第三章 最小勢(shì)能原理和分片插值

在這一章中我們將介紹：最小勢(shì)能原理及具體應(yīng)用；同一力學(xué)問(wèn)題的幾種不同的表達(dá)方式及它們之間的聯(lián)系；

Ritz方法在單元內(nèi)的應(yīng)用兩種最常用的插值形式（Lagrange型和Hermite型）；協(xié)調(diào)的位移型單元的收斂條件。第三章最小勢(shì)能原理和分片插值(有限單元方法的核心內(nèi)容之一)AB0kjnmx,uy,vlis0y,v2b2ax,ujilk0’y’x’§3-1最小勢(shì)能原理平衡問(wèn)題，可以至少用以下叁種不同的方式加以描述：（i）平衡方程（ii）虛位移原理（iii）總勢(shì)能取駐值（函數(shù)的極值問(wèn)題）

1.有限自由度系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)系圖3-1(a)為兩個(gè)重分別為PA,PB的小球，由不計(jì)重量，彈性系數(shù)為k的彈簧相連，放置在光滑的曲面F(x,y)=0上。該系統(tǒng)的平衡問(wèn)題可由以下三種方法來(lái)描述：F(x,y)=0ABAByxPBPAT’TrBrAo

（c）

圖３－１（a）ABTNANBPBPAT’xyo（b）(1)平衡方程

(2)虛位移原理

(3)總勢(shì)能取駐值

在所有滿足給定位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件的位移中，滿足平衡條件的位移使總勢(shì)能取駐值，若駐值是最小值，則平衡是穩(wěn)定的。最小勢(shì)能原理和平衡方程是否等價(jià)？

２.無(wú)限自由度系統(tǒng)彈性體

ＯＬf(x)x,uＰ圖3-2(1)軸向受拉的直桿。設(shè)桿長(zhǎng)為Ｌ，截面積為Ａ，彈性模量為E

軸向分布載荷f(x)。x=0端固定，x=L端受端點(diǎn)集中力P。

設(shè)位移u(x)滿足：

(i)u(0)=0(位移邊界條件)(ii)u(x)在[O,L]上連續(xù)（協(xié)調(diào)條件）

(iii)使總勢(shì)能取最小值。(3-1-1)u(x)即為該問(wèn)題的解最小勢(shì)能原理：設(shè)：u(x)+δu(x)為不同于u(x)的另外一種位移分布函數(shù)，也滿足上述的位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件，則(3-1-2)將u(x)+δu(x)代入總勢(shì)能函數(shù)考察兩總勢(shì)能函數(shù)之差因πP(u)

取最小值，即的充分必要條件是：對(duì)任意滿足(3-1-2)的δu(x)有：(3-1-3)若假定u’’(x)存在、連續(xù)，則對(duì)（3-1-3）分部積分一次，并利用（3-1-2）,可得到(3-1-2)(3-1-3)(3-1-4)(3-1-4)式對(duì)任意δu(x)

都成立的充分必要條件是：（平衡方程）（力邊界條件）①由勢(shì)能取駐值可以推出平衡方程。反之也對(duì)，說(shuō)明兩種描述方法在力學(xué)上等價(jià)。（平衡方程）（力邊界條件）（位移邊界條件）用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，要求函數(shù)滿足位移邊界條件而力邊界條件將作為勢(shì)能取駐值的自然結(jié)果。③兩種描述方法對(duì)函數(shù)的光滑程度（即可微性）要求不同。用微分方程描述時(shí)要求u(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)（記作u∈C2(0,L)）。而用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，為了保證變形能存在，要求u’(x)平方可積（記作u∈H１(0,L)）(NaturalBoundaryCondition)

（EssentialBoundaryCondition）

②兩種描述方法對(duì)邊界條件的要求不同。用微分方程描述時(shí)，u必須滿足：(2)平面應(yīng)力問(wèn)題正方形區(qū)域邊長(zhǎng)為a，厚度為t，受到體積力(fx,fy),邊界AB固定。邊界BC、CD自由。邊界AD的法向力為q(x)，切向力為p(x)。nnnx,uP(x)(fx,fy)BDCAOy,v圖3-3nq(x)u∣AB=v∣AB=0（其中LX，LY為區(qū)域Ω之邊界Г的外法線n的方向余弦）?？倓?shì)能πP的駐值條件為：(3-1-5)注意到沿邊界Г，外法線n的方向余弦為ABBCCDDALX-1010LY0-101以及沿邊AB：δu=δv=0則(3-1-5)對(duì)任意δu,δv都成立的充分必要條件為：沿BC：σy=τxy=0沿CD：σx=τxy=0沿AD：σy=q,τxy=p

(2)梁的平面彎曲ＯＬq(x)xQ圖３－4Mv(3-1-6)總勢(shì)能和強(qiáng)制邊界條件為勢(shì)能駐值條件對(duì)上式分部積分兩次，并注意到由于必須滿足強(qiáng)制邊界條件δv(0)=δv/(0)=0則有(3-1-7)使(3-1-7)對(duì)任意δv(x)都成立的充分必要條件是：（平衡方程）（自然邊界條件）微分方程的階數(shù)為４。關(guān)于v’’、v’’’

的邊界條件為自然邊界條件，關(guān)于v、v’

的邊界條件為強(qiáng)制邊界條件。當(dāng)用微分方程描述時(shí)要求v(x)有四階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)[v∈C4(0,L)]。用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，為保證變形能存在，只要求v’’(x)平方可積[v∈H2(0,L)]。本節(jié)討論的三個(gè)例題，可作為維數(shù)不同，階數(shù)不同的問(wèn)題的代表?，F(xiàn)把一些重要結(jié)論歸納如下表。其中，“方程階數(shù)”是以位移為基本未知量來(lái)計(jì)算，“可微性要求”是對(duì)最小勢(shì)能原理而言的。問(wèn)題方程階數(shù)強(qiáng)制邊界條件協(xié)調(diào)條件可微性要求桿的拉伸２關(guān)于u的邊界條件u

連續(xù)u’

平方可積平面問(wèn)題２關(guān)于u,v的邊界條件u,v

連續(xù)u’,v’

平方可積梁的彎曲４關(guān)于v,v’

的邊界條件v,v’

連續(xù)v’’

平方可積

(iii)將試探函數(shù)作為近似解代入描述問(wèn)題的能量泛函中，由泛函取駐值，即§3-2Ritz法(有限元方法的基礎(chǔ)之一)

由于有限單元方法可以理解為在單元（子域）內(nèi)應(yīng)用的Ritz法。Ritz法是一種求近似解的常用方法，它的基本步驟是：(i)選一組滿足強(qiáng)制邊界條件、協(xié)調(diào)條件和可微性要求的基函數(shù)(ii)假定近似解（試探函數(shù)trialfunction）的形式為定出系數(shù)α1~αn。從而得到近似解。vL/4PLABxC以簡(jiǎn)支梁為例，求解在集中力P作用下的變形解法１基函數(shù)取多項(xiàng)式

解法２：基函數(shù)取正弦函數(shù)解法1:解法2:精確值:

兩種方法求得的Ｃ點(diǎn)位移絕對(duì)值小于精確值。正弦的基函數(shù)，使支座處彎矩為零的條件（不屬于強(qiáng)制邊界條件）也得到滿足。盡管Ritz法本身并不要求這一點(diǎn)，但是第二個(gè)近似解的精度顯然比第一個(gè)要好得多?；瘮?shù)的選取對(duì)解的精確度有顯著的影響,(種類,項(xiàng)數(shù))§3-3分片插值形式的基函數(shù)和試探函數(shù)（解的收斂性與插值函數(shù)的選取關(guān)系很大）圖３－６x③3②2①14φ110φ31φ21φ41xxxx0001.一維Lagrange型插值圖示一軸向受拉的直桿，截面積Ａ和軸向分布載荷f可以是x的函數(shù)。因而軸向位移u(x)

可能是x的復(fù)雜函數(shù)。(1)基函數(shù)1當(dāng)j=i0當(dāng)j≠i定義基函數(shù)φ1～φ4。滿足：(ii)

設(shè)基函數(shù)在單元內(nèi)是x的一次函數(shù)。(2)試探函數(shù)的形式取為基函數(shù)的線性組合

根據(jù)φi的定義顯然有：u(x)是x的分段線性函數(shù)；系數(shù)ui

恰好代表結(jié)點(diǎn)i的位移值，相互之間是獨(dú)立的。

這樣分段（片）定義的試探函數(shù)的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是：

(i)

強(qiáng)制邊界條件很容易得到滿足。例如u(0)=0的條件只要簡(jiǎn)單地令結(jié)點(diǎn)１的位移u1=0即可以實(shí)現(xiàn)。

(ii)

允許我們?cè)谌魏畏奖愕臅r(shí)候（例如組裝總體剛度矩陣時(shí)）引入這些邊界條件。

(iii)

由于強(qiáng)制邊界條件問(wèn)題已經(jīng)有了妥善的解決辦法，我們的注意力將轉(zhuǎn)向協(xié)調(diào)條件和可微性問(wèn)題。φ110φ31φ21φ41xxxx000上面定義的φi(x)和u(x)都存在著“尖點(diǎn)“，光滑程度不高。但是：

（i）

φi(x)和u(x)在單元內(nèi)連續(xù)，在結(jié)點(diǎn)處也連續(xù)；uu2u3u4u1u’xx00（３）協(xié)調(diào)性和可微性（ii）φi’(x)和u’(x)在單元內(nèi)連續(xù)，在結(jié)點(diǎn)處可能不連續(xù)。但只有有限的跳躍量。在區(qū)間[0,L]上平方可積。Φi(x)

和u(x)

屬于同一類型的函數(shù)。對(duì)于軸向受拉桿（二階問(wèn)題），u(x)滿足最小勢(shì)能原理對(duì)協(xié)調(diào)性和可微性的要求。由

可求得u１、u２、u３、u４的值，得到一個(gè)近似解。（４）Lagrange插值

φi(x)、u(x)都涉及這樣一個(gè)問(wèn)題：由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值在單元內(nèi)確定一個(gè)線性變化的函數(shù)。圖3-7為一個(gè)一般性的單元，兩個(gè)結(jié)點(diǎn)i、j的坐標(biāo)為xi、xj，假定單元內(nèi)u(x)是x的線性函數(shù)uNjuiujx0x,uxixjijNixixj1xxixjui1xxixj圖３－７其中Ni、Nj

稱為形函數(shù)，它們?cè)趩卧獌?nèi)是x的線性函數(shù)，且滿足

每個(gè)形函數(shù)由分子和分母兩部分組成，分子保證了一個(gè)結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)在其他結(jié)點(diǎn)處為０，而分母的選擇則恰好使得這個(gè)形函數(shù)在自己的結(jié)點(diǎn)個(gè)取值為１。

如果在每個(gè)單元內(nèi)在增設(shè)一個(gè)結(jié)點(diǎn)l就可以假定在每個(gè)單元內(nèi)u(x)是x的二次函數(shù)。形函數(shù)也是x的二次函數(shù)。若結(jié)點(diǎn)為i、j、l，則可以用“湊”的方法得出各形函數(shù)：uNluiujx0xlxixj1Nixixj1xxixj1xxixj圖３－8x0Nj0xlxlul0

用插值點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造的插值函數(shù)通常稱為L(zhǎng)agrange插值。

2.一維Hermite型插值

圖3-9為一根梁，橫向載荷q和截面慣性矩I可以是x

的函數(shù)。因而撓度v是x的復(fù)雜函數(shù)。梁的彎曲是四階問(wèn)題，試探函數(shù)v

及v’應(yīng)在[0,L]上連續(xù)。(1)基函數(shù)

定義基函數(shù)φ1(x)～φ4(x)、ψ1（x）～ψ4(x)

滿足:(i)φi(x)、ψj（x）在單元內(nèi)是x的三次函數(shù)xx③3②2①14vφ1x1ψ1x1radψ21rad1radψ4x1radψ3xφ2x1φ3x11φ4x圖３－9(2)試探函數(shù)根據(jù)φi、ψi的定義可知，v(x)是x的分段三次函數(shù)，且滿足:系數(shù)vi、v’i恰為結(jié)點(diǎn)處v、v’之值。這些值相互之間是獨(dú)立的。(３)可微性

滿足最小勢(shì)能原理對(duì)試探函數(shù)可微性的要求。vv’1xv1v2v3v4v’2v’3v’4v’’x圖3-9（續(xù)）hihjHiHjiiijixjjjxxx11rad1rad1圖3-10(４)Hermite插值

用插值點(diǎn)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造的插值函數(shù)通常稱為hermite插值。

§3-4常應(yīng)變?nèi)窃睦碚撘罁?jù)ＢＡＣＤq③②④⑤①⑦⑥⑧q６９４７１８５２３t圖２－８(ii)φi(x,y)在每個(gè)單元內(nèi)是x、y

的線性函數(shù)。１.基函數(shù)定義基函數(shù)φ1(x,y)～φ9(x,y)滿足:２.試探函數(shù)結(jié)點(diǎn)處：?jiǎn)卧獌?nèi)部：u,v

為x,y

的完全一次多項(xiàng)式,可由結(jié)點(diǎn)值唯一確定。（2-3-2）為常數(shù)。u,vxyij圖3-11ke1e2沿單元邊界（例如i、j邊），u、v

按線性變化，完全由這條邊上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值ui、vi、uj、vj所決定，故穿過(guò)單元邊界時(shí)u、v

連續(xù)（如圖3-11所示）。但穿過(guò)單元邊界時(shí)其導(dǎo)數(shù)一般不連續(xù)，有有限的跳躍量，但在Ω內(nèi)它們平方可積。３.總勢(shì)能

其中求解域內(nèi)的總變形能=各單元內(nèi)的變形能之和(3-4-1)4.勢(shì)能取駐值

5.單元?jiǎng)偠染仃?/p>

（3-4-1）的推導(dǎo)過(guò)程給出了由單元?jiǎng)偠染仃嘯k]I

組裝總體剛度矩陣的另一種解釋：總變形能等于單元變形能之和。去掉[k]i中全零的１２行和１２列，可得到一個(gè)6×6的方陣[k]任意一個(gè)單元只有六個(gè)非零自由度單元變形能其中（2-3-4）單元?jiǎng)偠染仃?/p>

與第二章中用直接法得到的單元?jiǎng)偠染仃嚕?-3-5）完全相同。6.等效結(jié)點(diǎn)力

單元①單元②

有限元方法可以看成采用分片插值形式的Ritz法。由于試探函數(shù)采用分片插值形式。即使在區(qū)域形狀比較復(fù)雜的情況下，強(qiáng)制邊界條件也很容易得到滿足。但所選擇的試探函數(shù)必須滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求。這是最早出現(xiàn)的關(guān)于有限元方法的理論論證。

§3-5收斂條件

一般說(shuō)來(lái)，用分片插值形式定義的試探函數(shù)很難做到與問(wèn)題本身的真實(shí)解（精確解）完全吻合，因而有限元解一般都是近似解。我們希望在網(wǎng)格逐步加密、單元尺度無(wú)限變小時(shí)有限元解能收斂到真實(shí)解。為了保證收斂性，各單元內(nèi)假定的位移場(chǎng)（試探函數(shù)）應(yīng)滿足以下條件:（１）假定的位移場(chǎng)在單元內(nèi)連續(xù)（２）能夠描述任何一種常應(yīng)變狀態(tài)（常曲率）（３）包括足夠的剛體位移模式

軸向受拉桿，只要包含完全一次多項(xiàng)式:平面應(yīng)力問(wèn)題，只需包含x、y

的完全一次多項(xiàng)式其中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)為三個(gè)剛體型位移：二個(gè)平移一個(gè)旋轉(zhuǎn)。第二個(gè)括號(hào)內(nèi)為常應(yīng)變項(xiàng)；對(duì)于梁的彎曲，只需包含x的完全二次多項(xiàng)式其中α1+α2x為剛體型位移，一個(gè)平移、一個(gè)旋轉(zhuǎn)。a3x2為常應(yīng)變（常曲率）項(xiàng)（４）協(xié)調(diào)條件

對(duì)二階問(wèn)題要求穿過(guò)單元邊界時(shí)位移（試探函數(shù)）連續(xù)。對(duì)四階問(wèn)題則要求穿過(guò)單元邊界時(shí)位移及其一階導(dǎo)數(shù)都連續(xù)。條件（１）~（３）則屬于必要條件,條件（４）并不是保證收斂性的必要條件?！?-6其他形式的二維分片插值（Lagrange型插值）0kjnmx,uy,vlis圖3-12

一個(gè)具體的單元由三個(gè)要素所決定

(i)單元形狀；

(ii)結(jié)點(diǎn)的配置和結(jié)點(diǎn)參數(shù)的選??；對(duì)于Lagrange型插值總是取結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值（即不取導(dǎo)數(shù)值）作為結(jié)點(diǎn)參數(shù)。

(iii)插值函數(shù)的具體形式（一般為多項(xiàng)式）。這些多項(xiàng)式的系數(shù)要能夠被結(jié)點(diǎn)參唯一確定。同時(shí)還要考慮收斂條件的要求。１.高階三角元圖3-12為六結(jié)點(diǎn)三角元。結(jié)點(diǎn)i、j、k位于三角形項(xiàng)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)l、m、n位于各邊中點(diǎn)。單元內(nèi)假定位移場(chǎng)的形式為x、y的完全二次多項(xiàng)式a１～a１可以由六個(gè)結(jié)點(diǎn)上的u、v

值唯一確定。

顯然u、v在單元內(nèi)連續(xù)，且包含了x、y的完全一次多項(xiàng)式，收斂條件（１）～（３）得到滿足，沿單元邊界（例如i－l－j

邊）x、y是s的一次函數(shù)，故u、v是s二次函數(shù)，完全被這條邊上三個(gè)結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值所決定，故協(xié)調(diào)條件（４）也得到滿足。0kjnmy,vli圖3-13hprtx,u

圖3-13為一個(gè)10結(jié)點(diǎn)的三角元，單元內(nèi)假定的位移場(chǎng)是x、y的完全三次多項(xiàng)式。同樣可以滿足收斂條件（１）～（４）。