高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)的綜合運用 》專項測試卷（含答案）

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)的綜合運用》專項測試卷（含答案）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1、【2022年全國乙卷】已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax?ex2、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．3、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．4、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．5、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（理））8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.6、【2022年全國甲卷】已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,7、【2022年全國乙卷】已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+題組一、函數(shù)的零點、極值點的綜合性問題1-1、（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）（多選題）設(shè)函數(shù)fx=xlnA．不等式gx>0的解集為B．函數(shù)在0,e單調(diào)遞增，在e,+C．當(dāng)x∈1e,1D．若函數(shù)Fx=f1-2、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．1-3、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求a的值．題組二、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式及證明問題2-1、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)校考一模）已知函數(shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，證明：.2-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實數(shù)；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為，證明：.2-3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)圖象恰與函數(shù)圖象相切，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，設(shè)點，，證明：、兩點連線的斜率.2-4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．題組三、利用導(dǎo)數(shù)研究含參問題3-1、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3-2、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎瘮?shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.3-3、（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點．(1)求函數(shù)的圖像在點處的切線在x軸上的截距；(2)求c與a的函數(shù)關(guān)系；(3)當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點時，若對任意，不等式恒成立．求實數(shù)k的最值．1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)函數(shù).(1)若曲線在點處的切線斜率為，求的值；(2)若存在兩個極值點，且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┮阎?1)求證：當(dāng)x>0時，(2)若不等式，（其中）恒成立時，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，t]，求證：．3、（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的兩個不同極值點分別為，（）.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.4、（2023·四川廣安·四川省廣安友誼中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線斜率為，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有且僅有三個不同的零點，分別設(shè)為（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證：．參考答案1、【2022年全國乙卷】已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax?ex【答案】1【解析】解：f'因為x1,x所以函數(shù)fx在?∞,x1所以當(dāng)x∈?∞,x1∪x若a>1時，當(dāng)x<0時，2lna?a故a>1不符合題意，若0<a<1時，則方程2lna?a即方程lna?ax即函數(shù)y=lna?a∵0<a<1,∴函數(shù)y=a又∵lna<0,∴y=lna?ax的圖象由指數(shù)函數(shù)設(shè)過原點且與函數(shù)y=gx的圖象相切的直線的切點為x則切線的斜率為g'故切線方程為y?ln則有?lna?a則切線的斜率為ln2因為函數(shù)y=lna?a所以eln2a<又0<a<1，所以1e綜上所述，a的范圍為1e2、【2021年新高考2卷】已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【解析】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：3、（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷）1．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時，．【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當(dāng)時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時，恒成立，證畢.4、（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當(dāng)時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為5、（2023年全國乙卷數(shù)學(xué)（理））8．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見解析.(3).【詳解】（1）當(dāng)時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當(dāng)，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當(dāng)時，由可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當(dāng)時，，單調(diào)減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時，，從而有，所以，令得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.6、【2022年全國甲卷】已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞f'(x)=(令f(x)=0,得x=1當(dāng)x∈(0,1),f當(dāng)x∈(1,+∞),f若f(x)≥0,則e+1?a≥0,即所以a的取值范圍為(?(2)由題知,f(x)一個零點小于1,一個零點大于1不妨設(shè)x要證x1x因為x1,因為f(x1即證e即證e下面證明x>1時，e設(shè)g(x)=e則g=(1?設(shè)φ(x)=所以φ(x)>φ(1)=e,而所以exx所以g(x)在(1,+∞即g(x)>g(1)=0,所以e令?(x)=?所以?(x)在(1,+∞即?(x)<?(1)=0,所以lnx?綜上,exx?x7、【2022年全國乙卷】已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=fx在點0,f(2)若fx在區(qū)間?1,0,0,+【解析】(1)f(x)的定義域為(?1,+當(dāng)a=1時,f(x)=ln(1+x)+xex所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x(2)f(x)=設(shè)g(x)=1°若a>0,當(dāng)x∈(?1,0),g(x)=e所以f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(?1,0)上沒有零點,不合題意2°若?1?a?0,當(dāng)x∈(0,+∞所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a?0所以f(x)在(0,+∞)故f(x)在(0,+∞3°若(1)當(dāng)x∈(0,+∞),則g'(x)=ex所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f當(dāng)x∈(0,m),f當(dāng)x∈(m,+∞所以當(dāng)x∈(0,m),f(x)<f(0)=0當(dāng)x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)沒有零點,即f(x)在(0,+∞(2)當(dāng)x∈(?1,0),g(x)=設(shè)?(x)=所以g'(x)在(?1,0)所以存在n∈(?1,0),使得g當(dāng)x∈(?1,n),g當(dāng)x∈(n,0),g'又g(?1)=所以存在t∈(?1,n),使得g(t)=0,即f當(dāng)x∈(?1,t),f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(t,0),f(x)單調(diào)遞減有x→?1,f(x)→?而f(0)=0,所以當(dāng)x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(?1,t)上有唯一零點,(t,0)上無零點即f(x)在(?1,0)上有唯一零點所以a<?1,符合題意所以若f(x)在區(qū)間(?1,0),(0,+∞)各恰有一個零點,求a題組一、函數(shù)的零點、極值點的綜合性問題1-1、（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）（多選題）設(shè)函數(shù)fx=xlnA．不等式gx>0的解集為B．函數(shù)在0,e單調(diào)遞增，在e,+C．當(dāng)x∈1e,1D．若函數(shù)Fx=f【答案】ACD【解析】由題意得f'(x)=對于A：由g(x)=lnx+1x>0，可得lnx>?1對于B：g'(x)=1x?x?(所以當(dāng)時，g'(x)>0，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(1,+∞)時，g'對于C：當(dāng)x∈1e,1時，若f所以xlnx?ln令?(x)=x則?'?″當(dāng)x∈1e,1時，?又?'(1)=0+1?1=0，所以?'所以?(x)=x又?(x)max=?1e所以當(dāng)x∈1e,1對于D：若函數(shù)Fx則F'(x)=lnx+1?2ax=0有兩個根，即令m(x)=lnx+1x所以當(dāng)時，m'(x)>0，函數(shù)m(x)當(dāng)x∈(1,+∞)時，m'又當(dāng)時，m(x)→?∞，當(dāng)時，m(x)→0，m(1)=1，所以2a∈(0,1)，解得a∈0,故選：ACD1-2、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最大值；（2）由可得出，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.（2）解：函數(shù)的定義域為，由可得，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，令，其中，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，則存在，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，故實數(shù)的取值范圍是.1-3、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知函數(shù)．(1)證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求a的值．【解析】(1)證明：∵，∴．∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．又，令，，則在上單調(diào)遞減，，故．令，則，所以函數(shù)在上存在唯一的零點．(2)解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）．函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)通增；∴，由（*）式得．∴，顯然是方程的解，又∵是單調(diào)遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為題組二、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式及證明問題2-1、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足，證明：.【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)由題意可得在上恒成立，令，求導(dǎo)，分、討論在上恒成立即可；(2)由可得，由（1）知，即有，①，令，求導(dǎo)得當(dāng)時，，即有，于是得以，代入①式中化簡即可得證.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時，，令，，所以在上遞增，即，所以在上恒成立，符合題意；當(dāng)時，，，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在唯一使得，所以當(dāng)時，，在遞減，即，，不符合題意；綜上所述；（2）證明：，當(dāng)時，由（1）可知是增函數(shù)，所以，設(shè)，，移項得，由（1）知，即，所以，即，①設(shè)，，所以當(dāng)時，，即，所以，即，所以，代入①式中得到，即，所以，命題得證.2-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實數(shù)；(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為，證明：.【答案】(1)；(2)見解析【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)分別討論兩個函數(shù)的單調(diào)性和最值即可求解；(2)構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性討論函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)分類討論對應(yīng)方程根的個數(shù)和分布證明.【詳解】（1），令.有最大值，且在上單調(diào)遞增上單調(diào)遞減，.時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，.（2）由，由，令,當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，至多兩個零點，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；至多兩個零點.令，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，由，設(shè)，，所以當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，且，所以，設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，方程無解，當(dāng)時，由在上單調(diào)遞增，方程有唯一解，當(dāng)時，注意到，設(shè)，對恒成立，所以，所以當(dāng)時，，即，因為，所以，，所以，所以，在和上各有一個零點，示意圖如下注意到，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，即有，在和上各有一個零點.且由，而，而在上單調(diào)遞增，由，由，而而在上單調(diào)遞減，由，于是得，，證畢2-3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，.(1)若函數(shù)圖象恰與函數(shù)圖象相切，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個極值點，，設(shè)點，，證明：、兩點連線的斜率.【答案】(1)1；(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)切點為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）由有兩個極值點，可得有兩個不等的正根，且，可得，要證：，即證.令證，進而構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解即可；【詳解】（1）設(shè)與切于，由，則，所以，則，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以.（2）解法一：由，所以，因為有兩個極值點，，即有兩個不等的正根，且，，要證：，即證.不妨設(shè)，即證：，即證：，令證令，在上，證畢!解法二：因為，所以，令，則，因為函數(shù)有兩個極值點，所以，解得.所以，所以的斜率.令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，.不妨設(shè)，令，則，所以，即，證畢!2-4、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)；(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.題組三、利用導(dǎo)數(shù)研究含參問題3-1、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先判斷在上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性解不等式得解；（2）等價于對恒成立，令，利用二次求導(dǎo)對分類討論求函數(shù)的最大值得解.【詳解】（1）解：，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得在上單調(diào)遞增，由得，即.（2）解：對恒成立令，，，在上單調(diào)遞減，，若，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，符合題意.若，即時，（i）若，則，在上單調(diào)遞增，這與題設(shè)矛盾，舍去.（ii）若，則存在使，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時這與題設(shè)也矛盾，舍去.綜上：實數(shù)的取值范圍為3-2、（2023·江蘇南京·?？家荒＃┮阎瘮?shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）代入的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（2）求出，，，得到，得到，再根據(jù)得到結(jié)論成立即可確定的取值范圍．【詳解】解：（1）證明：時，，，設(shè)，則，令，解得：，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值是，即對任意恒成立，故函數(shù)圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）先證對任意，，，令，，令，解得：，故在區(qū)間遞增，在遞減，故，故，令，，，令，解得：，故在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，故，故，遞增，故，故，，，對于任意，恒成立，，故，當(dāng)時，，即對于任意的，恒成立，綜上：的取值范圍是.3-3、（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像與直線l：相切于點．(1)求函數(shù)的圖像在點處的切線在x軸上的截距；(2)求c與a的函數(shù)關(guān)系；(3)當(dāng)a為函數(shù)g（a）的零點時，若對任意，不等式恒成立．求實數(shù)k的最值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值為3，最小值為．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，進而求出截距；（2）先求出函數(shù)在x＝1處的切線方程，對照系數(shù)消去b即可得到；（3）把題意轉(zhuǎn)化為對，不等式恒成立．對x分類討論：①x＝0直接判斷；②時，利用分離參數(shù)法得到恒成立．設(shè)，求得．利用導(dǎo)數(shù)求出；③當(dāng)時，與②同，求出的范圍．【詳解】（1），，，．函數(shù)的圖像在點處的切線方程是：.令y＝0得，所以該切線在x軸上的截距等于．（2），，函數(shù)的圖像在x＝1處的切線方程是：，即，兩端乘以b變作：①．又已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是：②．直線①與直線②重合，則③，④，聯(lián)立③④消去b得，所以c與a的函數(shù)關(guān)系為：．（3）函數(shù)的零點為a＝1，a＝1時．對，恒成立，轉(zhuǎn)化為對，不等式恒成立．①當(dāng)x＝0時，對恒成立，此時．②當(dāng)0＜x≤2時，恒成立．設(shè)，求得．0＜x≤2時，由得，由得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，取得極小值，，此時．③當(dāng)時，恒成立．與②同，設(shè)，．令，則，在上單調(diào)遞增．所以，時，得，在上單調(diào)遞減．所以，時，取得最大值，此時．整合①②③三種情形，得，且等號都取得到．所以，實數(shù)k的最大值為3，最小值為1、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考一模）設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點處的切線斜率為，求的值；(2)若存在兩個極值點，且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，，當(dāng)由可得，令，求導(dǎo)利用單調(diào)性可得答案；當(dāng)根據(jù)，令可得求解可得答案.【詳解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或時且，當(dāng)即時，，對任意恒成立，得可得，，時成立，時，有在恒成立，令，，所以在單調(diào)遞減，有，所以；當(dāng)即時，，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍，即在上恒成立，因為，可得，解得，當(dāng)即時，重合，不符合題意，綜上所述，或.2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┮阎?1)求證：當(dāng)x>0時，(2)若不等式，（其中）恒成立時，實數(shù)m的取值范圍為（-∞，t]，求證：．【答案】見解析【分析】（1）令，再證明即得證；（2）令，即證，證明，令，即得證.【詳解】（1）證明：令