（新教材）2020-2021學年高一下學期第二次月考卷　數(shù)學（一）解析版

此卷只裝訂不密封班級姓名此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數(shù)學（一）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓，則這個幾何體一定是（）A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體【答案】C【解析】各個截面都是圓，幾何體中只有球體的任意截面都是圓，這個幾何體一定是球體，故選C．2．若一個圓錐的母線長為4，且其側面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（）A．π B． C． D．【答案】A【解析】設圓錐的底面圓半徑為r，高為h，由圓錐的母線長為4，所以圓錐的側面積為，又圓錐的軸截面面積為，所以，解得，所以該圓錐的高為π，故選A．3．如圖所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二測畫法下的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝3，則△ABC的邊AB上的高為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】過點C′作C′D′∥y′軸，交x′軸于點D′，則∠C′D′B′＝45°．∵在中，，∴，所以△ABC的邊AB上的高，故選A．4．側面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，PA，PB，PC兩兩垂直且，△ABC為等邊三角形，，∴，∴表面積為，故選A．5．設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥n，m?α，則n∥α；②若m∥n，m?α，n?β，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對于①，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故①錯；對于②，若m∥n，m?α，n?β，則α∥β或α與β相交，故②錯；對于③，若m∥α，n∥α，則m∥n或m，n相交或m，n異面，故③錯；對于④，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交，故④錯，故選A．6．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載的“芻甍”是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個結論：①；②，（）A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立【答案】B【解析】對于①，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，①成立；對于②，如圖，取中點，連接、，，，，即，由，為的中點，則，所以，四邊形為平行四邊形，則，不妨設，則，假設，則，則，即，即，但的長度不定，故假設不一定成立，即②不一定成立，故選B．7．如圖，平面α⊥平面β，，，AB與兩平面α，β所成的角分別為和．過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′，B′，則等于（）A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3【答案】A【解析】由已知條件可知，，設，則，，∴在Rt△BB′A′中，得，∴．8．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，點是側面上的動點，且截面，則線段長度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取CD的中點為N，的中點為R，的中點為H，作圖如下：由圖可知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，，所以，因為，，故平面平面，因為截面，所以平面，線段MP掃過的圖形為，由，知，，在中，，即，所以，所以，即為直角，故線段長度的取值范圍為，即，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．如圖，在棱長為1的正方體中，點為的中點，則下列說法正確的是（）A．DE與CC1為異面直線B．DE與平面BCC1B1所成角的正切值為C．過D?C?E三點的平面截正方體所得兩部分的體積相等D．線段DE在底面ABCD的射影長為【答案】ABC【解析】由圖可知：DE與CC1為異面直線，∴A正確；因為平面平面，所以與平面所成角即與平面所成角，連接A1D，顯然，是與平面所成角．在直角三角形EA1D中：，∴B正確；過D?C?E三點的平面截正方體所得兩部分的體積關系即為平面A1B1CD截正方體所得兩部分的體積關系，由正方體的對稱性可知截得兩部分幾何體的體積相等，∴C正確；取AB中點F，連接EF、DF，∵且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的長為線段DE在底面ABCD的射影長，在直角三角形DFE中：，，∴，∴D錯，故選ABC．10．我國古代數(shù)學家祖暅求幾何體的體積時，提出一個原理：冪勢即同，則積不容異．這個定理的推廣是夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的平面所截，若截得兩個截面面積比為，則兩個幾何體的體積比也為．如下圖所示，已知線段長為4，直線過點且與垂直，以為圓心，以1為半徑的圓繞旋轉一周，得到環(huán)體；以，分別為上下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體；過且與垂直的平面為，平面，且距離為，若平面截圓柱體所得截面面積為，平面截環(huán)體所得截面面積為，則下列結論正確的是（）A．圓柱體的體積為 B．C．環(huán)體的體積為 D．環(huán)體的體積為【答案】ABD【解析】由已知圓柱體的體積為，故選項A正確；由圖可得，，其中，，故，故選項B正確；環(huán)體體積為，故選項D正確，選項C錯誤，故選ABD．11．已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，，，，過作平面的垂線，且，，與都在平面的同側，則（）A．三棱錐的體積為 B．C． D．球的表面積為【答案】ABD【解析】如圖，長方體的高為1，底面是邊長為2的正方形，滿足，，，三棱錐的體積為，故A正確；，滿足，可得，故B正確；平面，平面，則，假設，則，與與相交于矛盾，故C錯誤；三棱錐的外接球即長方體的外接球，設其半徑為，則，即，可得球的表面積為，故D正確，故選ABD．12．如圖，在正方體中，點E在棱上，且，是線段上一動點，則下列結論正確的有（）A．B．存在一點F使得C．三棱錐的體積與點F的位置無關D．直線與平面所成角的正弦值的最小值為【答案】ABC【解析】如圖，連接，易證平面，則，故A正確；在上取一點H，使得，連接，易證四邊形為平行四邊形，則，，若，易證四邊形為平行四邊形，則，，從而，，故四邊形為平行四邊形，于是，故B正確；設，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，則，即三棱錐的體積與正方體的棱長有關，與點F的位置無關，故C正確；以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，從而，，，設平面的法向量，則，令，得，從而，即直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以，故D錯誤，故選ABC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．某圓臺下底半徑為2，上底半徑為1，母線長為2，則該圓臺的表面積為________．【答案】【解析】由題意知，該圓臺的表面積為，故答案為．14．把底面半徑為8cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉回原位置時，圓錐本身滾動了周，則圓錐的母線長為______cm，表面積等于_____cm2．【答案】20，【解析】設圓錐的母線長為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積．又圓錐的側面積．∵圓錐在平面內(nèi)轉到原位置時，圓錐本身滾動了周，∴，∴．圓錐的表面積．故答案為20，．15．如果三棱錐的底面是正三角形，頂點在底面上的射影是的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐，有下列結論：①正三棱錐的所有棱長都相等；②正三棱錐至少有一組對棱不垂直；③當三棱錐所有棱長都相等時，該棱錐內(nèi)任意一點到它的四個面的距離之和為定值；④若正三棱錐的所有棱長均為，則該棱錐內(nèi)切球的表面積等于；⑤若正三棱錐的側棱長為2，一個側面的頂角為40°，過點的平面分別交側棱，于，，則周長的最小值等于．以上結論正確的是__________．【答案】③④⑤【解析】對于①，正三棱錐的側棱長與底面邊長不一定相等，故①不正確；對于②，在正三棱錐中，設的中心為，如圖：則平面，所以，又，所以平面，所以，同理，，故②不正確；對于③，當三棱錐所有棱長都相等時，幾何體為正四面體，設三棱錐的高為，每個面的面積為，點到它的四個面的距離為，則，所以為定值，故③正確；對于④，因為正三棱錐的所有棱長均為，設的中心為，如圖：則，，所以由③知，該棱錐內(nèi)切球的半徑，其表面積為，故④正確；對于⑤，沿將正三棱錐剪開，并展在一個平面內(nèi)，得到其側面展開圖：在側面展開圖中，當四點共線時，原幾何體中的周長最小，且為的長，因為正三棱錐的側棱長為2，一個側面的頂角為40°，所以，，所以，所以周長的最小值等于，故⑤正確，故答案為③④⑤．16．如圖，二面角的平面角的大小為，，，，，則四面體的外接球表面積為________．【答案】【解析】在中，，，所以，設的外接圓的半徑為，則，所以，在中，，，，所以；設的外接圓的半徑為，則，所以，又作，，所以為二面角的平面角，即，所以，，所以，設四面體的外接球的球心為，球半徑為，則，所以，所以四面體的外接球表面積為，故答案為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點．（1）證明：M，N，Q，P四點共面；（2）證明：PQ，MN，DC三線共點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）連接．分別為的中點，且，分別為，的中點，且，四邊形為平行四邊形，且，，且，四點共面．（2）由（1）知，且，必交于一點．，平面，平面．，平面，平面．又平面平面，，即三線共點．18．（12分）已知斜三棱柱的側面與底面垂直，，．且為中點，與相交于點．（1）求證：平面；（2）求直線與底面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，，則，又面，面，平面．（2）連接，取中點，連接，則，由面與底面垂直，且面，可得面，則為直線與底面所成角，設，則，，則，，即，則直線與底面所成角的大小為．19．（12分）四棱錐，底面為正方形ABCD，邊長為4，E為AB中點，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若CD的中點為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）．【解析】（1）∵△PAB為等邊三角形，且E為AB中點，AB＝4，∴，又PE⊥平面ABCD，∴四棱錐的體積．（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE為PF與平面ABCD所成角為45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF為等腰直角三角形，∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴PE＝FE＝4，∴，∵AD∥BC，∴∠PCB或其補角即為PC與AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，，故PC與AD所成角的大小為．20．（12分）如圖，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，，點O1，O分別是上、下底面菱形的對角線的交點．（1）求證：平面；（2）求點O到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為且，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以且．因為O1，O分別是A1C1，AC的中點，故且OC＝A1O1．所以四邊形A1O1CO為平行四邊形，所以．又平面CB1D1，平面CB1D1，所以平面CB1D1．（2）（解法1等體積法．）設點O到平面CB1D1的距離為h．因為D1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．因為AC，BD為菱形ABCD的對角線，所以CO⊥BD．因為D1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，．則點O到直線B1D1的距離為DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面積，所以三棱錐C-OB1D1的體積．在中，，，則的面積，由，得，因此，點O到平面CB1D1的距離為．（解法2作垂線．）因為AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．因為A1C1，B1D1為菱形A1B1C1D1的對角線，所以B1D1⊥A1C1．因為AA1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．因為B1D1?平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．在平面AA1C1C內(nèi)，作OH⊥CO1，H為垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，所以OH⊥平面CB1D1，即線段OH的長為點O到平面CB1D1的距離．在矩形AA1C1C中，，，，所以，故．因此，點O到平面CB1D1的距離為．21．（12分）如圖，四棱錐中，，底面為矩形，平面平面，O?E分別是棱、的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【解析】（1）取中點，連接，，因為是中點，∴，且，又是矩形，，，是中點，∴，，∴是平行四邊形，∴，而平面，平面，∴平面．（2）取中點，連接，，，是矩形，是中點，則，又，∴，而平面平面，平面平面，平面，∴平面，