向量為：n1=(0，?n，m)，又平面ACD的一個法向量為n2=(0，0，1)， 7分∴cos<n1，n2>=， 8分∵，則，解得：n=，則點E到平面ACD的距離為，由E為PD的中點，則點P到平面ACD的距離為， 9分在△ACD中，AC=AD=2，滿足，∴AD⊥AC，則△ACD的面積為2， 10分∴三棱錐P-ACD的體積； 11分（3）由PC//EG，則直線PC與平面ACE所成角即為直線EG與平面ACE所成角，設為θ，由，則， 12分∴ 13分∴ 14分（當且僅當m=1時，等號成立） 16分即的最大值為，∴直線PC與平面ACE所成角正弦值的最大值為． 17分19．解：（1）由已知得，，即， 1分又離心率為，則，∵，所以，即， 2分∴，， 3分∴橢圓Г的標準方程為：； 4分（2）設點M(x0，y0)，則點M滿足：，則，由已知可得F(0，)，H(0，)，設直線MF與MH的斜率分別為，，∴，， 5分直線MF與MH的斜率之積滿足：． 6分（i）∵D(2，)，G(2，0)，則，，直線PF的方程為：，令，則，∴， 7分直線HQ的方程為：，令，可得Q(2，)，∴，∴， 8分且， 9分∴； 10分(ii)存在，使得|TK|定值，理由如下： 11分設點，，，=1\*GB3①當過橢圓上點的直線l斜率存在時，設直線l方程為：，帶入橢圓Г的方程：，化簡并整理得：，∵直線l與橢圓僅有一個公共點，∴，化簡得：， 12分∴，代入，得，∴，從而直線l的方程為：，即， 13分=2\*GB3②當過的直線l斜率不存在且與橢圓Г僅有一個公共點時，直線l的方程為：，滿足上式．同理：當過橢圓上點的直線：與橢圓Г僅有一個公共點，這兩條直線都過點S，所以有，，∴直線IJ的方程為