第七章 截面幾何性質(zhì)

主講老師：王培興第七章截面幾何性質(zhì)第七章截面幾何性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解重心、形心、面積靜矩、慣性矩、慣性積的概念；2.掌握確定形心位置的方法；3.掌握平面圖形對(duì)一軸的面積靜矩、慣性矩的計(jì)算。第七章截面幾何性質(zhì)【引言】什么是截面幾何性質(zhì)？力學(xué)中所研究的桿件，其橫截面都是具有一定幾何形狀的平面圖形。與橫截面的形狀及尺寸有關(guān)的許多幾何量（如截面面積A、極慣性矩IP、抗扭截面系數(shù)WP等）,統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)。第七章截面幾何性質(zhì)研究截面幾何性質(zhì)的意義經(jīng)驗(yàn)告訴我們，直桿在拉壓時(shí)，在相同材料的條件下，如果橫截面面積越大，就越能承受軸力；桿件受扭時(shí)，在面積相同的情況下，空心圓軸比實(shí)心圓軸能承受更大的扭矩。以后在彎曲等其它問(wèn)題的討論中，還將遇到各種平面圖形的截面的另外一些幾何性質(zhì)?？傊?，桿件的強(qiáng)度、剛度與這些幾何性質(zhì)密切相關(guān)。因此，需要掌握它們的計(jì)算。7.1重心形心一、重心1.重心的概念位于地球上一切物體,都受地心引力的作用，重力就是地球?qū)ξ矬w的吸引力。如果將物體看作由無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，則各質(zhì)點(diǎn)的重力將組成空間平行力系,此力系的合力就是物體的重力。不論物體如何放置,其重力的合力作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就稱為物體的重心。重心位置在工程上有著重要意義，因此必須要確定物體重心的位置。7.1重心形心2.重心的確定如圖,設(shè)整個(gè)物體的重為G,位于圖示坐標(biāo)系中,重力的作用線通過(guò)一定點(diǎn)C（xc、yc、zc）,即物體的重心坐標(biāo)為（xc、yc、zc）.若物體可以分為有限塊,其中某小塊Mi重為Gi，作用線通過(guò)坐標(biāo)系Mi（xi、yi、zi）點(diǎn)。7.1重心形心根據(jù)空間力系的合力矩定理,將力系的合力及各分力分別對(duì)y軸求矩,可有：式中：7.1重心形心代入，并且依次同理可得公式7.1重心形心二、形心，即物體的幾何形狀中心如果物體是均質(zhì)的，其單位體積重量為

，各微小部分的體積是ΔVi，整個(gè)物體的體積為V=ΣΔVi.則ΔGi=

ΔVi，G=

V，代入公式(7-1)，并消去

，可得公式(7-2)7.1重心形心

由此可見(jiàn)，均質(zhì)物體的重心位置完全取決于物體的幾何形狀，而與物體的重量無(wú)關(guān)。均質(zhì)物體的重心就是物體幾何形狀的中心，即形心。7.1重心形心如果均質(zhì)物體是等厚均質(zhì)薄板，其厚度(設(shè)為沿x方向的尺寸)為t，整個(gè)物體的面積為A，各微小部分的面積是ΔAi，則有V=tA，ΔVi=tΔAi，代入式（7-2），并消去厚度t，可得均質(zhì)薄板的形心位置為公式（7-3）：7.1重心形心顯然，均質(zhì)薄板（或者平面圖形）的形心位置，位于薄板的中層，即一般只與平面圖形的形狀有關(guān)。7.2面積靜矩一、面積靜矩的概念如圖所示,一任意平面圖形,其面積為A.在圖形平面內(nèi)選取坐標(biāo)系Oyz,在平面圖形內(nèi)坐標(biāo)為z、y處取一微面積dA,根據(jù)力對(duì)軸之矩的定義,若將微面積dA看成是一個(gè)“從里向外的力”,則乘積ydA就是“該力dA”對(duì)z軸之矩.7.2面積靜矩故此,我們將乘積ydA稱為微面積dA對(duì)z軸的靜矩,將乘積zdA稱為微面積dA對(duì)y軸的靜矩.即有7.2面積靜矩而截面圖形內(nèi)每一微面積dA與它到y(tǒng)軸或z軸距離乘積的總和，稱為截面對(duì)y軸和z軸的面積靜矩（亦稱為面積矩、靜矩），用Sy或Sz表示，即有公式（7-4）7.2面積靜矩由式（7-4）可見(jiàn)，截面的靜矩是截面對(duì)某定軸而言的。同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩不同。靜矩為代數(shù)量，可能為正，可能為負(fù)，也可能為零。量綱單位為m3或mm3。7.2面積靜矩※靜矩概念的應(yīng)用靜矩可用來(lái)確定截面圖形形心的位置。如圖所示，若令該截面圖形形心C的坐標(biāo)為yc、zc，根據(jù)靜力學(xué)中的合力矩定理有7.2面積靜矩再根據(jù)公式（7-4），不難得到即有公式（7-5）7.2面積靜矩公式(7-5)的意義即平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的面積靜矩等于圖形面積A與形心坐標(biāo)yc（或zc）的乘積。因此，有以下結(jié)論：當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)圖形的形心時(shí)，其面積靜矩為零；反過(guò)來(lái)，若圖形對(duì)某軸的面積靜矩為零，則該軸必通過(guò)圖形的形心。7.2面積靜矩二、簡(jiǎn)單組合圖形的面積靜矩的計(jì)算當(dāng)截面由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形（如矩形、圓形、三角形等）組成時(shí)，由靜矩的定義可知，截面各組成部分對(duì)某一軸的靜矩的代數(shù)和，等于整個(gè)組合截面對(duì)同一軸的靜矩。即有公式（7-6）7.2面積靜矩式中，Ai、zi、yi分別代表任一組成部分的面積及其形心坐標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出，在求圖形對(duì)某軸的面積靜矩時(shí)，一般都設(shè)為正值；但是若求組合圖形對(duì)某軸的面積靜矩時(shí)，如果該軸位于圖形內(nèi)，則圖形的一部分對(duì)該軸的面積靜矩是正的，而圖形的另一部分對(duì)該軸的面積靜矩是負(fù)的。7.2面積靜矩將式（7-6）代入式（7-5），可得組合截面形心坐標(biāo)的計(jì)算公式（7-7）7.2面積靜矩7.2面積靜矩解：選取坐標(biāo)軸如圖所示，把圖形分成兩個(gè)矩形，則A1=10×120=1200mm2

A2=10×70=700mm2

z1=5mmz2=45mmy1=60mmy2=5mm7.2面積靜矩代入公式（7-7）得7.2面積靜矩再求圖形對(duì)y軸、z軸的面積靜矩：根據(jù)公式（7-6）得※關(guān)于確定組合平面圖形的形心位置討論1.一般情況下,當(dāng)組合圖形可以分割為若干個(gè)規(guī)則圖形時(shí)，可以由公式（7-7）直接進(jìn)行計(jì)算。7.2面積靜矩7.2面積靜矩※關(guān)于確定組合平面圖形的形心位置討論2.若截面有對(duì)稱軸，形心一定位于對(duì)稱軸上3.負(fù)（借）面積法：當(dāng)截面上有空洞時(shí)，可以考慮先借圖形（面積）將空洞補(bǔ)上，再減去這個(gè)圖形的面積（即該圖形為負(fù)面積）。如圖7.3慣性矩一、慣性矩的概念如圖所示，將整個(gè)圖形上微面積dA與它到z軸（或y軸）距離平方的乘積的總和，稱為該圖形對(duì)z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示，即有公式（7-8）7.3慣性矩【注】同一圖形對(duì)不同軸的慣性矩是不相同的。同時(shí)，因dA、y2、z2皆為正值，所以慣性矩的數(shù)值恒為正。慣性矩的單位是m4或mm4。7.3慣性矩二、簡(jiǎn)單圖形慣性矩的計(jì)算簡(jiǎn)單圖形的慣性矩可直接用式（7-8）通過(guò)積分計(jì)算求得。7.3慣性矩例7-2

圖示矩形截面高為h、寬為b。試計(jì)算截面對(duì)通過(guò)形心的軸（簡(jiǎn)稱形心軸）z、y（的慣性矩Iz和Iy7.3慣性矩解：（1）計(jì)算Iz。取平行于z軸的微面積dA=b·dy，dA到z軸的距離為y，應(yīng)用式（7-8）得7.3慣性矩（2）計(jì)算Iy取平行于y軸的微面積dA=hdz，dA到y(tǒng)軸的距離為z，應(yīng)用式（7-8）得7.3慣性矩因此，矩形截面對(duì)形心軸的慣性矩為(熟記)7.3慣性矩例7-3

如圖圓形截面直徑為D，試計(jì)算它對(duì)形心軸的慣性矩。7.3慣性矩解：取平行于z軸的微面積7.3慣性矩代入（7-8）式得7.3慣性矩根據(jù)對(duì)稱性，圓形截面對(duì)任一根形心軸的慣性矩都相等即有7.3慣性矩三、平行移軸公式同一平面圖形對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩各不相同，但它們之間存在著一定的關(guān)系。下面討論圖形對(duì)兩根互相平行的坐標(biāo)軸的慣性矩之間的關(guān)系。7.3慣性矩如圖所示截面,C為截面形心,A為其面積,zc軸和yc軸為形心軸,z軸與zc軸平行,且相距為a。y軸與yc軸平行,其間距離為b。相互平行的坐標(biāo)軸之間的關(guān)系可表示為

y=yc+a

z=zc+b

(a)

7.3慣性矩根據(jù)慣性矩的定義，截面圖形對(duì)形心軸zC、yC的慣性矩分別為（b）7.3慣性矩而截面圖形對(duì)z、y軸的慣性矩分別為(c)7.3慣性矩將（a）式代入（c）式并展開(kāi)，得上面式中第一項(xiàng)

是截面對(duì)形心軸zc的慣性矩Izc

7.3慣性矩第二項(xiàng)中是截面對(duì)軸zc的面積靜矩Szc，因軸zc是形心軸，故Szc=0第三項(xiàng)中是截面的面積7.3慣性矩因此，有公式（7-9）式（7-9）稱為慣性矩的平行移軸定理或平行移軸公式。它表明截面對(duì)任一軸的慣性矩，等于它對(duì)平行于該軸的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積。7.3慣性矩平行移軸定理在慣性矩的計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用。利用此公式可以根據(jù)截面對(duì)形心軸的慣性矩Izc、Iyc來(lái)計(jì)算截面對(duì)與形心軸平行的其它軸的慣性矩Iz、Iy或者進(jìn)行相反的運(yùn)算。從式（7-9）可知，因a2A及b2A均為正值，所以在截面對(duì)一組相互平行的坐標(biāo)軸的慣性矩中，以對(duì)形心軸的慣性矩最小。7.3慣性矩例7-4

用平行移軸定理計(jì)算如圖所示矩形對(duì)z與y軸的慣性矩Iy、Iz。7.3慣性矩解：前述矩形截面對(duì)形心軸zC、yC的慣性矩分別為7.3慣性矩應(yīng)用平行移軸公式（7-9）可得7.3慣性矩四、組合圖形的慣性矩的計(jì)算在工程實(shí)踐中，經(jīng)常遇到組合圖形，有時(shí)由矩形、圓形、三角形等幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，有時(shí)則由幾個(gè)型鋼截面組合而成。若一個(gè)組合圖形，總面積為A，由面積為A1、A2、A3三塊圖形組合而成，根據(jù)慣性矩定義可知7.3慣性矩所以組合圖形對(duì)某軸的慣性矩，必等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣性矩的和。簡(jiǎn)單圖形對(duì)本身形心軸的慣性矩可通過(guò)積分或查表求得，再應(yīng)用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。實(shí)際中常見(jiàn)的組合截面多具有一個(gè)或兩個(gè)對(duì)稱軸，這種對(duì)稱組合截面對(duì)形心主軸的慣性矩，是在彎曲等問(wèn)題中經(jīng)常用到的截面幾何性質(zhì)。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明其計(jì)算方法。7.3慣性矩例7-5

計(jì)算如圖所示T形截面對(duì)形心軸z、y的慣性矩。7.3慣性矩解：（1）求截面形心位置。由于截面有一根對(duì)稱軸y，故形心必在此軸上，即zc=0為求yc，先設(shè)z0軸如圖，則有7.3慣性矩（2）計(jì)算Iz、Iy。根據(jù)公式（7-10）整個(gè)截面對(duì)z、y軸的慣性矩應(yīng)等于兩個(gè)矩形對(duì)z、y軸慣性矩之和，即：Iz=I1z+I2z兩個(gè)矩形對(duì)本身形心軸的慣性矩分別為7.3慣性矩應(yīng)用平行移軸公式可得7.3慣性矩7.3慣性矩所以7.3慣性矩由于圖形對(duì)稱，y軸經(jīng)過(guò)矩形A1和A2的形心，所以7.3慣性矩例7-6

試計(jì)算如圖所示由兩根№20槽鋼組成的截面對(duì)形心軸z、y的慣性矩。7.3慣性矩解：組合截面有兩根對(duì)稱軸，形心C就在這兩對(duì)稱軸的交點(diǎn)。由附錄型鋼表查得每根槽鋼的形心C1或C2到腹板邊緣的距離為19.5mm，每根槽鋼截面積為：A1=A2=3.283×103mm2每根槽鋼對(duì)本身形心軸的慣性矩為7.3慣性矩整個(gè)截面對(duì)形心軸的慣性矩應(yīng)等于兩根槽鋼對(duì)形心軸的慣性軸之和，故得7.3慣性矩7.3慣性矩五、慣性半徑、極慣性矩1.慣性半徑上面介紹了慣性矩的定義。在工程實(shí)際應(yīng)用中，為方便起見(jiàn)，還經(jīng)常將慣性矩表示為截面面積A與某一長(zhǎng)度平方的乘積，即有公式（7-11）（7-11）7.3慣性矩式中，iy和iz

分別稱為截面對(duì)y軸或z軸的慣性半徑，單位為m。由公式（7-11）可知，慣性半徑可由截面的慣性矩和面積這兩個(gè)幾何量表示為公式（7-12）（7-12）7.3慣性矩寬為b、高為h的矩形截面，對(duì)其形心軸z及y的慣性半徑，可由式（7-12）計(jì)算得7.3慣性矩直徑為D的圓形截面，由于對(duì)稱，它對(duì)任一根形心軸的慣性半徑都相等。由（7-12）式算得7.3慣性矩2.極慣性矩如圖所示，將整個(gè)圖形上微面積dA與它到原點(diǎn)O距離（極半徑）

平方的乘積的總和，稱為該圖形對(duì)原點(diǎn)O的極慣性矩，用IP表示，即有公式（7-13）7.3慣性矩由圖可以看出，ρ、y、z之間,存在著下列關(guān)系：7.3慣性矩所以，由式（7-13）及式（7-8）可知即有公式（7-14）

（7-14）7.3慣性矩公式（7-14）上式說(shuō)明：截面對(duì)任一直角坐標(biāo)系中二坐標(biāo)軸的慣性矩之和，等于它對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。因此，盡管過(guò)一點(diǎn)可以作出無(wú)限多對(duì)直角坐標(biāo)軸，但是截面對(duì)其中任意一對(duì)直角坐標(biāo)軸的兩個(gè)慣性矩之和始終是不變的，且等于截面對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。7.3慣性矩例7-7計(jì)算圓形截面的極慣性矩。解：圓形的極慣性矩既可直接由（7-13）式積分計(jì)算，也可由（7-14）式利用慣性矩計(jì)算?，F(xiàn)分別用兩種方法計(jì)算如下：7.3慣性矩(1)根據(jù)公式（7-13）進(jìn)行積分計(jì)算如圖所示，取圓環(huán)作為微面積，代入（7-13）式，得:7.3慣性矩（2）根據(jù)式（7-14）計(jì)算，利用已知圓截面的慣性矩值計(jì)算由例7-3代入式（7-14）式得7.3慣性矩例7-8

如圖b所示，計(jì)算內(nèi)、外徑分別為d和D的空心圓的極慣性矩Ip。解：取

，則其中

，為空心圓的內(nèi)外徑之比。7.4慣性積主慣性矩一、慣性積如圖所示，我們將整個(gè)截面上微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積yzdA稱為微面積dA對(duì)y、z兩軸的微慣性積，而把微面積dA與它到y(tǒng)、z軸距離的乘積yzdA的總和，定義為截面對(duì)y、z軸的慣性積，用Iyz表示，得公式（7-15）：7.4慣性積主慣性矩由慣性積的定義可知，慣性積數(shù)值，可能為正、為負(fù)或?yàn)榱恪Ｋ膯挝皇莔4或mm4。7.4慣性積主慣性矩根據(jù)公式（7-15），如果截面具有一個(gè)（或一個(gè)以上）對(duì)稱軸，如圖所示，則對(duì)稱軸兩側(cè)微面積的zydA值大小相等，符號(hào)相反，這兩個(gè)對(duì)稱位置的微面積對(duì)z、y軸的慣性積之和等于零，推廣到整個(gè)截面，則整個(gè)截面的Iyz=0。這說(shuō)明，只要z、y軸之一為截面的對(duì)稱軸，該截面對(duì)兩軸的慣性積就一定等于零。7.4慣性積主慣性矩二、主慣性矩如圖所示，當(dāng)坐標(biāo)軸z、y軸繞其原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

角時(shí)，坐標(biāo)軸變?yōu)閦1、y1軸，截面對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)前后的