七年級數學絕對值專項習題及答案

例1求下列各數的絕對值：(1)－38；(2)0.15；(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．例2判斷下列各式是否正確(正確入“T”，錯誤入“F”)：(1)｜－a｜＝｜a｜；()(2)－｜a｜＝｜－a｜；()(4)若｜a｜＝｜b｜，則a＝b；()(5)若a＝b，則｜a｜＝｜b｜；()(6)若｜a｜＞｜b｜，則a＞b；()(7)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜；()(8)若a＞b，則｜b－a｜＝a－b．()例3判斷對錯．(對的入“T”，錯的入“F”)(1)如果一個數的相反數是它本身，那么這個數是0．()(2)如果一個數的倒數是它本身，那么這個數是1和0．()(3)如果一個數的絕對值是它本身，那么這個數是0或1．()(4)如果說“一個數的絕對值是負數”，那么這句話是錯的．()(5)如果一個數的絕對值是它的相反數，那么這個數是負數．()例4已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．例5填空：(1)若｜a｜＝6，則a＝______；(2)若｜－b｜＝0.87，則b＝______；(4)若x＋｜x｜＝0，則x是______數．例6判斷對錯：(對的入“T”，錯的入“F”)(1)沒有最大的自然數．()(2)有最小的偶數0．()(3)沒有最小的正有理數．()(4)沒有最小的正整數．()(5)有最大的負有理數．()(6)有最大的負整數－1．()(7)沒有最小的有理數．()(8)有絕對值最小的有理數．()例7比較下列每組數的大小，在橫線上填上適當的關系符號(“＜”“＝”“＞”)(1)｜－0.01｜______－｜100｜；(2)－(－3)______－｜－3｜；(3)－[－(－90)]_______0；(4)當a＜3時，a－3______0；｜3－a｜______a－3．例8在數軸上畫出下列各題中x的范圍：(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．例9(1)求絕對值不大于2的整數；(2)已知x是整數，且2.5＜|x|＜7，求x．例10解方程：已知｜14－x｜＝6，求x；*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．*例11化簡｜a＋2｜－｜a－3｜1，解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；說明：分類討論是數學中的重要思想方法之一，當絕對值符號內的數(用含字母的式子表示時)無法判斷其正、負時，要化去絕對值符號，一般都要進行分類討論．分析：判斷上述各小題正確與否的依據是絕對值的定義，所以思維應集中到用絕對值的定義來判斷每一個結論的正確性．判數(或證明)一個結論是錯誤的，只要能舉出反例即可．如第(2)小題中取a＝1，則－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小題中取a＝－1，b＝0，在第(4)、(7)小題中取a＝5，b＝－5等，都可以充分說明結論是錯誤的．要證明一個結論正確，須寫出證明過程．如第(3)小題是正確的．證明步驟如下：此題證明的依據是利用｜a｜的定義，化去絕對值符號即可．對于證明第(1)、(5)、(8)小題要注意字母取零的情況．2，解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小題不正確，(1)、(3)、(5)、(8)小題是正確的．說明：判斷一個結論是正確的與證明它是正確的是相同的思維過程，只是在證明時需要寫明道理和依據，步驟都要較為嚴格、規(guī)范．而判斷一個結論是錯誤的，可依據概念、性質等知識，用推理的方法來否定這個結論，也可以用舉反例的方法，后者有時更為簡便．3，解：(1)T．(2)F．－1的倒數也是它本身，0沒有倒數．(3)F．正數的絕對值都等于它本身，所以絕對值是它本身的數是正數和0．(4)T．任何一個數的絕對值都是正數或0，不可能是負數，所以這句話是錯的．(5)F．0的絕對值是0，也可以認為是0的相反數，所以少了一個數0．說明：解判斷題時應注意兩點：(1)必須“緊扣”概念進行判斷；(2)要注意檢查特殊數，如0，1，－1等是否符合題意．分析：根據平方數與絕對值的性質，式中(a－1)2與｜b＋3｜都是非負數．因為兩個非負數的和為“0”，當且僅當每個非負數的值都等于0時才能成立，所以由已知條件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．4，解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0∴a－1＝0且b＋3＝0∴a＝1，b＝－3．說明：對于任意一個有理數x，x2≥0和｜x｜≥0這兩條性質是十分重要的，在解題過程中經常用到．分析：已知一個數的絕對值求這個數，則這個數有兩個，它們是互為相反數．5，解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；(4)∵x＋｜x｜＝0，∴｜x｜＝－x．∵｜x｜≥0，∴－x≥0∴x≤0，x是非正數．說明：“絕對值”是代數中最重要的概念之一，應當從正、逆兩個方面來理解這個概念．對絕對值的代數定義，至少要認識到以下四點：6，解：(1)T．(2)F．數的范圍擴展后，偶數的范圍也隨之擴展．偶數包含正偶數，0，負偶數(－2，－4，…)，所以0不是最小的偶數，偶數沒有最小的．(3)T．(4)F．有最小的正整數1．(5)F．沒有最大的負有理數．(6)T．(7)T．(8)T．絕對值最小的有理數是0．分析：比較兩個有理數的大小，需先將各數化簡，然后根據法則進行比較．7，解：(1)｜－0.01｜＞－｜100｜；(2)－(－3)＞－｜－3｜；(3)－[－(－90)]＜0；(4)當a＜3時，a－3＜0，｜3－a｜＞a－3．說明：比較兩個有理數大小的依據是：①在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，正數大于0，大于一切負數，負數小于0，小于一切正數，兩個負數，絕對值大的反而?。趦蓚€正分數，若分子相同則分母越大分數值越??；若分母相同，則分子越大分數值越大；也可將分數化成小數來比較．分析：根據絕對值的幾何意義畫圖．例如，｜x｜≥4的幾何意義是：數軸上與原點的距離大于或等于4個單位長度的點的集合；｜x｜＜3的幾何意義是：數軸上與原點的距離小于3個單位長度的點的集合．8，解：(1)｜x｜≥4，即數軸上x對應的點到原點的距離大于或等于4，如圖1．∴當x＞0時，有x≥4；當x＜0時，有x≤－4．(2)｜x｜＜3，即數軸上x對應的點到原點的距離小于3，如圖2．即有－3＜x＜3．(3)2＜｜x｜≤5，即數軸上x所對應的點到原點的距離比2大且小于或等于5，如圖3．即－5≤x＜－2或2＜x≤5．說明：在數軸上表示含絕對值的不等式時，最容易錯的是忘記或畫錯原點左邊(負半軸上)符合條件的點的范圍．應當認真研究負數部分符合條件的點的范圍的畫法，并真正做到“理解”．分析：(1)求絕對值不大于2的整數，就是求數軸上與原點的距離小于或等于2個單位長度的整數點．(2)因為2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是絕對值小于7同時絕對值又大于2.5的整數，所以，依絕對值定義應該是滿足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整數．9，解：(1)先畫出數軸上與原點的距離小于或等于2的點的范圍．由圖看出，絕對值不大于2的整數是：－2，－1，0，1，2(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整數，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整數．由圖看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整數是：x＝±3，±4，±5，±6．說明：因為絕對值概念課本上從幾何與代數兩個角度都給出了定義，所以在解含絕對值的問題時要注意靈活運用這兩個定義．此題也可以用代數定義求解．根據絕對值的幾何定義，用數形結合的思想，把有關絕對值的問題轉化為數軸上的點與原點的距離問題來解決，是經常采用的方法．分析：解簡單的含有絕對值符號的方程，一般都根據絕對值的代數定義，先化去絕對值符號，然后求解．(2)題需把原方程轉化為｜x＋1｜＝2x－4的形式后，才便于應用絕對值的代數定義．10，解：(1)∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6∴x－14＝±6當x－14＝6時，x＝20；當x－14＝－6時，x＝8．∴x＝20或8．(2)∵｜x＋1｜＋4＝2x∴｜x＋1｜＝2x－4∵｜x＋1｜≥0，∴2x－4≥0，x≥2．∵x≥2，∴x＋1＞0，｜x＋1｜＝x＋1．原方程變形為x＋1＋4＝2x∴x＝5．分析：要化簡此式，關鍵是依據絕對值定義判斷好絕對值符號內a＋2和a－3在a取不同數值時它們的符號情況，才能正確地轉化為不含絕對值的式子．為了能達到此目的，首先應判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0時a的取值，即a＝－2和a＝3，由此可知，a的取值可分為三種情況：即a＜－2，－2≤a＜3，a≥3．這時｜a＋2｜和｜a－3｜就可依絕對值定義分別得到不同的去掉絕對值符號后的新形式了．11，解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0得a＝－2或a＝3．－2和3把數軸分為三部分(如圖)：當a＜－2時，原式＝－(a＋2)－[－(a－3)]＝－a－