專題12-1-全等三角形(知識(shí)講解)-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)(人教版)

專題12.1全等三角形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、從圖形重合中理解圖形全等的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系；2．理解全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的概念；能準(zhǔn)確辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素；3．掌握全等三角形的性質(zhì)；會(huì)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理和計(jì)算，解決某些實(shí)際問題.【知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.特別說明：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.要點(diǎn)二、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.要點(diǎn)三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.特別說明：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.2.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.要點(diǎn)四、全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.特別說明：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.

【典型例題】類型一、全等三角形的概念 1．已知：如圖，△ABD與△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，寫出其余的對(duì)應(yīng)角和各對(duì)對(duì)應(yīng)邊．【答案】∠A與∠C，∠ADB與∠CBD是對(duì)應(yīng)角；BD與DB，AD與CB，AB與CD是對(duì)應(yīng)邊．【解析】關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．解：△ABD與△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，則∠A與∠C，∠ADB與∠CBD是對(duì)應(yīng)角；BD與DB，AD與CB，AB與CD是對(duì)應(yīng)邊．舉一反三：【變式1】如圖，在中，已知，，，試把下面運(yùn)用“疊合法”說明和全等的過程補(bǔ)充完整：說理過程：把放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)重合，因?yàn)?，所以可以使，并使點(diǎn)C和在AB（）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與重合，點(diǎn)B與重合，由于，因此，；由于，因此，；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)（射線與的交點(diǎn)）重合，這樣．【答案】見解析．【分析】根據(jù)“疊合法”說明兩三角形全等即可．解答：把放到上，使點(diǎn)A與點(diǎn)重合，因?yàn)椋钥梢允笰B與重合，并使點(diǎn)C和在AB（）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與重合，點(diǎn)B與重合，由于，因此，射線AC與射線疊合；由于，因此，射線BC與射線疊合；于是點(diǎn)C（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)（射線與的交點(diǎn)）重合，這樣重合，即全等．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等的定義，掌握“疊合法”說明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．【變式2】周長(zhǎng)相等的兩圓相同，周長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形相同，那么，周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？【答案】不一定全等．【解析】分析:能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形，構(gòu)成三角形的三條邊不一定全部相等，可得周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等．本題解析:例如，兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)均為10，一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為4，3，3，而另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為4，4，2，這兩個(gè)三角形顯然不全等，但當(dāng)兩個(gè)三角形為正三角形時(shí)，這兩個(gè)三角形全等．點(diǎn)睛：本題考查了全等圖形的知識(shí)，要求學(xué)生熟練掌握全等三角形定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.類型二、全等三角形的識(shí)別2．找出下列圖形中的全等圖形.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）【答案】（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等圖形【解析】試題分析：根據(jù)全等圖形的概念，能夠完全重合的圖形叫全等圖形，直接判斷即可.試題解析：根據(jù)全等圖形的概念，可知：（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等圖形.舉一反三：【變式1】觀察下列圖形的特點(diǎn)：有幾組全等圖形？請(qǐng)一一指出：___________．【答案】1與6；2與12；3與5與11；4與9；7與10【分析】根據(jù)全等圖形的定義判斷即可．解：根據(jù)全等圖形可得：1與6、2與12、3與5與11、4與9、7與10；

故答案為：1與6、2與12、3與5與11、4與9、7與10【點(diǎn)撥】本題考查了全等圖形，是基礎(chǔ)題，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，沿著方格線，把下列圖形分割成四個(gè)全等的圖形．【詳解】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進(jìn)而求出答案．解：如圖所示：紅色分割線即為所求．考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．類型三、全等三角形的性質(zhì)3、在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=________度；（2）設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；②當(dāng)點(diǎn)在直線BC上移動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【答案】（1）90；（2）①，理由見解析；②當(dāng)點(diǎn)D在射線BC.上時(shí)，a+β=180°，當(dāng)點(diǎn)D在射線BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，a=β．【分析】（1）可以證明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，證明∠ACB＝45°，即可解決問題；（2）①證明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解決問題；②證明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性質(zhì)即可解決問題．解：（1）；（2）①．理由：∵，∴．即．又，∴．∴．∴．∴．∵，∴．②當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，．【點(diǎn)撥】該題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)．舉一反三：【變式1】如圖所示，已知AE⊥AB，△ACE≌△AFB，CE、AB、BF分別交于點(diǎn)D、M．證明：CE⊥BF．【分析】先利用垂直定義得到∠BAE=90°，在利用三角形全等的性質(zhì)得∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，則∠CAF=∠BAE=90°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理易得∠FMC=∠CAF=90°，然后根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論．證明：∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∵△ACE≌△AFB，∴∠CAE=∠BAF，∠ACE=∠F，∴∠CAB+∠BAE=∠BAC+∠CAF，∴∠CAF=∠BAE=90°，而∠ACE=∠F，∴∠FMC=∠CAF=90°，∴CE⊥BF．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．【變式2】如圖，點(diǎn)E在AB上，△ABC≌△DEC，求證：CE平分∠BED．【答案】見解析【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B=∠DEC，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BC=EC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BEC，從而得到∠BEC=∠DEC，再根據(jù)角平分線的定義證明即可．解：∵△ABC≌△DEC，∴∠B=∠DEC，BC=EC，∴∠B=∠BEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．類型四、全等三角形的應(yīng)用4、圖①，圖②都是由一個(gè)正方形和一個(gè)等腰直角三角形組成的圖形.（1）用實(shí)線把圖①分割成六個(gè)全等圖形；（2）用實(shí)線把圖②分割成四個(gè)全等圖形.【答案】(1)見解析;(2)見解析.【分析】設(shè)正方形的面積為2，則等腰直角三角形的面積為1，（1）根據(jù)題意，分成的每一個(gè)圖形的面積為，分成六等腰個(gè)直角三角形即可；（2）根據(jù)題意，分成的每一個(gè)圖形的面積為，分成四個(gè)直角梯形即可．解：如圖所示：【點(diǎn)撥】本題考查復(fù)雜作圖，根據(jù)面積確定出分成的每一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵，難度中等，但不容易考慮．舉一反三：【變式1】把大小4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形,例如,圖1,請(qǐng)?jiān)趫D2中,沿著虛線畫出四種不同的分法,把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形.【分析】可以利用圖形的對(duì)稱性和互補(bǔ)性來分隔成兩個(gè)全等的圖形．解：∵要求分成全等的兩塊，∴每塊圖形要包含有8個(gè)小正方形.【變式2】在中，，，請(qǐng)將其分成三個(gè)三角形，使之符合：(1)三個(gè)三角形是全等的直角三角形．(2)三個(gè)三角形