2-2-2-不等式的解集(人教B版2019必修第一冊(cè))

2.2.2

不等式的解集知識(shí)點(diǎn)一、不等式的解集與不等式組的解集1.思考方程的解與方程的解集是一樣嗎?提示:不一樣.方程的解集是方程的解構(gòu)成的集合.2.填空一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來(lái)說(shuō),這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.3.做一做

答案:A問(wèn)題1回答下列問(wèn)題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究不等式的解集．（2）起點(diǎn)是不等式的性質(zhì)以及初中學(xué)過(guò)的不等式的解，目標(biāo)是掌握不等式組解集的方法；會(huì)借助數(shù)軸解決簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問(wèn)題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？情境與問(wèn)題問(wèn)題2什么叫不等式的解？如何解不等式？能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解．解不等式的過(guò)程中要不斷地使用不等式的性質(zhì)．新知探究問(wèn)題3什么叫絕對(duì)值？絕對(duì)值的意義是什么？一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．例如，|x|＞3，|x－1|≤2都是絕對(duì)值不等式．追問(wèn)1：你能給出|x|＞3的解集嗎？新知探究根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，|x|＞3等價(jià)于

或

，即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）．追問(wèn)2：如何利用絕對(duì)值的幾何意義求解不等式|x|＞3？新知探究不等式|x|＞3的解集也可由絕對(duì)值的幾何意義得到：因?yàn)閨x|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，所以數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|x|＞3的解集，從而由下圖可知所求解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）．12345-1-2-3-40x追問(wèn)3：試總結(jié)出m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m和|x|≤m的解集．新知探究用類似方法可知，當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m的解為x＞m或x＜－m，因此解集為（－∞，－m）∪（m，＋∞）；關(guān)于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m]．追問(wèn)4：你能給出|a－1|≤2的解集嗎？新知探究如果將a－1當(dāng)成一個(gè)整體，比如令x＝a－1，則因此|a－1|≤2的解集可以通過(guò)求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集為[－1，3]．|a－1|≤2?|x|≤2，（2）|x－1|＋|x－2|≥3；不等式|x|＞3的解集也可由絕對(duì)值的幾何意義得到：因?yàn)閨x|是數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，所以數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|x|＞3的解集，從而由下圖可知所求解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）．能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解．解不等式的過(guò)程中要不斷地使用不等式的性質(zhì)．（2）什么叫絕對(duì)值不等式？如何解絕對(duì)值不等式？（1）本節(jié)將要研究不等式的解集．（2）起點(diǎn)是不等式的性質(zhì)以及初中學(xué)過(guò)的不等式的解，目標(biāo)是掌握不等式組解集的方法；關(guān)于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m]．會(huì)借助數(shù)軸解決簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)．（2）|ax＋b|＜c?－c＜ax＋b＜c．追問(wèn)5：如何利用|a－1|的幾何意義，得出不等式|a－1|≤2的解集？所以，回顧本節(jié)課，你有什么收獲？根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，|x|＞3等價(jià)于或，（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（3）兩點(diǎn)間的距離公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（4）|x－1|＋|x－2|＜．追問(wèn)5：如何利用|a－1|的幾何意義，得出不等式|a－1|≤2的解集？新知探究當(dāng)a＝－2時(shí)，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在數(shù)軸上，表示－2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是3；當(dāng)a＝3時(shí)，|a－1|＝|3－1|＝2，而且在數(shù)軸上，表示3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是2．因此，如果數(shù)軸上表示a的點(diǎn)為A，表示1的點(diǎn)為B，則A，B之間的距離為|a－1|，如下圖所示．12345-1-2-3-40aABx追問(wèn)5：如何利用|a－1|的幾何意義，得出不等式|a－1|≤2的解集？新知探究這樣一來(lái)，數(shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離小于或等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因?yàn)閿?shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－1和3，因此由上圖可知|a－1|≤2的解集為[－1，3]．新知探究一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A（a），B（b），則線段AB的長(zhǎng)為AB＝|a－b|．這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．更進(jìn)一步，如果線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：當(dāng)a＜b時(shí)，有a＜x＜b，從而x－a＝b－x，所以

，當(dāng)a≥b時(shí)，類似可得上式仍成立．這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．新知探究例1求不等式組

的解集．解：①式兩邊同時(shí)加上一1，得2x≥－10，得x≥－5，因此①的解集為[－5，＋∞）．類似地，可得②的解集為（－∞，－3）．又因?yàn)閇－5，＋∞）∩（－∞，－3）＝[－5，－3），以原不等式組的解集為[－5，－3）．這個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以

，新知探究方法總結(jié)：（1）解不等式時(shí)一定要注意同解變形；（2）去分母時(shí)，不等式兩端每一項(xiàng)均乘以最簡(jiǎn)公分母；（3）系數(shù)化成1時(shí)，如果兩端乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變；（4）在求不等式組的解集即求幾個(gè)不等式的交集時(shí)，可以借助數(shù)軸來(lái)求解；（5）寫解集時(shí)要特別注意端點(diǎn)是否能取到．新知探究例2設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A與數(shù)3對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與數(shù)x對(duì)應(yīng)，已知線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍．解：因?yàn)锳B的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為

，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范圍是[－13，7]．所以由題意可知

≤5新知探究方法總結(jié)：一般地，當(dāng)c＞0時(shí)，（1）|ax＋b|＞c?ax＋b＞c或ax＋b＜－c；（2）|ax＋b|＜c?－c＜ax＋b＜c．思考：若去掉c＞0，結(jié)論是否仍成立？能成立！新知探究例3求下列不等式的解集：（1）|x－1|＋|x－2|＜5；（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（3）|x－1|＋|x－2|＞

；（4）|x－1|＋|x－2|＜

．即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集為（－∞，－3）∪（3，＋∞）．解：（1）x＞2時(shí)，原不等式化為x－1＋x－2＜5，|a－1|≤2?|x|≤2，則x＞－1，所以－1＜x＜1．以原不等式組的解集為[－5，－3）．當(dāng)a≥b時(shí)，類似可得上式仍成立．這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．當(dāng)a＝－2時(shí)，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在數(shù)軸上，表示－2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是3；這樣一來(lái)，數(shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離小于或等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因?yàn)閿?shù)軸上與表示1的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－1和3，因此由上圖可知|a－1|≤2的解集為[－1，3]．關(guān)于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m]．（2）|x－1|＋|x－2|≥3；（2）什么叫絕對(duì)值不等式？如何解絕對(duì)值不等式？因此|a－1|≤2的解集可以通過(guò)求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集為[－1，3]．問(wèn)題1閱讀課本第64～67頁(yè)，回答下列問(wèn)題：思考：若去掉c＞0，結(jié)論是否仍成立？（2）|x－1|＋|x－2|≥3；用類似方法可知，當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m的解為x＞m或x＜－m，因此解集為（－∞，－m）∪（m，＋∞）；新知探究解：（1）x＞2時(shí)，原不等式化為x－1＋x－2＜5，則x＜4，所以2＜x＜4；1≤x≤2時(shí)，原不等式化為x－1－（x－2）＜5，即1＜5，所以1≤x≤2；x＜1時(shí)，原不等式化為－（x－1）－（x－2）＜5，則x＞－1，所以－1＜x＜1．綜上：原不等式的解集為（－1，4）．新知探究法二：利用絕對(duì)值的幾何意義求解：設(shè)P（x），A（1），B（2），原不等式表示數(shù)軸上點(diǎn)P到兩點(diǎn)A、B的距離和小于5的點(diǎn)P的坐標(biāo)范圍，畫出數(shù)軸可知，到A、B兩點(diǎn)的距離和為5的點(diǎn)為C（－1）、D（4），當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB內(nèi)時(shí)滿足不等式，所以－1＜x＜4，所以原不等式的解集為（－1，4）．12345-1-2-3-40ABxDC數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo)公式1.填空(1)距離公式:一般地,如果實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,即A(a),B(b),則線段AB的長(zhǎng)為AB=|a-b|.(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式:A(a),B(b),線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,則2.做一做若A(5),B(7),則AB=

,AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為

.

答案:2

6不等式組的解集例4解不等式組,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái):分析:分別求出各不等式的解集,再求出各個(gè)解集的交集,并在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.解:(1)解不等式2x+3>1,得x>-1,解不等式x-2<0,得x<2,則不等式組的解集為{x|-1<x<2}.將解集表示在數(shù)軸上如下:解不等式x+8<4x-1,得x>3,則不等式組的解集為{x|x>3},將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下:反思感悟

一元一次不等式組的求解策略熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵.延伸探究

求出例1(1)中所有整數(shù)解.解:因?yàn)椴坏仁浇M的解集為{x|-1<x<2},所以其整數(shù)解為0,1.解絕對(duì)值不等式例5解不等式3≤|x-2|<4.分析:此題的不等式屬于絕對(duì)值的連不等式,求解時(shí)可將其化為絕對(duì)值的不等式組再求解.解:原不等式等價(jià)于由①,得x-2≤-3,或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.由②,得-4<x-2<4,∴-2<x<6.如圖所示,原不等式的解集為{x|-2<x≤-1,或5≤x<6}.例6解不等式:|x+7|-|x-2|≤3.分析:利用分類討論思想脫去絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行求解.解:方法一:|x+7|-|x-2|可以看成數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)(坐標(biāo)為x)到-7對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離與到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離的差,先找到這個(gè)差等于3的點(diǎn),即x=-1(如圖所示).從圖易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解為x≤-1,即x∈(-∞,-1].方法二:令x+7=0,x-2=0,得x=-7,x=2.①當(dāng)x<-7時(shí),不等式變?yōu)?x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x<-7.②當(dāng)-7≤x≤2時(shí),不等式變?yōu)閤+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,∴-7≤x≤-1.③當(dāng)x>2時(shí),不等式變?yōu)閤+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x∈?.∴原不等式的解集為(-∞,-1].方法三:將原不等式轉(zhuǎn)化為|x+7|-|x-2|-3≤0,構(gòu)造函數(shù)y=|x+7|-|x-2|-3,即作出函數(shù)的圖象(如圖),從圖可知,當(dāng)x≤-1時(shí),有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,∴原不等式的解集為(-∞,-1].反思感悟

含有絕對(duì)值的不等式的解題策略解含有絕對(duì)值的不等式,總的思路是同解變形為不含絕對(duì)值的不等式,但要根據(jù)所求不等式的結(jié)構(gòu),選用恰當(dāng)?shù)姆椒?此題中有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào),故可用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求解,或用分區(qū)間討論法求解,還可構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象求解.數(shù)軸上的基本公式及應(yīng)用例4已知數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為A(-1),B(3),P(x).(1)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離都是2時(shí),求P(x),此時(shí)P與線段AB是什么關(guān)系?(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)P(x),使得P到A和B的距離都是3?若存在,求P(x),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.分析:根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.解得x=1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1),此時(shí)P為AB的中點(diǎn).(2)不存在這樣的P(x),理由如下:∵AB=|1+3|=4<6,∴在線段AB上找一點(diǎn)P使|PA|+|PB|=3+3=6是不可能的.反思感悟

數(shù)軸上基本公式的應(yīng)用(1)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩點(diǎn)間的距離公式求距離,若已知兩點(diǎn)間的距離,也可用距離公式求相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以解決三點(diǎn)共線問(wèn)題.其中已知兩點(diǎn)坐標(biāo),可用公式求第三點(diǎn)的坐標(biāo).分類討論或數(shù)軸法比較大小

當(dāng)堂練習(xí)1.在數(shù)軸上從點(diǎn)A(-