《函數(shù)極限與性質(zhì)》課件

函數(shù)極限與性質(zhì)課程目標(biāo)1理解函數(shù)極限的概念掌握函數(shù)極限的定義、存在條件、性質(zhì)和計(jì)算方法。2運(yùn)用極限的運(yùn)算規(guī)則熟練運(yùn)用極限的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算常見函數(shù)的極限。3掌握連續(xù)函數(shù)的概念和性質(zhì)理解連續(xù)函數(shù)的定義、性質(zhì)以及分類，并能判斷函數(shù)的連續(xù)性。4應(yīng)用函數(shù)極限和連續(xù)性將函數(shù)極限和連續(xù)性應(yīng)用于實(shí)際問題，例如求曲線切線、計(jì)算面積等。函數(shù)極限的定義定義當(dāng)自變量x趨近于某個(gè)值a時(shí)，函數(shù)值f(x)趨近于某個(gè)確定的值A(chǔ)，則稱函數(shù)f(x)在x趨近于a時(shí)有極限，記為：limx→af(x)=A意義描述了函數(shù)在自變量趨近于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)。它為研究函數(shù)在該點(diǎn)附近的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。函數(shù)極限存在的條件函數(shù)極限存在的必要條件左右極限相等函數(shù)極限不存在的例子左右極限不相等，例如sin(1/x)在x趨近于0時(shí)極限不存在函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性:當(dāng)函數(shù)極限存在時(shí)，該極限值是唯一的。保號(hào)性:如果函數(shù)在某點(diǎn)附近的值都大于零，則該點(diǎn)的極限也大于零。和差性:兩個(gè)函數(shù)的和或差的極限等于它們的極限的和或差。積性:兩個(gè)函數(shù)的積的極限等于它們的極限的積。極限的運(yùn)算規(guī)則常數(shù)與極限常數(shù)的極限等于它本身：limx→ac=c極限的加減法兩個(gè)函數(shù)的極限的和等于它們分別的極限的和：limx→a[f(x)±g(x)]=limx→af(x)±limx→ag(x)極限的乘法兩個(gè)函數(shù)的極限的積等于它們分別的極限的積：limx→a[f(x)·g(x)]=limx→af(x)·limx→ag(x)極限的除法兩個(gè)函數(shù)的極限的商等于它們分別的極限的商，前提是除數(shù)的極限不為零：limx→a[f(x)/g(x)]=limx→af(x)/limx→ag(x)(limx→ag(x)≠0)函數(shù)極限的計(jì)算方法1直接代入法直接將趨近的值代入函數(shù)表達(dá)式2因式分解法將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，消去零因子3等價(jià)無窮小替換法用等價(jià)無窮小替換函數(shù)中的某些部分4洛必達(dá)法則當(dāng)函數(shù)的極限為0/0或∞/∞時(shí)，可使用洛必達(dá)法則一些典型的極限計(jì)算極限的計(jì)算是函數(shù)極限研究中的重要環(huán)節(jié)。通過掌握一些典型的極限計(jì)算方法，我們可以有效地解決各種極限問題。常見的典型極限計(jì)算包括：無窮小量的極限分式函數(shù)的極限三角函數(shù)的極限指數(shù)函數(shù)的極限對(duì)數(shù)函數(shù)的極限函數(shù)極限的幾何意義函數(shù)極限的概念與圖形圖像緊密相連，它揭示了函數(shù)在自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)的趨勢(shì)。從幾何角度來看，函數(shù)極限描述了曲線在該點(diǎn)附近的趨勢(shì)。若函數(shù)在自變量趨于某一點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值趨于一個(gè)確定的數(shù)值，則稱該數(shù)值為函數(shù)在該點(diǎn)的極限。幾何上，這意味著曲線在該點(diǎn)附近無限接近于一條水平線，該水平線就是函數(shù)的極限值。函數(shù)極限的重要應(yīng)用微積分函數(shù)極限是微積分的基礎(chǔ)，用于定義導(dǎo)數(shù)、積分等基本概念。物理學(xué)函數(shù)極限用于描述物理量的變化趨勢(shì)，例如速度、加速度、能量等。經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)極限用于分析經(jīng)濟(jì)模型，例如市場(chǎng)均衡、價(jià)格變化、供求關(guān)系等。連續(xù)函數(shù)的定義定義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且lim(x→x0)f(x)=f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。直觀理解在點(diǎn)x0處，函數(shù)圖像沒有斷裂，可以“一筆畫”過去，即函數(shù)值的變化是“連續(xù)”的。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1介值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)≠f(b)，則對(duì)于介于f(a)和f(b)之間的任意實(shí)數(shù)y，必存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使得f(c)=y。2最大值最小值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必取得最大值和最小值。3零點(diǎn)定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(c)=0。間斷函數(shù)的分類可去間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)可以重新定義，使其連續(xù)。跳躍間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左右極限存在，但值不相等。無窮間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)為無窮大。間斷點(diǎn)的判定定義若函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)。類型間斷點(diǎn)可分為三類：可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和無窮間斷點(diǎn)。判定通過分析函數(shù)在該點(diǎn)左右極限是否存在，以及是否相等，來判斷間斷點(diǎn)的類型。初等函數(shù)的連續(xù)性多項(xiàng)式函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)有理函數(shù)在定義域內(nèi)除分母為零的點(diǎn)外，處處連續(xù)指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)函數(shù)連續(xù)如果內(nèi)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在該點(diǎn)也連續(xù)。外函數(shù)連續(xù)如果外函數(shù)在內(nèi)函數(shù)的函數(shù)值處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在該點(diǎn)也連續(xù)。函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)存在左右極限且相等，但函數(shù)值不存在或不等于左右極限。第二類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)存在左右極限，但左右極限不相等。無窮間斷點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)至少有一個(gè)極限為無窮大或負(fù)無窮大。連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)加減乘除兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的加減乘除運(yùn)算結(jié)果仍然是連續(xù)函數(shù)，前提是除數(shù)不為零。復(fù)合函數(shù)如果外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。單調(diào)函數(shù)的概念及其性質(zhì)1單調(diào)函數(shù)定義在定義域內(nèi)，函數(shù)值隨自變量單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的函數(shù)稱為單調(diào)函數(shù)。2單調(diào)遞增函數(shù)若對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量x1和x2，若x1小于x2則f(x1)小于f(x2)，則該函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)。3單調(diào)遞減函數(shù)若對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)自變量x1和x2，若x1小于x2則f(x1)大于f(x2)，則該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。單調(diào)函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)圖像分析利用單調(diào)性判斷函數(shù)圖像的走勢(shì)，幫助我們更直觀地理解函數(shù)的變化趨勢(shì)。方程求解單調(diào)性可以幫助我們確定方程解的存在性和唯一性，并為求解提供更有效的工具。最值問題單調(diào)函數(shù)在最值問題中發(fā)揮著重要作用，可以幫助我們快速找到函數(shù)的最大值或最小值。反函數(shù)的連續(xù)性單調(diào)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)的，那么它的反函數(shù)也是連續(xù)的.反函數(shù)的定義域反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域.連續(xù)性判定可以通過檢查反函數(shù)在定義域上的每個(gè)點(diǎn)是否連續(xù)來判斷反函數(shù)的連續(xù)性.反函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用對(duì)稱性反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.定義域和值域反函數(shù)的定義域等于原函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域等于原函數(shù)的定義域.導(dǎo)數(shù)關(guān)系反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).夾逼定理及其應(yīng)用1定義如果兩個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的極限相等，且第三個(gè)函數(shù)在這兩個(gè)函數(shù)之間，那么該函數(shù)的極限也存在，且等于這兩個(gè)函數(shù)的極限。2幾何意義夾逼定理的幾何意義是指，如果一個(gè)函數(shù)的圖形被兩個(gè)函數(shù)的圖形夾在中間，且這兩個(gè)函數(shù)的圖形在某一點(diǎn)趨于同一個(gè)極限，那么夾在中間的函數(shù)的圖形在該點(diǎn)也趨于同一個(gè)極限。3應(yīng)用夾逼定理可用于計(jì)算一些難以直接求極限的函數(shù)的極限，例如，當(dāng)函數(shù)的表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，或者當(dāng)函數(shù)的定義域不連續(xù)時(shí)。無窮大的概念及其性質(zhì)無窮大的概念當(dāng)一個(gè)變量的絕對(duì)值無限增大時(shí)，我們稱它為無窮大，并用符號(hào)∞表示。無窮大的性質(zhì)無窮大不是一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)無限增大的過程。無窮大之間可以比較大小，例如∞>1000。無窮小的概念及其性質(zhì)定義當(dāng)自變量趨于某一極限時(shí)，如果函數(shù)的值無限地趨近于零，那么這個(gè)函數(shù)稱為無窮小.性質(zhì)兩個(gè)無窮小的和仍是無窮小無窮小與有界函數(shù)的積仍是無窮小函數(shù)的極限與連續(xù)性的關(guān)系1連續(xù)是極限的特例當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)的極限等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值.2極限是連續(xù)的必要條件如果函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，那么函數(shù)在該點(diǎn)處一定存在極限.3極限存在不等于連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)處極限存在，并不一定意味著函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù).函數(shù)極限的應(yīng)用微積分求導(dǎo)數(shù)，求積分，研究函數(shù)的性質(zhì)，比如單調(diào)性、凹凸性等等。物理學(xué)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算物體的速度和加速度，以及研究物理量之間的關(guān)系。計(jì)算機(jī)科學(xué)在數(shù)值分析和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，函數(shù)極限可以用于逼近函數(shù)值，繪制曲線和表面等等。平面曲線及其切線平面曲線是連接多個(gè)點(diǎn)的軌跡，表示變化過程。切線是與曲線在某一點(diǎn)相切的直線，反映了曲線的瞬時(shí)變化趨勢(shì)。切線和曲線在該點(diǎn)方向一致，斜率相同，反映了曲線在該點(diǎn)的變化率。曲線的斜率與切線方程1求解切線斜率通過求導(dǎo)數(shù)來計(jì)算曲線在特定點(diǎn)的斜率。2構(gòu)建切線方程利用點(diǎn)斜式方程，將求得的斜率和曲線上該點(diǎn)坐標(biāo)代入