2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練(新高考專用)重難點02不等式恒成立、能成立問題【七大題型】(原卷版)

重難點02不等式恒成立、能成立問題【七大題型】【新高考專用】一元二次不等式是高考中的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，“含參不等式恒成立與能成立問題”是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，高考復(fù)習(xí)過程中要注重知識與方法的靈活運用.【知識點1不等式恒成立、能成立問題】1．一元二次不等式恒成立、能成立問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立問題的求解方法(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).①若ax2+bx+c>0恒成立，則有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，則有a<0，且△<0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).3．給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.4．常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：(1)對任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若對任意x∈[m,n]，a>f(x)無解a≤f(x)min.(2)對任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若對任意x∈[m,n]，a<f(x)無解a≥f(x)max.【題型1一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題】【例1】（2024·江西九江·模擬預(yù)測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（

）A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【變式1-1】（2024·山東濰坊·一模）“b∈?2,2”是“?x∈R，x2?bx+1≥0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（24-25高一上·吉林長春·階段練習(xí)）對于任意的x∈R，不等式mx2+m?1A．m<0 B．m<?13 C．?1【變式1-3】（24-25高一上·貴州六盤水·期中）若關(guān)于x的不等式a?1x2+a?1x?1<0對一切實數(shù)xA．?3,1 B．?3,1C．?∞,?3∪【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立問題】【例2】（2024·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式2-1】（24-25高一上·北京大興·期中）若不等式x2?(a+2)x+2a≤0對任意的x∈[?1,1]恒成立，則a的取值范圍是（A．[?1,1] B．[?1,+∞) C．[?1,2] 【變式2-2】（24-25高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）對任意的14≤x≤1，關(guān)于x的不等式a+2x2?4x+1≥0A．a(chǎn)≥?2 B．a(chǎn)≥32 C．a(chǎn)≥2 【變式2-3】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【題型3給定參數(shù)范圍的不等式恒成立問題】【例3】（24-25高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知m∈?1,1，不等式x2+m?4x+4?2m>0A．?∞,1 B．1,3 C．?∞【變式3-1】（23-24高一上·山東淄博·階段練習(xí)）若命題“??1≤a≤3，ax2?2a?1x+3?a<0A．x?1≤x≤4 B．C．x?1≤x≤0或5【變式3-2】（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）當(dāng)1≤m≤2時，mx2?mx?1<0恒成立，則實數(shù)xA．1?B．1?C．1?D．1?【變式3-3】（23-24高一下·河南濮陽·期中）已知當(dāng)?1≤a≤1時，x2+a?4x+4?2a>0恒成立，則實數(shù)A．?∞,3 C．?∞,1 【題型4一元二次不等式在實數(shù)集上有解問題】【例4】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)x，使得mx2?m?2x+m<0A．?∞,2 C．?∞,2【變式4-1】（23-24高三上·山東青島·期末）若命題“?x∈R，1?ax2+1?2aA．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)>1C．a(chǎn)≤?32或a≥3【變式4-2】（23-24高一上·山東臨沂·階段練習(xí)）若不等式?x2+ax?1>0有解，則實數(shù)aA．a(chǎn)<?2或a>2 B．?2<a<2 C．a(chǎn)≠±2 D．1<a<3【變式4-3】（24-25高一上·河北石家莊·期中）若存在x∈R，使得不等式4x?mx2?2x+3≥2成立，則實數(shù)A．m|m≥2 B．m|m<0 C．m|m≤2 D．m|m<2【題型5一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】【例5】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式x2?6x+2?a>0在區(qū)間0,5內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（A．2,+∞ B．?∞,5 C．?【變式5-1】（24-25高一上·山東德州·期中）若?x∈?1,4，使x2?4x+1?m≥0成立，則實數(shù)mA．?∞,6 B．?∞,1 C．【變式5-2】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）若存在x∈0,1,有x2+1?ax+3?a>0成立，則實數(shù)aA．?∞,52C．52,3【變式5-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 【題型6基本不等式求解恒成立、有解問題】【例6】（24-25高一上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知x>0，y>0且4x+y=xy.若x+y>m2+8m恒成立，則實數(shù)mA．m12<m<3C．mm>1 D．【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=1A．{m∣?1≤m≤4} B．{m∣m<0C．{m∣?4<m<1} D．{m∣m<?1或m>4}【變式6-2】（23-24高二上·廣東深圳·期末）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=xy，且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．?1<m<4 B．?4<m<1C．m<?4或m>1 D．m<?3或m>0【變式6-3】（23-24高一下·江蘇·開學(xué)考試）已知a>0，b∈R，若x>0時，關(guān)于x的不等式ax?2x2+bx?4≥0A．2 B．25 C．4 D．【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】【例7】（24-25高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3x2?2ax?b(1)若不等式f(x)≤0的解集是{x∣0≤x≤6}，求ab(2)若b=3a，對任意x∈R，都有f(x)≥0成立，且存在x∈R，使得f(x)≤2?2【變式7-1】（24-25高一上·江西南昌·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)f(x)=x(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若?x∈R，f(x)>mx恒成立，求m(3)若?x∈(3,+∞)，(x?1)2【變式7-2】（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>m(x(1)是否存在實數(shù)m，使不等式對任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于m∈?2,2恒成立，求實數(shù)x(3)若不等式對x∈[2,+∞)有解，求【變式7-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x一、單選題1．（2024·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<23．（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若?x∈12,2，使得3x2A．72 B．23 C．4 4．（2024·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．6．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）若正實數(shù)x,y滿足x+2y=4，不等式m2+13m>A．(?43,C．(?1,43)7．（2024·寧夏中衛(wèi)·二模）已知點A(1,4)在直線xa+yb=1a>0,b>0上，若關(guān)于t的不等式A．?6,1 B．?1,6C．?∞,?1∪8．（2024·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0a≠0有實數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)x1，x2是ρ的兩個解，則對于任意的x1，x2，不等式x1+xA．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立二、多選題9．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若對于任意實數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．110．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關(guān)于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則11．（24-25高一上·湖北·期中）下列說法正確的有（

）A．當(dāng)x∈R時，不等式kx2?kx+1>0恒成立，則B．x2?kx+k?1<0在1,2上恒成立，則實數(shù)kC．當(dāng)x>0時，不等式x2?ax+16>0恒成立，則實數(shù)aD．若不等式x2?ax+4≥0對任意x∈1,3恒成立，則實數(shù)三、填空題12．（2024·河北·模擬預(yù)測）若?x∈R，ax2+ax+a?3<0，則a的一個可取的正整數(shù)值為13．（2024·遼寧·三模）若“?x∈0,+∞，使x2?ax+4<0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為14．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）?x∈R，關(guān)于x的一元二次不等式x2?2x+a>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是四、解答題15．（24-25高一上·貴州黔東南·期中）已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=2x(1)當(dāng)a=3時，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≥0對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)a16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x?a，且f(1)求a和b的值；(2)若fx≤x?t在?1,017．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知二次